Урок – факультатив
Тема :
«Использование теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром»
Цель:
формировать умения решать квадратные уравнения с параметром с использованием
теоремы Виета; развивать логическое мышление, Умение работать в проблемной
ситуации.
Ход
урока
1. Актуализация
теоретических знаний.
- Какое уравнения
называется квадратным?
- Сформулируйте
теорему Виета.
- Какие квадратные
уравнения называются приведёнными?
- квадратными или
линейными называется уравнение b(b-3)x²
+ (6b
– 2)x
– 18 = 0:
а) при b
= 6; б) b=
0; в) b=
0,5; г) b=
3?
2. Объяснение
нового материала.
- При решении
квадратных уравнений с параметром часто используют теорему Виета. Обычно в
таких заданиях не требуется нахождение самих корней уравнения, а только
нахождение значений параметров, при которых выполняется наложенное условия.
Вспомним теорему ещё раз.
Теорема
Виета. Если х₁
и х₂
- корни квадратного уравнения ах² + bx
+ с =0, а
, то сумма корней равна 
, а их произведение равно
.
х₁
+ х₂
=
х₁
· х₂
=
Обратное
утверждение. Если числа х₁
и х₂
таковы, что х₁ + х₂
= , х₁
· х₂
= , то эти числа - корни уравнения
ах² + bx + с =0, а
Пример
1. Найти корни уравнения и коэффициент р,
если известно , что сумма квадратов корней уравнения х² + px
+ 20 = 0 равна 104.
Решение
: из теоремы Виета имеем:
х₁
+ х₂
= 
х₁
· х₂
= 
.
Кроме того, из
условия мы знаем, что х₁² + х₂²
= 
ибавим к обеим частям
уравнения 2 х₁х₂
и получим: х₁²
+ х₂²
+ 2 х₁х₂
= 
+ 2 х₁х₂;
(х₁
+ х₂)²
= 104 + 2 · 20;
х₁
+ х₂
= 
;
р = 
Решим
систему х₁
+ х₂
= 
при
полученных значениях р.
х₁
· х₂
= ,
При р = 12
х₁
+ х₂
= 
, х₁
= -10
х₁
· х₂
= . х₂
= -2.
При р = -12
х₁
+ х₂
= 
, х₁
= 10
х₁
· х₂
= . х₂
= 2.
Проверим, будет ли
дискриминант при таких значениях р положительным: D
= 144 – 4 · 20 = 64, 64 
Ответ : р = 
при При р = 12 х₁
= -10, х₂
= -2; при р = -12 х₁ = 10, х₂
= 2.
Пример
2. Найти все значения параметра а, при которых
один из корней уравнения
х² - (2а + 1)х +
а² = 0 в 9 раз больше другого.
Решение:
пусть х₁ и х₂
- корни данного уравнения. Тогда задача сводится к следующей системе:
х₁ + х₂
= 
х₁ · х₂
= а²,
х₁ = 9х₂
D 
.
Найдём из этой системы значения а. Так как
х₁ = 9х₂, получаем:
9х₂ + х₂
=
9х₂ · х₂
= а²,
10х₂
= 
9х₂²
= а²,
9 · (
)² = а²,
36а² + 36а + 9 =
100а²,
64а² - 36а – 9 =
0,
а₁
= 
а₂
= 
При этом D
= (2а +1)² -4а² = 4а + 1.
4а + 1
Оба найденных
значения а удовлетворяют этому неравенству.
Пример 3. (
Ученики выполняют задание самостоятельно со следующей проверкой).
Найти все значения
параметра а, при которых уравнение 2х² - (а + 1)х + (а – 1) = 0 имеет
два корня, разность которых равна их произведению.
Решение: задача
сводится к решению системы
х₁ + х₂
= 
х₁ · х₂
=
,
х₁ - х₂
= х₁
· х₂
D .
х₁ + х₂
=
х₁ - х₂
= , х₁
= 
х₂
= 
Теперь найдём а: 
2а – 2 = а, а = 2.
Найдём дискриминант исходного уравнения: D
= (а + 1)² - 8(а – 1) = а² - 6а + 9 = (а – 3)², который больше нуля при
всех значениях а , кроме а = 3. Следовательно неравенство D выполняется для а = 2.
Ответ: а = 2.
4а + 1
Оба найденных
значения а удовлетворяют этому неравенству.
Пример 3. Найти
все значения параметра а, при которых корни уравнения
(а – 2)х² - 2ах + а + 3=0 положительны.
В ответ записать количество целых значений параметра, удовлетворяющих
неравенству |a| 
Решение. Мы не можем утверждать, что
данное уравнение является квадратным. Рассмотрим контрольное значение а – 2 =
0, а = 2. Имеем два случая.
При а =2 уравнение примет вид: -4х +5 = 0,
х = 1,25.
х
|2|
значит а = 2
удовлетворяет нашим условиям.
При а 
данное уравнение
является квадратным. Получим следующую систему:
х₁ + х₂
= 
х₁ · х₂
= 
,
.
Откуда а
(-
.
Кроме того, нужно
не забыть потребовать, чтобы дискриминант исходного уравнения:
D
=(2а)² - 4(а – 2)(а + 3) = 4(6 –а) был неотрицательным. Получим а
(-
Итак, а(-
. Условию |a|
то есть а[-10
соответствует а[-10
. Выпишем целые значения
параметра а , удовлетворяющие полученному решению и указанному условию: -10,
-9, -8, -7, -6, -5, -4, 2, 3 ,4, 5, 6. Таких значений 12.
Ответ: а(-
(
В этом примере мы как раз сталкиваемся с необходимость проверки
неотрицательного дискриминанта, на что требуется обратить внимание учащихся).
3. Закрепление
пройденного материала.
1) Найти
все значения параметра а, при которых корни уравнения х₁
и х₂
х²
- 2х + а =0 удовлетворяет условию 7х₂
- 4х₁
= 47.
2) Найти
все значения параметра а, при которых один из корней уравнения
х²
- (2а – 1)х + а² + 2=0 в два раза больше другого.
3) Найти
все значения параметра а, при которых отношение корней уравнения
х²
- ах – 16 =0 равно -4.
4) Найти
все значения параметра а, при которых один корень уравнения
4х²
- 3х + а =0 равен квадрату другого.
5) Найти
все значения параметра а, при которых сумма квадратов корней уравнения
3х²
- 2а(х - 1) - 2 =0 равна произведению корней этого уравнения.
6) Найти
все значения параметра а, при каждом из которых больший корнь уравнения
х²
- (20а – 3)х + 100а² - 30а = 0 в шесть раз больше, чем его меньший корень.
Ответ
: 1) -15; 2) -4; 3) -6; 6; 4) -13,5; 0,5; 5) Решений нет. Решениями системы
являются а₁
= 3; а₂
= 1,5, но при каждом из этих значений дискриминант квадратного уравнения
отрицателен.6) при а = 
4. Самостоятельная
работа по теме «Решение квадратных уравнений с параметром».
1) Решите
уравнение (а + 3)х² - 2(а +5)х + 2а + 7=0.
2) Найти
все значения параметра а, при которых разность квадратов корней
уравнения
х² - 12х + а =0 равна
288.
3) Найти
все значения параметра m,
при которых сумма квадратов корней уравнения
х² - (m
– 2)х – m
– 3 =0 равна 18.
Ответ: 1) при а = -3 х =
-
; при а(-
корней нет; при а
х= 
; 2) а = -108; 3) m
= 4; m
= -2.
5. Домашнее
задание.
1) При
каких значениях параметра р сумма корней квадратного уравнения
х² - (р²+4р – 5)х – р =0 равна
0. Ответ: 1; - 5.
2) При
каких значениях параметра р произведение корней квадратного уравнения
х² -3х +( р²-7р +12)=0 равна
0. Ответ: 3; 4.
3) Дано
уравнение х² -(р + 1)х +(2 р²-9р -12)=0. Известно, что произведение корней
равно
-21. Найдите
значения параметра р. Ответ: 3; 1,5.
4) Один
из корней уравнения 2х² - 14х + р =0 больше другого в 2,5 раза. Найдите
все значения параметра р и корни уравнения. Ответ: 2 и 5 при р = 20.
Литература :
- Айвазян Д.Ф. Математика. 10 – 11 классы. Решение уравнений и неравенств
с параметрами: элективный курс / авт.-сост. Д.Ф. Айвазян. – Волгоград:
Учитель, 2009.
- Беляев С.А. Задачи с параметрами: методическая разработка для
учащихся Заочной школы «Юный математик» при ВЗМШ и МЦНМО. – М.: МЦНМО,
2009.
- Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с
параметрами. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2005.
- Дорофеев В.Ю. Пособие по математике для поступающих в
СПбГУЭФ. – СПб: Изд-во СПбГУЭФ, 2003.
- Дорофеев Г.В. Решение задач, содержащих параметры. Ч. 2
[Текст] / Г. В. Дорофеев, В. В. Затакавай. – М.: Перспектива, 1990.-с.
2-38.
- Дубич С. Линейные и квадратные уравнения с параметрами
[Текст]: 9 класс / С. Дубич // Математика. – 2001. №36. -с. 28-31.
- Егерман Е. Задачи с параметрами. 7-11 классы [Текст] / Е.
Егерман // Математика. – 2003. №1 -с. 18-20.
- Егерман Е. Задачи с параметрами. 7-11 классы [Текст] / Е.
Егерман // Математика. – 2003. №2. -с. 10-14.
- Карасев В. Решение задач с параметрами [Текст] / В. Ка-расев,
Г. Левшина, И. Данченков // Математика. – 2005. №4. -с. 38-44.
- Косякова Т. Решение квадратных и дробно-рациональных
уравнений, содержащих параметры [Текст] / Т. Косякова // Математика. –
2002. №22. -с. 15-18.
- Крамор В. С. Примеры с параметрами и их решение [Текст]:
пособие для поступающих в вузы / В.С. Крамор. - М.: АРКТИ, 2000.-с. 48.
- Мордкович А.Г. Решаем уравнения. – М.: Школа-Пресс, 1995.
