Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок - деловая игра АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок - деловая игра АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ

библиотека
материалов

Хмелевская Ирина Анатольевна, учитель математики

МБОУ «СОШ № 34», г. Симферополь

Урок-деловая игра

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ

Цели урока.

  1. Систематизация знаний учащихся об арифметической и геометрической прогрессии.

  2. Развитие умений применять полученные знания на практике. Показать учащимся практическое применение знаний о прогрессии.

  3. Ознакомление учащихся с историческим материалом.

  4. Воспитание интереса к предмету.

  5. Ознакомление учащихся с историческим материалом.

Тип урока.

Урок систематизации знаний по теме «Прогрессии»

Организационная работа.

Класс делится на 4 группы.

  1. Историки сообщают исторические сведения, интересные факты по данной теме с элементами импровизации.

  2. Теоретики дают обоснования данным фактам с научной точки зрения, выводят формулы.

  3. Практики показывают применение формул в практических задачах.

  4. Эксперты изучают ошибки, допущенные во время работы, дают рекомендации по их устранению, делают выводы.



ХОД УРОКА



  1. Организационный момент.

  2. Вступительное слово учителя.

Учитель:

Изучена данная тема,

Пройдена теории схема,

Вы много формул узнали,

Задачи с прогрессией решали.

И вот в последний урок

Нас поведет красивый лозунг

«ПРОГРЕССИЯ – ВПЕРЕД»

Мы живем в третьем тысячелетии, но достижения науки и техники дают нам возможность с помощью машины времени вернуться во второе тысячелетие до новой эры. Уже на папирусе, который был составлен приблизительно 2000 лет до н. э., находим задачу о вознаграждении изобретателя шахмат (с этой легендой мы познакомились на уроке). Наши историки нашли подтверждение, что этот папирус переписан с папируса, который принадлежал третьему тысячелетию до н. э. Предоставляем слово нашим историкам, которые долго изучали старинные папирусы и принесли нам новые факты по теме «Прогрессии», которую мы только что изучили.

Слово «Историку», который рассказывает легенду о награде полководца Терентия («Живая математика», Я. И. Перельман).



Легенда в ролях «Выгодная сделка»

Когда и где происходила эта история — неизвестно. Возможно, что и вовсе не происходила; даже, скорее всего, что так. Но быль это или небылица, история достаточно занятна, чтобы её послушать.


Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была в дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды.

«Бывают же такие удачи, рассказывал он домашним.— Неспроста, видно, говорят, что деньга на деньгу набегает. Вот и на мою деньгу денежка бежит. И как неожиданно! Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Мне бы и разговаривать с ним не пристало, да он сам начал, как проведал, что у меня достаток есть. И такое к концу разговора предложил выгодное дельце, что у меня дух захватило.

Незнакомец.

- Вижу, ты богатый человек. Давай сделаем с тобой такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Не даром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день ты должен по уговору заплатить — смешно вымолвить — всего только одну копейку.

Миллионер.

- Что ты говоришь, я ушам не верю. Одну копейку?

Незнакомец.

Одну копейку. За вторую сотню тысяч заплатишь 2 копейки. А дальше: за третью сотню тысяч 4 копейки, за четвертую 8, за пятую — 16. И так целый месяц, каждый день вдвое больше против предыдущего.

Миллионер.

И потом что? 

Незнакомец.

Все, больше ничего не потребую. Только крепко держать уговор: каждое утро буду носить по сотне тысяч рублей, а ты плати, что сговорено. Раньше месяца кончать не смей.

И они разошлись.

Миллионер.

- Сотни тысяч рублей за копейки отдаёт! Если деньги не фальшивые, то не в полном уме человек. Однако же дело выгодное, упускать не надо.


(Показать 2 – 3 дня, как они обменивают копейки на пачки по 100 000).



Далее ведущий записывает на доске результат уговора.

1-й день 100000 1 коп. 2-й день 100000 2 коп. 3-й день 100000 4 коп . 4-й день 100000 8 коп . …… …… 28-й день 100000 1342177 руб. 28 коп. 29-й день 100000 2684354 руб. 56 коп. 30-й день 100000 5368709 руб. 12 коп. 3000000 руб. 10737418 руб. 23 коп. Учитель.

Многим кажется, что математика, это такая наука, которая не имеет ничего общего с природой, животным миром. На самом деле, живая природа тоже живет по математическим законам (в идеале).

Мы знаем, например, симметрию, можем привести много примеров симметрии в природе.

Прогрессии тоже занимают свое место в мире.

«Историки» продолжают сообщать факты.

  1. Быстрое размножение (о маке и одуванчиках). Ученики заранее приготовили плакаты с расчетами, чтобы воочию продемонстрировать размножение, которое (в идеальных условиях) происходит по законам геометрической прогрессии (Перельман).

  2. «Историки» сообщают про размножение животных: кроликов, лангустов и насекомых (мух).

Учитель. Законы геометрической прогрессии используют также и жулики. Так называемые пирамиды, которые увлекали наше население.


Слово предоставляется теоретикам

Теоретики выводят формулы арифметической и геометрической прогрессий.

  1. an = a1 + d (n – 1)

Sn = ((a1 + an) / 2)n

Sn = n

  1. bn = b1 q(n – 1)

Sn = (b1 ( qn1)) / (q – 1)

S = b1 / (1 – q)

Учитель.

Задачи на геометрические и арифметические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, в древнекитайском трактате «Математика в 9 книгах». На связь между прогрессиями первым обратил внимание Архимед. А где в нашей жизни мы видим применение арифметической прогрессии?




В работу вступают «практики».

Решим задачу.

Нужно найти сумму чисел от 1 до 100.

