Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Урок геометрии в 8 классе Теорема Пифагора

Урок геометрии в 8 классе Теорема Пифагора

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Название документа Урок геометрии в 8 классе Теорема Пифагора.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Сахаров Алексей Павлович, учитель математики,

Частное общеобразовательное учреждение «Школа – интернат №3

среднего общего образования ОАО «РЖД» г. Ртищево Саратовской области


hello_html_3211d70b.gifhello_html_24b7cc2f.gifhello_html_m58486e57.gifhello_html_1894ebb7.gifКонспект урока геометрии в 8 классе по теме: «Теорема Пифагора»

Тема урока: «Теорема Пифагора».


Цель урока: Дать понятие о теореме Пифагора, о многообразии способов ее доказательства, первичное применение теоремы для решения задач.


Задачи урока:

  1. исследовать закономерности между сторонами прямоугольного треугольника; изучить теорему Пифагора; формировать умения применять теорему Пифагора при решении задач;

  2. УУД:

  • Познавательные: развивать основы логического и алгоритмического мышления; расширять кругозор учащихся; развивать интерес к математике.

  • Регулятивные: развивать умения читать и записывать информацию в виде различных математических моделей, планировать действия в соответствии с поставленной задачей;

  • Коммуникативные: строить высказывания, аргументировано доказывать свою точку зрения;

  • Личностные: развивать навыки сотрудничества со сверстниками, внимания, памяти, воображения.


Тип урока: формирование новых знаний и умений.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор.

Дидактические средства: учебник, электронная презентация, раздаточный материал.

Методы и приемы: фронтальная работа, сочетающаяся с общеклассной; частично-поисковый метод; индивидуальная работа; работа в парах. 

Эпиграф урока: Геометрия владеет двумя сокровищами, одно из них – …”. (слайд 1)

Иоганн Кеплер


План урока:

  1. Организационный момент. (1 мин.)

  2. Устная работа. (10 мин.)

  3. Проблемная ситуация. (5 мин.)

  4. Сообщение главной цели урока.

  5. Исследовательская работа (в парах).

  6. Изучение нового материала. (10 мин.)

  7. Физминутка.

  8. Закрепление изученного материала. ( решение задач) (10 мин.)

  9. Применение теоремы Пифагора.

  10. Подведение итога урока. (1 мин.)

  11. Домашнее задание. (3 мин.)

  12. Рефлексия.


Ход урока.


  1. Организационный момент.


  1. Устная работа.

Какая геометрическая фигура изображена на экране? (слайд 2).

Какой треугольник называется прямоугольным?

Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется… (слайд 3).

Стороны, образующие прямой угол, называются…

Учитель. Сформулируйте свойства прямоугольных треугольников, которые мы уже знаем (слайд 4).

Продолжите предложения:

  1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна hello_html_m5e12db31.gif. (слайд 5).

По рисунку найдите угол 3 если сумма углов 1 и 2 равна 900. (слайд 6).

  1. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в hello_html_34432a7c.gif, равен половине гипотенузы. (слайд 7).

- Один из углов прямоугольного треугольника равен 15°. Чему равны остальные углы?

- Один из углов из углов прямоугольного треугольника равен 30°, катет, противолежащий ему, равен 13 см. Чему равна гипотенуза?

- Катет прямоугольного треугольника равен 16 дм, гипотенуза – 32 дм. Найдите углы треугольника.

Учитель. - Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников

Сначала учащиеся формулируют признаки равенства прямоугольных треугольников, а затем переходим к решению задач на доказательство по готовым чертежам:

Докажите, что треугольники равны. (слайд 8).


Учитель. Посмотрим, что вы помните о свойствах площадей: (слайд 8).

- Равные многоугольники имеют ... (слайд 9).

- Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна ... (слайд ).

- Площадь квадрата равна ... (слайд 10).

- Сторона квадрата 14 см. Чему равна площадь квадрата?

- Площадь квадрата 225 м2. Найдите его сторону.

- Площадь прямоугольного треугольника равна ... (слайд 11).

- Катеты прямоугольного треугольника 4 см и 8 см. Найдите его площадь.

  1. Проблемная ситуация.

А теперь давайте решим небольшую задачу. (слайд 12)

Задача 1. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из одного населенного пункта в противоположных направлениях. Пешеход пошел на запад со скоростью 5 км/ч, а велосипедист поехал на восток со скоростью 12 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час?

На каком предмете обычно решают такие задачи?

