Урок геометрии в 7 классе по теме :" Свойства прямоугольного треугольника"

Свойства  прямоугольного треугольника.

Открытый урок геометрии в 7 б  классе

Цели:

Образовательные:

1) Установить и доказать свойства прямоугольного  треугольника.

2) Формировать умения и навыки применять их к решению задач.

3)Показать практическую значимость изучаемого материала.

Развивающие:

1) Развивать логическое мышление, умение сравнивать, анализировать, обобщать, выдвигать гипотезы, искать доказательство, выдвинутых гипотез, решать проблемные ситуации, делать выводы.

2) Развивать познавательную активность, творческие способности и интерес к предмету.

Воспитательные:

1) Учить прислушиваться к мнению своих товарищей ,уважать чужую точку

2) Повышать интерес к истории родного края.

План урока

1. Организационный момент. Приветствие.

2. Вступление. Знакомство учащихся со сведениями из истории родного края , выход на тему урока.

3. Повторение теоретического материала, изученного на предыдущих уроках

4. Изучение нового материала. С помощью задач постановка учащимися гипотез о свойствах прямоугольного треугольника и их доказательство.

5. Закрепление  нового материала. Решение задач устно и письменно.

6. Самостоятельная работа учащихся.

7. Подведение итогов. Рефлексия. Домашнее задание (в том числе, творческое задание)

Оборудование: школьная доска, компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска, компьютерная презентация, карточки с задачами на готовых чертежах для самостоятельной работы.

Тип урока: урок формирования новых знаний и умений.

                                      

 

Ход урока

1. Организационный момент. Приветствие.

2. Вступление.

Ребята, знаете ли вы как связаны города Волхов и Париж? Оказывается, в 1905 году на реке Волхов был построен железнодорожный мост, он был просто необходим на участке Санкт-Петербург - Вологда.

 

Автор проекта профессор Лавр Дмитриевич Проскуряков. Он спроектировал железнодорожный  Царский мост через реку Енисей. Мост в 1900 году как и Эйфелева башня в Париже (11-ми годами ранее) был удостоен Гран-при и Большой золотой медали Всемирной выставки в Париже «за архитектурное совершенство и великолепное техническое исполнение». Позже в 1905 году по типу Царского моста был построен железнодорожный  мост через реку Волхов.

Царский мост через реку Енисей

Железнодорожный мост через реку Волхов 1923 г.

Волховский мост прослужил ровно 100 лет. В 2005 году его демонтировали и построили новый. Опоры старого моста продолжают служить и в настоящее время, напоминая жителям города о достижениях отечественного мостостроения.

Железнодорожный мост через реку Волхов (настоящее время).

Мост инженера Проскурякова был построен по принципу фермы -  конструкции из металлических стержней, соединенных в треугольники, за счет чего достигается высокая жесткость конструкции и облегчение её,  а так же уменьшение расхода материала.

Тип фермы железнодорожного моста через реку Волхов (старый мост).

              

Тип фермы железнодорожного моста через реку Волхов (новый мост).

Посмотрите на фермы старого и нового мостов. Какие треугольники вы видите в этой конструкции? А какой вид треугольников преобладает? (прямоугольные треугольники).

Как видим – прямоугольные треугольники необходимы и широко используются инженерами и строителями. Следовательно, будет полезным сегодня изучить некоторые свойства прямоугольных треугольников. Это и есть тема нашего урока.

Тема: «Свойства прямоугольного треугольника».

3. Повторение теоретического материала, изученного на предыдущих уроках

 Повторим те сведения, которые вам уже известны о прямоугольных треугольниках.

- Какой треугольник называется прямоугольным?

- Как называются его стороны?

- Какая сторона называется гипотенузой?

- Какая сторона называется катетом?

4. Изучение нового материала. С помощью задач постановка учащимися гипотез о свойствах прямоугольного треугольника и их доказательство.

Задание №1

 

Найдите неизвестные углы в прямоугольных треугольниках. Посмотрите внимательно на величины острых углов в этих треугольниках. Какое свойство острых углов в прямоугольном треугольнике можно заметить? Докажите  для углов треугольника это свойство(один из учащихся доказывает свойство, остальные поясняют что-то в доказательстве, если надо).

Свойство №1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90⁰.

Доказательство:

A + B + C = 180⁰

A + B = 180⁰ - C = 180⁰ – 90⁰ = 90⁰  ч.т.д.

