Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок геометрії для учнів 7 класу. Тема: "Поняття геометричного місця точок".
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок геометрії для учнів 7 класу. Тема: "Поняття геометричного місця точок".

библиотека
материалов

Тема уроку: Поняття геометричного місця точок площини.

Мета уроку:

навчальна: ознайомити учнів з поняттям геометричного місця точок площини, схемою доведення теорем про ГМТ, сформувати у учнів здатність до використання даного поняття при знаходженні геометричних місць точок на площині та при доведенні теорем про ГМТ.

розвивальна: розвивати уміння аналізувати, висувати гіпотези, логічне та критичне мислення, увагу.

виховна: виховувати інтерес до вивчення геометрії, культуру математичної мови та письма, уміння працювати в колективі, наполегливість у досягненні мети.

Тип уроку: урок засвоєння нових знань та вмінь.

Обладнання: мультимедійний проектор, комп’ютер.

Хід уроку.

I. Організаційний етап.

Форма роботи: фронтальна. Метод: словесний.

Створення позитивного настрою учнів. А зараз усміхніться один одному, подумки побажайте успіхів усім на цілий день.

II. Формування мети й завдань уроку.

Форма роботи: фронтальна. Метод: словесний.

Повідомлення учням теми уроку. Діти, відповідно до теми уроку, які ваші очікування від уроку, чому ми сьогодні повинні навчитися? Отже, сьогодні на уроці ми ознайомимося з поняттям геометричного місця точок на площині та сформуємо вміння використовувати дане поняття при знаходженні геометричних місць точок площини.

III. Мотивація учбової діяльності учнів на уроці.

Форма роботи: фронтальна. Метод: словесний.

Діти, як ви вважаєте, що означає термін «геометричне місце точок»? Це довільна геометрична фігура? А може це сукупність хаотично розміщених точок? Поняття геометричного місця точок є важливим не тільки в геометрії, а і в інших розділах математики. Термін «геометричне місце точок» був введений ще давньогрецьким вченим і філософом Арістотелем (384 – 322 роки до н.е.), як деяке місце, де можуть бути розміщені точки.

IV. Актуалізація опорних знань учнів.

Виконання усних вправ:

1. На рисунку 1 hello_html_m347de99b.gif Доведіть, що AC = BC.

2. На рисунку 1 AC = BC. Доведіть, що hello_html_3d3aa818.gif

47-2 Рисунок47-3 Рисунок

3. На рисунку 2 AD — бісектриса кута BAC. Доведіть, що BD = DC.

4. На рисунку 2 BD = DC. Доведіть, що AD — бісектриса кута BAC.

Бесіда:

- Яку фігуру складають всі точки площини, рівновіддалені від кінців відрізка АВ?

- Яку фігуру складають всі точки площини, рівновіддалені від сторін кута?

V. Вивчення нового матеріалу.

Форма роботи: фронтальна, індивідуальна. Метод: проблемно-пошуковий.

Задача: ландшафтному дизайнеру треба створити квіткову клумбу у вигляді плоскої композиції. Задача садівника довести кожен з її елементів до досконалості. Центр композиції треба оформити у вигляді квітки. Яку фігуру будуть складати елементи декоративної плитки, якою треба обрамити клумбу, рівновіддалені від центра композиції?

C:\Users\Svetlana\Downloads\клумба.jpg

У геометрії часто виникає потреба виділити з усіх точок площини ті точки, які мають певну характерну властивість. Всі точки площини або простору розбиваються при цьому на дві множини: одна множина включає в себе ті і тільки ті точки, які мають певну характерну властивість, друга множина складається з всіх інших точок. Тобто, жодна точка другої множини не має заданої властивості точок першої множини.

Означення. Геометричним місцем точок (ГМТ) площини називають фігуру, яка складається з усіх і тільки цих точок площини, які мають певну властивість.

ГМТ – буде просто назва абстрактного об’єкта, якщо вона не підкріплена описом конкретної властивості. Якщо таку властивість описати, то ГМТ, що мають описану властивість – це вже деякий геометричний об’єкт, певна фігура.

Наприклад, зафіксуємо дві точки А і В. Для всіх точок площини задамо властивість: одночасно належати променям АВ і ВА. Зрозуміло, що цю властивість мають усі точки відрізка АВ і тільки вони. Тому шуканим ГМТ є відрізок АВ.

Розглянемо перпендикулярні прямі а і в. Для всіх точок площини задамо властивість: належати прямій в і знаходитися на відстані 1см від прямої а. Очевидно, що тільки дві точки А і В прямої в, які

лежать по різні боки від прямої а, на відстані 1см від неї, задовольняють цим вимогам. Також зрозуміло, що жодна точка, відмінна від А і В, цієї властивості не має. Отже, шукане ГМТ є фігурою, яка складається з цих двох точок А і В.

hello_html_38a9ff73.png

Тепер можна дати відповідь на питання, поставлене на початку уроку. Геометричним місцем точок, рівновіддалених від заданої точки є коло, з центром у заданій точці.

hello_html_m101eb01c.png

Узагалі, щоб мати право якусь множину точок або фігуру називати ГМТ, треба довести два взаємно обернених твердження:

1) кожна точка даної множини або фігури має задану властивість;

2) якщо точка має задану властивість, то вона належить даній множині або фігурі.

Розглянемо доведення того, що деяка фігура є ГМТ на прикладі теореми:

Теорема: Бісектриса кута є геометричним місцем точок, які належать куту і рівновіддалені від його сторін.

Пряма теорема. Кожна точка бісектриси кута рівновіддалена від його сторін.

Доведення.

Доведемо, що якщо точка належить бісектрисі кута, то вона рівновіддалена від сторін даного кута.

hello_html_cd9a76a.png

Візьмемо деяку точку Х, яка не збігається з вершиною кута АВС і належить його бісектрисі. Опустимо перпендикуляри ХМ і ХN відповідно на сторони ВА і ВС. Доведемо, що ХМ = ХN. У прямокутних трикутниках ВХМ і ВХN гіпотенуза ВХ – спільна, hello_html_5d62e976.gifМВХ = hello_html_5d62e976.gifNВХ, оскільки ВХ – бісектриса кута АВС. Отже, hello_html_m44dfdda9.gifВХМ = hello_html_m44dfdda9.gifВХN за гіпотенузою і гострим кутом. Звідси, ХМ = ХN.

Обернена теорема: Якщо точка, що належить куту, рівновіддалена від його сторін, то вона лежить на бісектрисі цього кута.

Доведення.

Доведемо, що якщо точка, яка належить куту, рівновіддалена від його сторін, то вона лежить на бісектрисі цього кута. Візьмемо деяку точку Х, яка не збігається з вершиною кута АВС і рівновіддалена від його сторін. Опустимо перпендикуляри ХМ і ХN відповідно на сторони ВА і ВС. Доведемо, що hello_html_5d62e976.gifМВХ = hello_html_5d62e976.gifNВХ. У прямокутних трикутниках ВХМ і ВХN гіпотенуза ВХ – спільна, ХМ = ХN за умовою. Отже, hello_html_m44dfdda9.gifВХМ = hello_html_m44dfdda9.gifВХN за гіпотенузою і катетом. Звідси, hello_html_5d62e976.gifМВХ = hello_html_5d62e976.gifNВХ.

VI. Формування умінь та навичок учнів.

Форма роботи: фронтальна, індивідуальна. Метод: проблемно-пошуковий.

Теорема: Геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців відрізка АВ, є серединний перпендикуляр до цього відрізка.

Питання класу:

- сформулюйте пряме твердження;

- сформулюйте обернене твердження.

Доведення прямого твердження проведемо біля дошки.