Задача 2. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из одного населенного пункта в разных направлениях. Пешеход пошел на юг со скоростью 5 км/ч, а велосипедист поехал на восток со скоростью 12 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час? (слайд 13)


Какая фигура получилась? Какие стороны известны? Что найти?

Тех знаний о прямоугольном треугольнике, которые мы имеем, не хватает. Последнюю задачу решить не можем.

Сформулируйте то, что мы должны знать, чтоб решить эту задачу? Это и будет целью нашего урока.


  1. Сообщение главной цели урока.

Цель нашего урока как раз и заключается в том, чтобы выяснить, как связаны между собой стороны прямоугольного треугольника. (слайд 14)


  1. Исследовательская работа (в парах).

Чтоб это выяснить, мы займемся исследовательской деятельностью. Работаем в парах.

1) Учащиеся, получившие бумажные треугольники, выполняют задание:


а) Измерьте стороны треугольников и заполните таблицу на доске:

a

b

c

a 2

b 2

c 2

a 2 + b 2

1.

8

15

17

64

225

289

289

2.

7

24

25

49

576

625

625

3.

6

8

10

36

64

100

100






2) (дополнительное) Я вам раздам лист, на котором оранжевым цветом закрашен равнобедренный прямоугольный треугольник, на сторонах которого построены квадраты. Ответьте на два вопроса и сделайте вывод.

Вывод: Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Так изначально формулировалась теорема Пифагора.



  1. Вычислите, чему равен квадрат гипотенузы.

  2. Найдите сумму квадратов катетов.

  3. Какой можно сделать вывод?

Ученик. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.


Можно ли из данных этой работы сделать такой вывод о связи катетов и гипотенузы всех прямоугольных треугольников? (Нет, т. к. из частных случаев не следуют общие заключения).


Учитель.

То, к чему мы пришли опытным путем, доказал древнегреческий ученый Пифагор в 6 в. до н. э. Он не открыл эту теорему (она была известна еще в Древнем Египте и Вавилоне), а нашел ее доказательство.

Итак, какова же тема нашего сегодняшнего урока? ( «Теорема Пифагора»). (слайд 15)


Эта теорема является основой решения множества геометрических задач и базой изучения теоретического материала в дальнейшем. Сама же теорема Пифагора замечательна тем, что она проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное практическое значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу.

Докажем эту теорему и решим несколько задач с её применением.

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников (слайд 16).

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала так:

"Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах".

Действительно, с2 – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а2 и b2 – площади квадратов, построенных на катетах.

Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. На рисунке вы видите, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

В древние времена, доказывая эту теорему, чертили чертёж и просто говорили: «Смотри!».

Возникает вопрос, для любого ли прямоугольно треугольника справедливо это равенство или только для равнобедренного прямоугольного треугольника?


  1. Изучение нового материала.

«Для того чтобы усовершенствовать ум, надо больше рассуждать, чем заучивать».

                                                                                                   Р. Декарт

Учитель.

- А кто из вас что-нибудь слышал об этой теореме? (Пифагоровы штаны на все стороны равны).

- Действительно, это шуточная формулировка теоремы. Почему так говорят, вы узнаете несколько позже, сейчас докажем теорему Пифагора в современной формулировке. Я хочу, чтобы вы попробовали доказать её сами, используя свойства площадей и метод, который мы использовали при введении формул сокращённого умножения, при выводе формул площадей некоторых фигур.

Теорема:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.


Выделите в данной теореме условие и заключение.

Ученик. Условие: в прямоугольном треугольнике. Заключение: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Итак, нам дан прямоугольный треугольник с катетами a, b, гипотенузой с.


а

в

Запись на доске:

А

с

с

а

в

Дано:

с

в

∆АВС;

с

hello_html_50cb262d.gifС=90hello_html_m214a747f.gif;

с

а

а

в

С

В

АВ=с;

ВС=а;

а

в

АС=в;

Док-ть:

hello_html_fe3f05a.gif

Учитель. Доказательство:

  1. Достроим прямоугольный треугольник c катетами a, b, гипотенузой с до квадрата со стороной a+b. (Далее доказательство сопровождается пошаговой иллюстрацией производимых действий).

  2. Площадь S этого квадрата равна hello_html_m3e41b9a6.gif

  3. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равнаhello_html_m678c9c02.gif, и квадрата со стороной hello_html_m67629ff2.gif, поэтому

hello_html_7831f11c.gif

  1. Таким образом, hello_html_1ac2ff46.gifhello_html_m25614fb9.gifhello_html_m7ae23e22.gif

Теорема доказана.

Найдите формулировку теоремы в учебнике.

  1. Физминутка.

Устали? Чтоб немного отдохнуть от умственной деятельности, давайте разомнемся!

Минута отдыха. Стихотворение, посвящённое теореме.



Если дан нам треугольник,
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим -
И таким простым путём
К результату мы придём.



  1. Закрепление изученного материала (решение задач).


Мы доказали с вами одну из важнейших теорем геометрии. Давайте попробуем решить с её помощью несколько задач по готовым чертежам устно (слайд 17).

Все задачи можно разделить на два типа


Задача 1




Замечание: Из курса алгебры известно, что уравнение АВhello_html_3046c012.gif= 100 имеет два корня АВ = +hello_html_m1ce978f2.gif. АВ = -10 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны треугольника всегда положительна. Значит АВ = 10. В дальнейшем при решении уравнений в подобных задачах, мы будем находить только положительные корни, и не будем объяснять каждый раз почему отрицательные корни отбрасываются.


Задача №2




Мы с вами получили треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц. Это единственный прямоугольный треугольник, стороны которого равны трём последовательным натуральным числам. Его часто называют египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Они использовали этот треугольник в «правиле верёвки» для построения прямых углов при закладке зданий, храмов, алтарей и т.п. Об этом мы поговорим подробнее на следующем уроке.

Вернёмся теперь к задаче про велосипедиста и пешехода, которую мы не смогли решить в начале урока. (слайд 18).

Теперь мы легко можем найти расстояние, которое будет между велосипедистом и пешеходом через 1 час.


Рассмотрим ещё две задачи не из школьного учебника.

Решение задачи индийского математика XII века Бхаскары (слайды 19 - 20)

и из учебника Леонтия Магницкого. (слайд 21).


  1. Применение теоремы Пифагора.

Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести множество теорем геометрии и решить много задач. (слайд 22)


ВИДЕО

Видеоролик мультяшной формы из интернета (1,5 мин.) (переход по гиперссылке к слайду 25).


  1. Подведение итогов.

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с одной из главных теорем геометрии - теоремой Пифагора и её доказательством, с некоторыми сведениями из жизни учёного, имя которого она носит, решили несколько простейших задач.

Теорема Пифагора замечательна и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна, не смотря на внешнюю простоту.

Например, свойства равнобедренного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже.

Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c2 = a2 + b2.

Кто уже запомнил формулировку теоремы Пифагора?

Пригодятся вам эти знания?

Популярность теоремы настолько велика, что доказательств очень-очень много. В некоторой литературе указывается, что их более 500. Может, вы сами захотите найти другие доказательства, больше узнать о Пифагоре. На следующем уроке мы рассмотрим некоторые из них.


  1. Домашнее задание (слайд 23).

  • п. 54. № 483, 484

  • Почему теорему Пифагора называли «Теоремой невесты»?

  • Найти какое-нибудь доказательство, отличное от рассмотренных на уроке (по желанию).


  1. Рефлексия

Понравился вам урок?

Памятник Пифагору находится в порту города Пифагория на острове Самос и напоминает всем о теореме Пифагора, наиболее известном его открытии. Катет, лежащий в основании треугольника - мраморный, гипотенуза и фигура самого Пифагора в виде второго катета - медные. (слайд 24).

СПАСИБО ЗА УРОК!