Задача очень не проста

Как сделать, чтобы быстро

От единицы и до ста

Сложить в уме все числа.

Пять первых связок изучи

Найдешь к решению ключи.

Запись на доске:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 96 + 97 + 99 + 100

1 + 100 = 101

2 + 99 = 101

3 + 98 = 101

4 + 97 = 101

5 + 96 = 101

Всего таких пар 50

S = 101 50 = 5050

S = 1 + 100 / 2 100 = 5050

Давным-давно сказал мудрец,

Что прежде всего надо

Связать начало и конец

У численного ряда.

«Историки»

Карл Гаусс нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи учеником начальной школы. Маленький Гаусс решил эту задачу за 1 минуту. С раннего возраста обнаружил выдающиеся математические способности. Рассказывают, что, будучи трех лет, Гаусс решал числовые задачи и любил чертить геометрические фигуры. Еще при жизни его называли «Принц математиков».

Следующий «практик» решает уравнение:

2 + х + 1) + ( х2 + 3х + 5) + …+ (х2 + 20х + 39) = 4500

Если внимательно проанализировать, то можно заметить:

х2 + 2х + 3 – (х2 + х + 1) = х + 2 х2 + 3х + 5 – (х2 + 2х + 3) = х + 2. … То есть члены уравнения составляют арифметическую прогрессию, количество членов которой равно 20.

S = ((a1 + an) / 2) n

((х2 + х + 1 + х2 + 20х + 39) /2) 20 = 4500 ((2х2 + 21х + 40) /2) 20 = 4500 ((2х2 + 21х + 40) 10 = 4500 2х2 + 21х + 40 – 450 = 0 2х2 + 21х – 410 = 0 D = 441 + 3280 = 3721 х 1,2 = (- 21 61) /4 х 1 = - 20,5; х2 = 10

Минута отдыха

Задача 1.

За одну минуту из одной бактерии образуется две. Одна бактерия вместе со своим потомством заполняет пробирку за 1 час. За сколько времени эту же пробирку заполнят две бактерии? (59 минут).

Задача 2.

Есть книга, в которой 16 двойных листов. На каком листе сумма чисел, которыми пронумерованы страницы, будет наибольшей? (Одинаковая)

В знаменитом египетском папирусе Ринда есть любопытная задача. Папирус этот, разысканный Риндом в конце XIX столетия, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. Эта задача считается самой древней из задач на арифметическую прогрессию. В вольном переводе она звучит так:

Задача из папируса Ринда. Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько мер хлеба нужно дать каждому?

Решение.

Переведем эту задачу на язык арифметической прогрессии:

I – а1
II – а
1 + d
III – а
1 + 2d
IV – а
1 + 3d
V – а
1 + 4d.

Кроме того, а+ а1 + d < а1 + 2d + а1 + 3d + а1 + 4d в 7 раз.

Составим систему уравнений:







12a1 = 20 a1 = (мер хлеба)

1 + 2d = 20

2d = 20 – 1

2d = 18

d =18 : 2 = 9

I II + 9 = 10

III10 9 = 20 IV20 + 9 = 29

V29 + 9 = 38

Продолжают практики

Задача: "Покупка лошади"

 hello_html_33f5cb4e.jpg

В старинной арифметике Магницкого есть забавная задача (не сохранен язык подлинника):

Мужчина продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря:

- Нет мне расчета, покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.

Тогда продавец предложил другие условия:

- Если для тебя цена лошади высока, то купи только гвозди из ее подков, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего 0,25 коп., за второй - 0,5 коп., за третий - 1 коп. и т.д.

Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 руб.

На сколько покупатель проторговался?

Решение.

За 24 гвоздя ему пришлось заплатить ¼ + ½ + 1 + 2 + 22 + 23 + … + 224 – 3 копеек

Сумма эта равна

hello_html_1cbad23e.gifт.е. около 42 тыс. руб.

При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

Задача: "Кормление кур"

Для 31 курицы запасено некоторое количество корма из расчета по декалитру в неделю на одну курицу. При этом предполагалось, что численность кур меняться не будет. Но в действительности число кур в неделю убывало на 1, то заготовленного корма хватило на двойной срок.

Сколько было корма и на сколько времени он был первоначально рассчитан?

Решение.

Пусть было заготовлено х декалитров корма на у недель. Корм рассчитан на 31 курицу по 1 декалитру в неделю, тогда х = 31у.

За первую неделю израсходовали 31 д/л, за вторую 30 д/л, за третью 29 и так далее до последней недели, в которую было израсходовано 31 – 2у + 1 д/л

(1 день – 31 д/л 2 день – 31 – 1 д/л 3 день – 31 – 2 д/л ……… 2у – х – 31 – (2у – 1) = 31 – 2у + 1 д/л) Значит, весь запас корма: х = 31у = 31 + 30 + 29 + … + (31 – 2у + 1)

Найдем сумму 2у членов прогрессии, а1 = 31, а аn = 31 – 2у + 1

31у = ((31 + 31 – 2у + 1) 2у) /2 = (63 – 2у) у, у 0, поэтому 31 = 63 – 2у, у = 16, отсюда х = 31у = 31 16 = 496.

Заготовлено было 496 декалитров корма на 16 недель.

Все ученики получают карточки с заданиями на применение формул прогрессий.

  1. а1 = 8, d = - 4. Найти а7.

  2. а1 = 4, а15 = - 56. Найти S10.

  3. x1 = 16, q = ½. Найти х6.

  4. 3, - 6, 12, - 24,… Найти S8.

  5. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии:

Слово дается экспертам.

Подведение итогов урока.






































Автор
Дата добавления 13.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров317
Номер материала ДБ-029766
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх