Урок геометрии в 11 классе на тему "Многогранники 2"

Мета уроку: розширювати знання учнів з даної теми, розвивати їх пізнавальну активність, творчі здібності; удосконалювати уміння та навички використання різних комп’ютерних технологій при викладенні матеріалу; виховувати вміння учнів працювати самостійно та в групах;прищеплювати інтерес до предмету.

Обладнання: комп’ютери, моделі правильних многогранників, плакати та малюнки з зображенням Платонових тіл, Кеплерівської моделі Всесвіту, кристалічних решіток повареної солі та алмазу, портрети Платона, Кеплера, Ломоносова, Ейлера, баскетбольний м’яч.

І. Повідомлення теми та мети уроку.

На попередньому уроці ви ознайомились з правильними многогранниками, їх видами та властивостями, переглянули презентацію та отримали завдання. Крім розв’язання домашньої задачі, ви за бажанням розділилися на групи, знайшли цікавий матеріал, обробили його та представили у вигляді окремих слайдів. Таким чином створили презентацію, в якій спробували відповісти на такі запитання:

1. Довести, що існує тільки 5 видів правильних многогранників.

2. Встановити зв’язок між геометрією та іншими науками.

3. На прикладах показати застосування властивостей правильних многогранників в сучасному житті.

На сьогоднішньому уроці ви маєте змогу представити та захистити свої роботи.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

1.Один учень пояснює розв’язання домашньої задачі за малюнком, який попередньо був зроблений на дошці.

Задача.

Дано:SABCDS₁ – октаедр

АС=√8 см

Знайти: S_{повн. пов.}

Решта учнів перевіряє правильність її виконання.

2. Актуалізація знань ( Учні задають питання за опитувальними листами один одному в довільному порядку. В разі неправильної, або неточної відповіді запитання задається наступному учневі до тих пір, поки відповідь не буде правильною)

1) що таке многогранник?

2) який многогранник називається опуклим?

3) який многокутник називається правильним?

4) наведіть приклади многогранників

5) яка призма називається правильною?

6) яка піраміда називається правильною?

7) який многогранник називається правильним?

8) наведіть приклади правильних многогранників

9) як ще називають правильні многогранники? Чому?

10) що таке двогранний кут?

11) що є мірою двогранного кута?

12) як побудувати лінійний кут двогранного кута?

ІІІ. Захист учнівських робіт.

(Учні захищають свої роботи, використовуючи слайди, моделі многогранників, плакати, портрети, тощо)

1. Доведення існування тільки п’яти видів правильних многогранників.

(Доведення з поясненнями записується на дошці, учні роблять записи в зошитах)

Ми з'ясували, чому многогранників всьго п’ять.

Помітимо, що многогранні кути при всіх вершинах правильного многогранника рівні між собою, оскількі рівні їх плоскі і двогранні кути. Взагалі, це означає, що в кожній вершині співпадає однє й теж число граней. Позначимо його q. Якщо грані розглянутого многогранника – правильні p-кутники, то його плоскі кути рівні π(p-2)/p і їх сума довкола кожної вершини – πq(p-2)/p.

Але сума плоских кутів опуклого многограника менше 2π. Звідси, q(p-2)<2p. Цю нерівність можна переписати у вигляді (q-2)(p-2)<4. Тепер, враховуючи, що p і q – цілі числа, не менш 3, всі можливі пари (p,q) легко знайти перебором. Ось вони: (3;3), (4;3), (3;4), (5;3) і (3;5).

2. Зв’язок між Платоновими тілами та будовою Всесвіту.

(Демонстрація презентації)

Пошуки зв'язку між Платоновими тілами і будовою Всесвіту не припинились із смертю Платона. (428 або 427 до н. э. — 348 або 347)

В 1596 році Кеплер видав свою книгу “Тайна мироздания”.

Він розглянув сфери, які містять орбіти відомих його час шести планет, й зміг з більшою чи меншою точністю розташувати між сферами 5 правильних многогранників таким чином, що

кожен був описаний біля меншої сфери і вписаний в більшу.

Він поставив у відповідність:

Куб - Сатурну

Тетраедр - Юпітеру

Додекаедр - Марсу

Ікосаедр – Венері

Октаедр - Меркурію

Намагаючись надати своїй теорії більшу вагу, Кеплер розробив вражаючу модель Всесвіту. Він вписав тетраедр в куб, додекаедр в тетраедр, ікосаедр в додекаедр і октаедр в ікосаедр.

3. Зв’язок між властивостями правильних многогранників та кристалографією.

(демонстрація презентації)

Форму многогранників звичайно мають кристали. Цікаво, що при певних умовах вони виростають у вигляді правильних многогранників.

Наприклад, у вигляді кубиків (або гексаедрів) можна виростити кам'яну сіль.

У вигляді октаедрів знаходять у природі алмаз.

Але найчастіше кристали мають форму многогранників з гранями різного виду.

Ще великий російський учений

М.В. Ломоносов (1711 – 1765) звернув увагу на те, що грані кристалів дорогоцінних каменів певного виду утворюють між собою однакові кути.

А в ХІХ ст. російський учений Є.С.Федоров (1853 – 1919) – творець сучасної кристалографії (науки про будову і властивості кристалів) вказав на можливість визначення речовин за

величиною кутів.

Грані кристалів утворюють між собою кути. Є.С.Федоров склав зі своїми учнями довідковий матеріал про величину кутів між гранями у величезної кількості кристалів.

4. Додекаедр – головоломка.

