Урок " Целое уравнение и его корни"

Тема урока: «Целое уравнение и его корни».

Цели урока:

·       ввести понятие целого уравнения, его степени;

·       рассмотреть различные приёмы решения целых уравнений;

·       научить учащихся решать целые уравнения, используя метод разложения левой части уравнения  на множители;

·       познакомить  с некоторыми фактами из истории олимпийского движения;

·       развивать познавательную деятельность учащихся на уроке; 

Ход урока:

I.                   Вступление.

В этом году произошло значимое событие в истории развития нашей страны. Международный олимпийский комитет утвердил г. Сочи столицей зимних олимпийских игр 2014  года .(демонстрируются слайды с олимпийской символикой, с нашими олимпийцами)

Давайте, сегодня, решая математические задачи, постараемся узнать некоторые сведения из истории  Олимпийских игр. Но сначала, как настоящие спортсмены, проведём разминку.

II.                Устная разминка.

1.Какие выражения называются целыми?

(Выражения, составленные из переменных и чисел с помощью скобок и знаков действий: сложения, вычитания, умножения, возведение в степень, деления на число называют целыми.)

2. Выберите из данных выражений целые:

1)      2х³+1;         

2)      х(х⁴-9,5);                     

 

3. Решить уравнения:

а)х³-х²=0,

б)(4х+8)(х²-9)=0;

4. Сколько корней имеют уравнения:

а)-4х=1                  

(один, х=-0,25)  

б)х²-6х+9=0 

(один, так как D=0) 

в)2х²-3х-5=0              

(два, так как D>0)

г)3х²-х+4=0?

(нет корней, так как D<0).

5. Найди ошибку:

 а) х²=4;       

      х=2; (правильно: х = ±2).

б) х³-8=(х-2)(х²-4х+4); правильно: х³-8=(х-2)(х²+2х+4)

в) -х³+2х²=-х²(х+2); правильно: -х³+2х²=-х²(х-2).

г) у²-8у+16=(у+4)²; (правильно: у²-8у+16=(у-4)².

III.      Объяснение нового материала.

Уравнения, левая и правая часть которых, целые выражения, называют целыми уравнениями.

Рассмотрим уравнение 2(х²+1)(х-1)=6х-(х+7);

Раскроем скобки, перенесём все члены в левую часть, приведём подобные члены.

 2(х³-х²+х-1)=6х-х-7

2х³-2х²+2х-2=6х-х-7

2х³-2х²+2х-2-6х+х+7=0

2х³-2х²-3х+5=0

Мы привели уравнение к виду Р(х)=0, где   Р(х) – многочлен стандартного вида, степень этого многочлена называют степенью уравнения.

В нашем случае это уравнение 3й степени.

Памятка:

 Чтобы определить степень целого уравнения, нужно:

v  раскрыть скобки, если они есть;

v  перенести все члены в левую часть уравнения;

v  привести подобные слагаемые в левой части уравнения; записать многочлен в стандартном виде.

v  степень этого многочлена и будет степенью уравнения.

Определите степень уравнения:

а)2х²-6х5+1=0;             б)х⁹-9х=8;         в)(х+8)(х-3)=0;      г)5х3-5х(х2+4)=17

д)

Ответы:

а)-6х⁵+2х2+1=0;            (5 степень)

б) х⁹-9х-8=0; (9 степень)

в)х²-3х+8х-24=0;

х²+5х-24=0     (2степень, квадратное уравнение)

г)5х³-5х³-20х-17=0;                             

  -20х-17=0; (1степень, линейное уравнение)

д)х⁴-1-2(х²+1)=12х²;

х⁴-1-2х²-2-12х²=0;

х⁴-14х²-3=0; (4 степень, биквадратное уравнение)

Количество корней целого уравнения

Линейное уравнение ах+в=0 (а¹0) имеет единственный корень х = -       

Квадратное уравнение имеет 2 корня (если D>0),1 корень (если D=0), не имеет корней, (если D<0).

Можно доказать, что уравнение 3й степени имеет не более 3х корней, уравнение 4й степени имеет не более 4х корней.

Вообще, уравнение n-й степени имеет не более n корней.

Приёмы решения целых уравнений:

ü  в уравнении вида Р(х)=0, разложить многочлен Р(х) на множители, воспользоваться условием равенства произведения нулю;

ü  графический способ;

ü  введение новой переменной;

Рассмотрим сегодня первый способ решения целых уравнений:

Пример№1.

х³-8х²-х+8=0,

(х³-8х²)-(х-8)=0,

х²(х-8)-(х-8)=0,

(х-8)(х²-1)=0,

(х-8)(х-1)(х+1)=0,

х-8=0 или х-1=0 или х+1=0

х₁=8, х₂=1, х₃=-1.

Ответ: 8;

IV.Закрепление.

1. После многолетнего перерыва, длившегося 15 столетий, были возрождены Олимпийские игры. Произошло это в 1896 году в Греции. За прошедшее столетие Олимпийские игры однажды проводились и в Москве. Узнайте, в каком году это было. Для этого наибольший корень уравнения х³+3х=3,5х²  увеличьте в 990 раз.

Решение:

х³+3х-3,5х²=0,

х(х²+3-3,5х)=0,

х=0 или х²-3,5х+3 =0,

D=12,25-12=0,25

х₁=2          х₂=1,5                                           

Наибольший корень 2.

2·990=1980.

Ответ: Олимпийские игры  проводились  в Москве в 1980 году.

                   

2. Олимпийский девиз состоит из трёх слов, выражающих смысл честной спортивной борьбы. Составьте  написание этого девиза. Для этого решите уравнения.  Первое слово связано с уравнением, имеющим один корень, последнее – с уравнением, имеющим два противоположных корня

Выше       0,5х³-0,5х(х+1)(х-3)=7

Сильнее  х³-х²=х-1

Быстрее 6х⁴+6х²=0

Решение:

1)0,5х³-0,5х(х²-3х+х-3)=7,

0,5х³-0,5х³+1,5х²-0,5х²+1,5х=7,

х²+1,5х-7=0,  D=2,25+28=30,25

х₁=2,       х₂= -3,5

      Ответ: два корня, значит выше -2 слово.

2)      х³-х²=х-1

     (х³-х²)-(х-1)=0

            х² (х-1)-(х-1)=0

            (х-1)(х² -1)=0

            (х-1)(х -1)(х+1)=0

              х₁= х₂=1;   х₃=-1

Уравнение, имеет  противоположные корни, значит  сильнее- третье слово в девизе.

     6х⁴+6х²=0

    6х²(х²+1)=0,

   6х²=0 или х²+1=0,

х=0       корней нет.

Ответ: 1 корень, значит  на первом месте – быстрее.

Олимпийский девиз:

V.                 Тест.

 Далее ребята на компьютере в программе Мicrosoft Excel выполняют тест

VI.             Итоги урока.

 Учитель подводит итоги работы учащихся на уроке, оценивая их активность, правильность выполнения заданий в течение всего урока, выделяет лучших и награждает их «олимпийскими медалями».

VII.          Домашнее задание. П. 10 №203, №214.   Презентация урока прилагается.