 Задание№2       

Доказать, что в равнобедренном ABC c высотой BK и ABK = 30⁰ выполняется  AK =   AB

Доказательство(доказательство выполняют учащиеся, рассказывает один из них, остальные поясняют что-то в доказательстве, если надо):

ABC = BKC (как прямоугольные треугольники по гипотенузе и катету)

A = C = 90⁰ - 30⁰ = 60⁰,  ABC = 30⁰ · 2 = 60⁰

ABC – равносторонний  AB = DC = AC = 2AK

AK =   AB ч.т.д.

Катет АК равен половине АВ в прямоугольном Δ АВК.

А что если это не случайно? Учащиеся выдвигают гипотезу

Свойство №2. Катет, лежащий против угла, величина которого 30⁰, равен половине гипотенузы.

Дано: BAC = 30⁰.

Доказать: ВС =  AB

Доказательство( доказывает учитель, находясь в постоянном диалоге с учащимися)

Строим на луче ВС отрезок CD, CD = BC

ABC = ACD по двум катетам.

DAC = 30⁰  B = D = 60⁰  

ABD – равносторонний  ВС =  BD =  AB ч.т.д.

Сформулируйте обратное утверждение, поменяв условие и заключение местами: «Если катет равен половине гипотенузы, то угол лежащий против этого катета равен 30⁰.

Докажем это.

Дано: ВС =  AB.

Доказать: ВAC = 30⁰

Доказательство (доказывает учитель, находясь в постоянном диалоге с учащимися):

Строим на луче ВС отрезок CD, CD = BC

АС – медиана и высота BAD   BAD  - равнобедренный AB = AD, но AB = BD

BAD  - равносторонний  BAD = 60⁰ и АС – биссектриса  BAС = 30⁰ ч.т.д.

Итак, мы познакомились с тремя свойствами прямоугольных треугольников и теперь решим несколько задач на использование этих свойств.

5.Закрепление  нового материала. Решение задач устно и письменно.

       После доказательства свойств прямоугольного треугольника учащимся предлагаются задачи на готовых чертежах (слайды). Задачи решаются устно и  быстро.

1)                                                                                  2)

3)                                                                                 4)

        

5)                                                                                   6)

             

6.Самостоятельная работа учащихся.

Письменное решение задач.

Задача №1

Дано: CD высота, СК – биссектриса в ABC, С = 90⁰,  B = 40⁰

DCK = ?

Решение:  CDB – прямоугольный  

DСB = 90⁰ – 40⁰ = 50⁰

KCB = 45⁰, т.к. CK – биссектриса.

DCK = 50⁰ – 45⁰ = 5⁰. Ответ: DCK = 5⁰

Задача №2

Дано: AD = 24 см; BDC = 60⁰, 

BD – биссектриса.

AC -?

Решение:  CBD = 90⁰ – 60⁰ = 30⁰

B = 30⁰ · 2 = 60⁰

A = 90⁰ – 60⁰ = 30⁰ = ABD  

ABD – равнобедренный  AD = DB = 24 см

DC – катет против угла 30⁰

DC =  · BD =  · 24 = 12

AC = 24 + 12 = 36 см.  Ответ: AC = 36см.  

Задача №3

Дано:  AB = BD = AD = DC

BM – высота ADB, BM = 4см

BC =  ?

Решение: ABD – равносторонний

A = ABD =  ADB = 60⁰

С = CBD = (180⁰ - 120⁰ ) : 2 = 30⁰

в ВМС катет BM против С = 30⁰

BM=  · BC, т.е. BC = 2 BM = 2 · 4 = 8

Ответ: BC = 8см.

6.Самостоятельная работа по вариантам.

1)                                                  Вариант 1 N = … MN = …

2) B = …

3) А = … АВС = …

4) А = … АС = …

1)                                                Вариант  2 А = … ВС = …

2) А = …

3)  В = … ВС = …

4) ∠В = … АВ = …

7. Подведение итогов.

Небольшой письменный опрос: Что мы сегодня изучали? Какие трудности испытали во время урока? Что требует повторного пояснения? Что бы вы хотели узнать про прямоугольные треугольники? Кроме того, учитель объявляет оценки детям за работу на уроке и +домашнее задание п.18, свойства учить, №459, 462,  придумать задачу для одноклассников, в которой бы использовались изученные свойства.

 

 

 

 

 

Использованная литература:

А.Г Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир   учебник « Геометрия 7 класс» Москва, издательство «Вентана-граф», 2015 год,

Г Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир, рабочая тетрадь №2 к  учебнику  «Геометрия 7 класс» Москва. Издательство «Вентана-граф», 2015 год

Н.Ф.Гаврилова «Поурочные разработки по геометрии 7 класс», Москва, ООО«ВАКО»,2013 год.