( демонстрація презентації)

В 1859 г. англійський математик Уильям Гамильтон випустив у продаж головоломку. Вона представляла собою дерев’яний додекаэдр (12-гранник), в вершинах якого вбиті цвяшки (см. рис.). Кожна з 20 вершин була помічена назвою одного з великих міст світу – Делі, Брюссель, Кантон и т.п.

Вимагалось знайти замкнений шлях, який проходить по ребрах додекаэдра і дозволяє побувати в кожній його вершині по одному разу. Шлях потрібно було відмічати за допомогою мотузки, чіпляючи її за цвяшки.

Іграшка не мала такої популярності, якою нещодавно користувався «кубик Рубика», але залишила слід в математиці.

5. Властивості ікосаедра та баскетбольні м’ячі.

( демонстрація презентації та розрізаного баскетбольного м’яча)

Легко впевнитися, що вершини кожного з п'яти видів правильних многогранників лежать на кульовій поверхні. Дванадцять вершин ікосаедра – це максимальне число точок, які можна нанести на поверхню кулі так, щоб відстань між будь – яким двома сусідніми точками була однакова.

Цю властивість ікосаедра застосувала одна з американських фірм для виготовлення баскетбольних м'ячів.

На поверхню сферичної основи - камери з бутилкаучуку –встановлюється 12 точок, рівномірно розподілених по каркасу (вершин ікосаедра). Машина намотує нейлонові нитки по колах великих кругів, які проходять через кожну пару зазначених точок.

ІV. Сприйняття та осмислення нового матеріалу.

1. Самостійна робота за картками.

(Кожному учневі роздається картка, така ж сама висить на дошці)

№

n

S

P

В

Г

Назва многогранника

1

3

3

6

4

4

2

3

4

12

6

8

3

3

5

30

12

20

4

4

3

12

8

6

5

5

3

30

20

12

Завдання №1.

Заповніть в таблиці назви правильних многогранників за такими даними: В – число вершин, Г – число граней, Р – число ребер, n –число вершин у кожної грані, s – число граней, які сходяться в одній вершині.

(Учні роблять самоперевірку. Правильність виконання перевіряється за плакатом, який вивішується на дошці).

№

n

S

P

В

Г

Назва многогранника

1

3

3

6

4

4

Тетраедр

2

3

4

12

6

8

Октаедр

3

3

5

30

12

20

Ікосаедр

4

4

3

12

8

6

Гексаедр

5

5

3

30

20

12

Додекаедр

Завдання №2.

Користуючись тією ж самою таблицею, порахуйте, чому дорівнює В+Г-Р для кожного виду многогранників.

(Учні роблять висновок: В+Г-Р=2.)

Висновок записують в зошитах.

2. Пояснення учителя:

В+Г-Р називають Ейлеровою характеристикою многогранника.

Формулювання теореми Ейлера та запис її в зошиті.

Ейлерова характеристика опуклого многогранника дорівнює двом, тобто

Леонард Ейлер

1707-1783

В+Г-Р=2

3.Повідомлення про Леонарда Ейлера

(підготовлене учнями)

5. Домашнє завдання.

1.Завдання на вибір (записані на картках): І група завдань – кожне завдання – 4 бали, ІІ гр. – по 6 балів, ІІІ гр. – кожне завдання – 12 балів.

Домашнє завдання за вибором

Задачі по 4 бали

1. Ребро правильного октаедра дорівнює а. Знайдіть відстань між двома протилежними вершинами.

2. Ребро правильного октаедра дорівнює а. Знайти відстань між центрами двох суміжних граней.

3. Ребро правильного октаедра дорівнює а. Знайти відстань між протилежними гранями.

4. Під яким кутом з центра правильного октаедра видно його ребро.

5. В якому відношенні діляться при перетині висоти правильної о тетраедра?

6. Доведіть, що середини ребер правильного тетраедра є вершинами октаедра.

7. Доведіть, що сума двогранного кута правильного тетраедра і двогранного кута між суміжними гранями октаедра дорівнюють 180°.

Задачі по 6 балів

1. Доведіть, що тетраедр з вершинами в центрі граней правильного тетраедра - правильний. Як відносяться площ поверхонь цих тетраедрів?

2. Знайдіть двогранні кути правильного тетраедра. Знайдіть двогранні кути октаедра.

3. Чи є правильним многогранник, у якого вершинами є центри двох паралельних граней куба і середини ребер куба які не належать названим граням.

4. Через центр куба проведено три взаємно перпендикулярні прямі. Чи є правильним многогранник, вершини якого - точки перетину цих прямих х з поверхнею куба?

5. Вершини октаедра знаходяться в центрах граней куба. Як відносяться площі поверхонь цих многогранників?

Задачі на 12 балів

1. Кути куба зрізані так, що отримали многогранник, у якого 6 граней -квадрати, а 8 граней —- правильні трикутники. Знайти відношення площі поверхні отриманого многогранника до площі поверхні куба. (За таблицею полуправильних многогранників знайти його назву.)

2. Кути правильного тетраедра зрізані так, що отримали многогранник, у якого 4 грані - правильні трикутники, а 4 - правильні шестикутники. Знайти відношення площі поверхні отриманого многогранника до площі поверхні правильного тетраедра.

3. Куб з ребром а зрізаний по кутах так, що від кожної грані залишився правильний многокутник. Знайти об'єм отриманого тіла.

2. Підготувати матеріал та оформити його у вигляді газет

(з використанням різних комп’ютерних технологій) за такими питаннями:

1) полуправильні многокутник, їх види;

2) полуправильні многогранники;

3) зірчасті многогранники;

4) заповнення площини правильними многокутниками (паркет або мозаїка)

VІ. Підведення підсумків уроку.