Урок геометрии по подготовке к ОГЭ

 Решение задач планиметрии по подготовке

 к ОГЭ

                                                                            Подготовила и провела

учитель математики

                                                                            Попова Ирина Николаевна

Открытый урок по геометрии в 9 классе

   Цели урока:

•  отработка умений решать задачи по планиметрии, предлагаемые в тестах ОГЭ;

•  развитие  внимания,  памяти,  логического мышления, интереса к предмету, 

   математически грамотной речи;   

•  воспитание трудолюбия, усидчивости, чувства ответственности,

   познавательной активности.

Ход урока

I. Организационный момент.

                             Геометрия – это не просто наука о свойствах геометрических

                             фигур. Геометрия – это целый мир, который окружает нас с

                             самого рождения. Ведь все, что мы видим вокруг, так или иначе

                             относится к геометрии, ничто не ускользает от ее внимательного

                             взгляда. Геометрия помогает человеку идти по миру с широко

                             открытыми глазами, учит внимательно смотреть вокруг и видеть

                             красоту обычных вещей, смотреть и думать, думать и делать

                             выводы.

В качестве эпиграфа нашего урока мы возьмем слова известного математика Пойа:

«Лучше решить одну задачу несколькими способами,

чем несколько задач – одним»

II.  Актуализация знаний учащихся.

      Задания на экзамене предлагаются каждый год разные. Мы с вами не можем знать заранее, какие задачи будут на экзамене. Поэтому, чтобы уверенно решать предложенные задачи, надо хорошо знать теорию, т.е. определения и формулировки теорем.

     На слайдах вы увидите задания, предлагавшиеся на экзамене в прошлом году, а также задания из сборника для подготовки к экзамену в 2015 году.

                        Какие из следующих утверждений верны?

1.  Через любые три точки на плоскости можно провести окружность.

Неверно.

2.  Площадь трапеции  равна половине высоты, умноженной на разность

     оснований.

Неверно.

3.  Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

Верно.

4.  В любой четырехугольник можно вписать окружность.

Неверно.

5.  Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Неверно.

6.  Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

Неверно.

7.  Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно

     диаметру описанной окружности.

Верно.

8.  Одна из высот прямоугольного треугольника всегда делит его на два

     подобных треугольника.

Верно.

9.  Биссектрисы любого треугольника точкой пересечения делятся в отношении

     2 : 1, считая от вершины.

Неверно.

10.  Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу,

       опирающемуся на ту же дугу.

Неверно.

11.  Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны друг другу.

Верно.

12.  Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной в него

       окружности.

Верно.

III. Решение задач.  

              Задачи 1части

Задача 1

В треугольнике АВС  точка К – середина стороны  ВС, точка  Р  лежит на отрезке АК,  АР = 10,  РК = 5, ВР = 9. Найдите  ВМ.

         Решение.

                                             

Т. к. точка  К – середина стороны  ВС, то  АК – медиана. Точка  Р  делит  АК  в отношении  . Значит, точка  Р – точка пересечения медиан треугольника.

Следовательно, ВМ тоже медиана и         РМ = 4,5.

ВМ = ВР + РМ = 9 + 4,5 = 13,5.

      Ответ: 13,5.

               Задача 2

Найдите длину отрезка  АN,  если радиус изображенной на рисунке окружности ОК =3,  АК = 2.

            Решение.

                        

1 способ.

АN – касательная к окружности, АМ – секущая. Если из точки  А  к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки  А до точки касания равен произведению отрезков секущей от точки  А до точек пересечения секущей с окружностью.  АN² = АК ∙ АМ = 2 ∙ 8 = 16  АN = 4.

2 способ

Проведем радиус ОN.  Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Значит, ∆АNО – прямоугольный. АО = 5,  NО = 3. По теореме Пифагора .

                Задачи части 2

 Задача 1

В параллелограмме  АВСD  биссектриса острого угла  С пересекает сторону АВ в точке  М. Найдите расстояние от В  до прямой  СМ, если  СМ = 30,  СВ = 17.

          Решение.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой. Проведем из точки  В  к прямой  СМ  перпендикуляр  ВН.

Значит, ρ(В; СМ) = ВН.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Значит, ∆СВМ – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой. Следовательно, ВН – медиана, т.е.

СН = НМ = 15. По теореме Пифагора  ВН = .

      Ответ:  8.

                     Задача 2

В трапеции  АВСD  точка  К – середина основания  АВ. Известно, что  СК = КD. Докажите, что трапеция равнобедренная.

            Решение.

                  

1 способ

Т. к. СК = КD, то  ∆СКD – равнобедренный, а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны   .   как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых DС и АВ  секущей DК,   как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых  DС и АВ  секущей СК.

Т. к. , то  .

Рассмотрим  ∆АКD  и  ∆ВКС.  АК = КВ,   DК = СК  – по условию,   − по доказанному,  то  ∆АКD  =  ∆ВКС  по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует, что  АD= СВ    трапеция  АВСD – равнобедренная.

2 способ

Проведем высоты  DН  и  СМ.  ∆DКН = ∆СКМ  по гипотенузе и катету (DН = СМ как расстояния между параллельными прямыми,  DК = СК  – по условию)   

.  (Дальше как в первом способе).

 Задача 3

В равнобедренном треугольнике  АВС  стороны  АВ = ВС = 10,  соsАВС = . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

                

         Решение.

По теореме косинусов  

1 способ

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти с помощью формулы .  Площадь данного треугольника можно найти следующими способами:

1.  ;     2.  ;    3.  .

р =  .   . Значит,  .

2 способ.

Мы знаем, что центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения его биссектрис. Проведем биссектрису ВН.  Т. к. в равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные к основанию,  совпадают, то биссектриса ВН  будет и медианой, и высотой.

.

Из ∆АВН  по теореме Пифагора  .

Проведем  радиус  ОD  в точку  касания.  Касательная  к  окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Прямоугольные треугольники  АВН  и  ОВD  подобны по двум углам  (угол АВН – общий,  углы Н и  D  равны как прямые). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны.

Пусть ОН= х, тогда ВО = 8 – х.

           х = 3. Значит, радиус  ВО = 3.

3 способ

Начало такое же, как во 2-м способе. Только рассмотрим не подобные треугольники, а прямоугольный треугольник  ОВD. 

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Значит, АD = АН = 6.  ВD = 10 – 6 = 4.

Пусть ОН = ОD = х,  тогда ВО = 8 – х.  По теореме Пифагора имеем уравнение: 

Значит, радиус  ВО = 3.

                              Пожелания и советы учащимся

•   Помни и понимай, что подготовка к ОГЭ – это тяжелый труд, где

     результат будет прямо пропорционален времени, потраченному на

     активную подготовку к экзамену.

•   Выполняй как можно больше различных тестов по предмету.

•   Тренируйся с секундомером в руках, засекай время выполнения тестов.

•   Готовясь к экзаменам, мысленно рисуй себе картину успеха.

Рефлексия

Подведение итогов

Выставление оценок

Литература

1.  Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. − М. : Просвещение, 2009.

2.  Математика. 9 класс. Подготовка к ОГЭ – 2015. Учебно-тренировочные тесты по новой демоверсии / Под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова – Ростов-на-Дону: Легион, 2015.

Краткое описание документа:

В ходе урока идет отработка умений решать задачи по планиметрии, предлагаемые в тестах ОГЭ,

развитие внимания, памяти, логического мышления, интереса к предмету,

математически грамотной речи;

воспитание трудолюбия, усидчивости, чувства ответственности,

познавательной активности, рассматривается несколько способов решения некоторых задач.