Пряма теорема. Якщо точка рівновіддалена від кінців відрізка, то вона належить серединному перпендикуляру цього відрізка.

Доведення.

Доведемо, що якщо точка рівновіддалена від кінців відрізка, то вона належить серединному перпендикуляру цього відрізка.

hello_html_7d9feaf5.png

Нехай точка Х рівновіддалена від кінців відрізка АВ, тобто ХА = ХВ. Розглянемо трикутники АХМ і ВХМ, де М – середина відрізка АВ. Тоді , hello_html_m44dfdda9.gifАХМ = hello_html_m44dfdda9.gifВХМ за третьою ознакою. Звідси, hello_html_5d62e976.gifАМХ = hello_html_5d62e976.gifВМХ. Але сума цих кутів дорівнює 1800, тобто кожний з них дорівнює 900. Отже, пряма ХМ – серединний перпендикуляр відрізка АВ. Якщо точка Х належить прямій АВ, то вона збігається з серединою відрізка АВ, а, отже, належить його серединному перпендикуляру.

Доведення оберненого твердження виконують учні самостійно в зошитах з подальшою перевіркою на слайді.

Обернена теорема: Кожна точка серединного перпендикуляра відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка.

Доведення.

Доведемо, що якщо точка належить серединному перпендикуляру до відрізка АВ, то вона рівновіддалена від двох заданих точок А і В.

hello_html_4bae56d0.png

Нехай Х – довільна точка серединного перпендикуляра а відрізка АВ, точка М – середина відрізка АВ. Треба довести, що ХА = ХВ. Якщо точка Х збігається з точкою М, то ХА = ХВ. Якщо точки Х і М не збігаються, то розглянемо трикутники АХМ і ВХМ. У цих трикутниках АМ = МВ, оскільки М – середина АВ. Сторона ХМ – спільна, hello_html_5d62e976.gifАМХ = hello_html_5d62e976.gifВМХ = 900. Отже, hello_html_m44dfdda9.gifАХМ = hello_html_m44dfdda9.gifВХМ за першою ознакою рівності трикутників. Тоді відрізки ХА і ХВ рівні як відповідні сторони рівних трикутників.

Хочу звернути увагу на той факт що, фігура може складатися з точок, які мають певну властивість, але не бути ГМТ. Прикладом є медіана рівнобедреного трикутника, проведена до основи. Всі точки даної медіани рівнобедреного трикутника дійсно рівновіддалені від вершин основи трикутника. Але це будуть не всі точки площини, а лише тільки ті, що належать даній медіані. А серединний перпендикуляр до відрізка буде ГМТ.

VIІ. Підсумок уроку.

Форма роботи: фронтальна. Метод: словесний.

Користуючись рисунком закінчіть речення:

а) Пряма a — геометричне місце точок, рівновіддалених від ...

б) Промінь BD — геометричне місце точок, рівновіддалених від ...

в) Коло – це геометричне місце точок, рівновіддалених від ...

г) Круг - це геометричне місце точок …



hello_html_3444f765.pngв)hello_html_m6d1f7831.png

Підведення підсумку уроку. Оголошення оцінок, які отримали учні.

VIII. Повідомлення домашнього завдання.

Форма роботи: фронтальна. Метод: словесний.

Домашнє завдання: доведіть, що геометричним місцем точок, рівновіддалених від двох прямих, що перетинаються, є бісектриси вертикальних кутів, утворених цими прямими.

IX. Рефлексія діяльності.

Форма роботи: фронтальна. Метод: словесний.

Бесіда:

З яким поняттям ми сьогодні познайомилися?

З яким утрудненням виведені правила допомогли справитися?

Чому ми училися на уроці?

-- Пригадайте свої очікування, які ви називали на початку уроку: позначте ті, що виправдались (+), а
ті, що не справдились (-).









Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 28.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров361
Номер материала ДВ-389213
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх