Урок геометрии в 8 классе "Теорема Пифагора"

Урок  в 8 классе : ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Боги дали людям две благодати –

говорить правду и делать добро.

Пифагор.

Тема: Теорема Пифагора.

     Цель  урока:

Изучение  теоремы Пифагора, её доказательства, применение при решении задач;

Задачи:     

Ø Доказать одну из главных теорем геометрии

Ø Развивать интерес у учащихся к истории математики, творческие способности учащихся.

Ø Воспитывать  культуру  общения на  языке математики, чувство коллективизма

Ø Учить выражать свои мысли на изучаемом предмете.

Цель изучения^

1. Существенно расширить круг задач, решаемых школьниками.
2. Познакомить учащихся с основными этапами жизни и деятельности Пифагора.
3. Осуществление межпредметной связи геометрии с алгеброй, географией, историей, биологией, литературой.

Прогнозируемый результат

1. Знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника.
2. Уметь доказывать теорему Пифагора.
3. Уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

План урока:

1. Организационный момент. Цели урока.
2. Сообщение учащегося о жизни Пифагора Самосского., Историческая справка о школе Пифагора.
3. Работа над теоремой.
4. Решение задач с применением теоремы.
5. Самостоятельная  работа
6. Подведение итога урока.
7. Домашнее задание и вопросы для исследовательской домашней работы.

Оборудование

1. Чертежные инструменты.
2. Портрет Пифагора.
3. Легенды о Пифагоре, портрет Пифагора, рефераты учащихся, нравственные заповеди пифагорейцев, пентаграмма, исторические задачи, , пифагоровы тройки ,буклеты. Таблица квадратов.
4. Рисунки к устным задачам, различные  доказательства теоремы.
5. Презентация Microsoft Office PowerPoint.

Суть истины вся в том, что нам она – навечно, Когда хоть раз в прозрении её увидим свет, И теорема Пифагора через столько лет Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна …

(Отрывок из стихотворения А. Шамиссо)

Ход урока:

1.      Орг. момент

Сегодня на уроке мы приступает к изучению одной из важнейших теорем геометрии – теоремы Пифагора. Она является основой решения множества геометрических задач и базой изучения теоретического материала в дальнейшем. Докажем эту теорему и решим несколько задач с её применением, но сначала послушаем рассказ о математике, именем которого она названа, его подготовил(а)

Анна                                                                                                                                      

2.      Жизнь  Пифагора.

но сначала послушаем рассказ о математике, именем которого она названа, его подготовили   Анна  и Арман.

Из рассказа вы узнали, что союз пифагорейцев был тайным. Эмблемой или опознавательным знаком союза являлась пентаграмма (рис. 4) – пятиконечная звезда. Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов.

(Этот пятиугольник обладает интересным геометрическим свойством: поворотной симметрией пятого порядка, т.е. имеет пять осей симметрии, которые совмещаются при каждом повороте на 72º. Именно это тип симметрии наиболее распространён в живой природе у цветков незабудки, гвоздики, колокольчика, шиповника, лапчатки гусиной, вишни (рис. 5), груши, яблони, малины, рябины и т.д. Поворотная симметрия пятого порядка встречается и в животном мире, например, у морской звезды (рис. 6) и панциря морского ежа.)

3.      Изучение  теоремы  и  доказательства.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов  катетов

                                                             с²= а² + в²

Док-во: 4 прямоугольных треугольника  с катетами  а и в и гипотенузой  с расположены так , что  их стороны образуют 2 квадрата: большой со стороной  а+в  и  малый со стороной с.

Из рисунка видно, что  с²=(а+в)² – 4* ав/2.

Так как : (а+в)2 – 4 ав/2=а²+2ав+в²-2ав=а²+в², то с²=а²+в².

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.

-Откройте тетради, запишите число … и тему урока "Теорема Пифагора".

— Ребята, может быть, вы что-нибудь слышали о теореме Пифагора? (…)

— А ещё? (Пифагоровы штаны во все стороны равны.)

 Действительно, это шуточная формулировка теоремы.

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он "запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы". В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: "… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста".

В настоящее время их насчитывается более ста.

Д о к а з а т е л ь с т в о

Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдём: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим И таким простым путём К результату мы придём.

Ч. т. д.

Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии, потому что с её помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач.

4.      Решим устно несколько задач по готовым чертежам.

З а д а ч а №1

                                        ?

6

                            8

Р е ш е н и е

Δ АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ,

по теореме Пифагора: АВ² = АС² + ВС²,

АВ² = 8² + 6²,

АВ² = 64 + 36,

АВ² = 100,

АВ = 10.

О т в е т:
АВ = 10

З а м е ч а н и е. Из курса алгебры известно, что уравнение АВ² = 100 имеет два корня: АВ = ± 10. АВ = – 10 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны треугольника всегда положительна. Значит, АВ = 10.
Давайте договоримся, что в дальнейшем, при решении уравнений в подобных задачах, будем ограничиваться только положительными корнями, и каждый раз не будем пояснять, почему отрицательные корни отбрасываются.

З а д а ч а №2

                                                        ?

 

                            3

                                                              5

Р е ш е н и е

Δ DCE – прямоугольный с гипотенузой DE (рис. 16),

по теореме Пифагора: DE² = DС² + CE²,

DC² = DE² – CE²,

DC² = 5² – 3²,

DC² = 25 – 9,

DC² = 16,

DC = 4.

О т в е т:
DC = 4

Получили прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ед. Это единственный прямоугольный треугольник, стороны которого равны трём последовательным натуральным числам. Его часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Они и спользовали этот треугольник в "правиле верёвки" для построения прямых углов при закладке зданий, храмов, алтарей… Об этом вы прочитаете дома в п. 2.3 и в материалах "презентации".

З а д а ч а №3

Р е ш е н и е

Δ KLM вписан в окружность и опирается на диаметр KM (рис. 17). Так как вписанные углы, опирающиеся на диаметр, – прямые, то угол KLM – прямой. Значит, Δ KLM – прямоугольный. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника KLM с гипотенузой КМ:

KM² = KL² + KM²,

KM² = 5² + 12²,

KM² = 169,

KM = 13.

О т в е т:
KM = 13

Выполним  задания  в  тетради:  №276. Ответ  км.

№277 . Ответ: 5,6 см.

5.Самостоятельная работа в парах:

а		6		3	5	6
b	4	8	15	2	5		24
с	5		17			10	25

5.      Подведение  итогов  урока:

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с одной из главных теорем геометрии – теоремой Пифагора и её доказательством, с некоторыми сведениями из жизни учёного, имя которого она носит, решили несколько простейших задач.

Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. К следующему уроку вы должны выучить теорему Пифагора с доказательством, так как мы будем учиться применять её к решению более сложных задач.

Популярность теоремы столь велика, что её доказательства встречаются даже в художественной литературе, например в рассказе известного английского писателя Хаксли "Юный Архимед". Такое же доказательство, но для частного случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге Платона "Менон". Этой теореме даже посвящены стихи.

Для тех, кто желает больше узнать о Пифагоре, прочитать о нём легенды, выяснить, почему союз пифагорейцев был тайным, почему авторство работ приписывалось учителю и о многом другом, советую прочитать книгу А.В. Волошинова "Пифагор".

А познакомившись с материалами "презентации", вы можете узнать о нравственных заповедях пифагорейцев, прочитать несколько легенд, связанных с именем Пифагора, попробовать решить несколько исторических задач и разгадать пифагорову тайну.

7.домашнее задание: выучить материалы п.2.3, , решить задачи № 278,279 с. 87.

М о т и в и р у ю щ а я   з а д а ч а

Кто же на самом деле открыл теорему Пифагор?

Почему она долгое время называлась "теоремой невесты"?

Какое из доказательств  является самым красивым? (Цель этой исследовательской работы – научить учеников использовать дополнительную литературу, применять Интернет в собственной образовательной деятельности.)