«Волховские огни». Еженедельная газета Волховского района

Выпуск № 49 (16716) от 15.12.2017 г.

«Почему тебя назвали Званкой?»

http://volhovogni.ru/article/147156/

 

Новостной портал Волхов News

«Наш край в начале ХХ века. Железнодорожный поселок Званка».

http://volhovnews.ru/2017/09/17/na-kraj-v-nachale-hh-veka-zheleznodorozhnyj-poselok-zvanka/

 

Сайт «Познайка»

Лекция 5. «Плоские статически определимые фермы».

http://poznayka.org/s52818t1.html

 

Wikipedia

«Ферма (конструкция)».

https://ru.wikipedia.org/wiki/Ферма_(конструкция)

Wikipedia

«Проскуряков, Лавр Дмитриевич».

https://ru.wikipedia.org/wiki/Проскуряков,_Лавр_Дмитриевич

• 1 слайд

• 2 слайд

  
  
  Лавр Дмитриевич Проскуряков
  1858-1926
  
  крупнейший российский специалист по мостостроению
  

• 3 слайд

  Царский мост через реку Енисей
  
  

• 4 слайд

  
  Железнодорожный мост через реку Волхов 1923 г.
  
  

• 5 слайд

  Железнодорожный мост через реку Волхов (настоящее время)
  
  

• 6 слайд

  
  
  
  
  
  Тип фермы железнодорожного моста через реку Волхов (старый мост).
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  Тип фермы железнодорожного моста через реку Волхов (новый мост).
  
  

• 7 слайд

  
  
  
  
  Некоторые свойства прямоугольных треугольников.
  

• 8 слайд

  Цели урока
  Изучить свойства прямоугольных треугольников
  Научиться применять свойства прямоугольных треугольников при решении задач
  
  

• 9 слайд

  Прямоугольный треугольник.
  

• 10 слайд

  Задание 1.
  
  Найдите неизвестные углы в прямоугольных треугольниках.
  

• 11 слайд

  Какое свойство острых углов в прямоугольном треугольнике можно заметить?
  

• 12 слайд

  Свойство 1.
  
  Доказательство:
  ∠A + ∠B +∠C = 1800
  ∠A +∠B = 1800 - ∠C = 1800 – 900 = 900 ч.т.д.
  Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º
  

• 13 слайд

  Задача.
  
  
  
  Доказать, что в равнобедренном Δ ABC c высотой BK и ∠ABK = 300 выполняется AK = 1 2 AB
  

• 14 слайд

  
  Свойство №2.
  Катет, лежащий против угла, величина которого 300, равен половине гипотенузы
  
  Дано: ΔАВС -прямоугольный
  ∠BAC = 300.
  Доказать: ВС = 1 2 AB
  
  

• 15 слайд

  Дано: : ΔАВС -прямоугольный
  ВС = 1 2 AB.
  Доказать: ∠ВAC = 300
  
  
  
  
  
  Задание
  Сформулируйте обратное утверждение, поменяв
  в свойстве №2 условие и заключение местами:
  
  Свойство №3.
  Если катет равен половине гипотенузы, то угол лежащий против этого катета равен 300.
  
  

• 16 слайд

  Решите задачи устно.
  

• 17 слайд

• 18 слайд

• 19 слайд

• 20 слайд

• 21 слайд

• 22 слайд

  Решите задачи письменно.
  Дано: CD высота, СК – биссектриса в 𝛥ABC, ∠С = 900, ∠B = 400
  ∠DCK = ?
  
  

• 23 слайд

  Дано: AD = 24 см; ∠BDC = 600,
  BD – биссектриса.
  AC -?
  
  

• 24 слайд

  Дано: AB = BD = AD = DC
  BM – высота, ΔADB, BM = 4см
  BC = ?
  
  

• 25 слайд

  Домашнее задание
  § 18,задачи 1,2 учить доказательства свойств
  Решить задачи № 459,№462
  Творческое задание:
  Придумать задачу ,в которой используются изученные свойства прямоугольного треугольника
  

• 26 слайд

  Итоги урока:
  Что нового вы узнали на уроке?
  Что вызвало у вас затруднения?
  Что бы вы еще хотели узнать о прямоугольных треугольниках?
  
  Спасибо
  за внимание!
  

Краткое описание документа:

Предложенный материал содержит конспект урока по геометрии в 7 классе по теме : " Свойства прямоугольного треугольника" и презентацию к уроку.В конспекте содержится много задач для устного и письменного решения на уроке и самостоятельная работа по изучаемой теме на два варианта.Кроме того,имеется материал ,показывающий практическое применение прямоугольных треугольников.