7


Название документа Урок геометрии в 8 классе Теорема Пифагора.pptx

«Геометрия владеет двумя сокровищами, одно из них - …» 					Иоганн Кеплер Уро...
 Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого один из углов прямой.
Прямоугольный треугольник и его элементы Гипотенуза Катет Катет Сторона прямо...
 Найти  3, если  1+  2 = 90°. 1 3 2
 A C B A1 C1 B1 Докажите, что треугольники равны.
 СВОЙСТВА ПЛОЩАДЕЙ 1. Равные многоугольники имеют равные площади S1= S2 S1 S2
СВОЙСТВА ПЛОЩАДЕЙ 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольни...
 СВОЙСТВА ПЛОЩАДЕЙ 3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны a a
СВОЙСТВА ПЛОЩАДЕЙ 4. Площадь прямоугольного треугольника равна половине прои...
Задача 1. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из одного населенно...
Задача 2. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из одного населенно...
Как связаны стороны прямоугольного треугольника?
 Теорема Пифагора Классная работа
Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, рав...
Ответ: 5 4 5 ? Найдите гипотенузу c прямоугольного треугольника по данным ка...
Задача 2. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из одного населенно...
На берегу реки рос тополь одинокий.  Вдруг ветра порыв его ствол надломал. ...
Запомни теперь, что в том месте река  В четыре лишь фута была широка.  Верху...
Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть...
Значение теоремы Пифагора Из теоремы Пифагора или с её помощью можно вывести...
 483, 484. Почему теорему Пифагора называли «Теоремой невесты»?
Памятник Пифагору находится в порту города Пифагория на острове Самос и напом...
Интернет-ресурсы http://th-pif.narod.ru/biograph.htm http://to-name.ru/biogra...
1 из 25

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 «Геометрия владеет двумя сокровищами, одно из них - …» 					Иоганн Кеплер Уро
Описание слайда:

«Геометрия владеет двумя сокровищами, одно из них - …» Иоганн Кеплер Урок геометрии в 8 классе

№ слайда 2  Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого один из углов прямой.
Описание слайда:

Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого один из углов прямой.

№ слайда 3 Прямоугольный треугольник и его элементы Гипотенуза Катет Катет Сторона прямо
Описание слайда:

Прямоугольный треугольник и его элементы Гипотенуза Катет Катет Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется… Стороны, образующие прямой угол, называются… гипотенузой катетами

№ слайда 4
Описание слайда:

№ слайда 5  Найти  3, если  1+  2 = 90°. 1 3 2
Описание слайда:

Найти  3, если  1+  2 = 90°. 1 3 2

№ слайда 6
Описание слайда:

№ слайда 7  A C B A1 C1 B1 Докажите, что треугольники равны.
Описание слайда:

A C B A1 C1 B1 Докажите, что треугольники равны.

№ слайда 8  СВОЙСТВА ПЛОЩАДЕЙ 1. Равные многоугольники имеют равные площади S1= S2 S1 S2
Описание слайда:

СВОЙСТВА ПЛОЩАДЕЙ 1. Равные многоугольники имеют равные площади S1= S2 S1 S2

№ слайда 9 СВОЙСТВА ПЛОЩАДЕЙ 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольни
Описание слайда:

СВОЙСТВА ПЛОЩАДЕЙ 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников

№ слайда 10  СВОЙСТВА ПЛОЩАДЕЙ 3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны a a
Описание слайда:

СВОЙСТВА ПЛОЩАДЕЙ 3. Площадь квадрата равна квадрату его стороны a a

№ слайда 11 СВОЙСТВА ПЛОЩАДЕЙ 4. Площадь прямоугольного треугольника равна половине прои
Описание слайда:

СВОЙСТВА ПЛОЩАДЕЙ 4. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов C A B a b с

№ слайда 12 Задача 1. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из одного населенно
Описание слайда:

Задача 1. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из одного населенного пункта в противоположных направлениях. Пешеход пошел на запад со скоростью 5 км/ч, а велосипедист поехал на восток со скоростью 12 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час? ? 12 км 5 км 17 км

№ слайда 13 Задача 2. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из одного населенно
Описание слайда:

Задача 2. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из одного населенного пункта в разных направлениях. Пешеход пошел на юг со скоростью 5 км/ч, а велосипедист поехал на восток со скоростью 12 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час? ? 12 км 5 км

№ слайда 14 Как связаны стороны прямоугольного треугольника?
Описание слайда:

Как связаны стороны прямоугольного треугольника?

№ слайда 15  Теорема Пифагора Классная работа
Описание слайда:

Теорема Пифагора Классная работа

№ слайда 16 Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, рав
Описание слайда:

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. Формулировка Пифагора

№ слайда 17 Ответ: 5 4 5 ? Найдите гипотенузу c прямоугольного треугольника по данным ка
Описание слайда:

Ответ: 5 4 5 ? Найдите гипотенузу c прямоугольного треугольника по данным катетам a и b, если a = 4, b = 5. В прямоугольном треугольнике a и b – катеты, c - гипотенуза. Найдите b, если a = 12, с = 13.

№ слайда 18 Задача 2. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из одного населенно
Описание слайда:

Задача 2. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из одного населенного пункта в разных направлениях. Пешеход пошел на юг со скоростью 5 км/ч, а велосипедист поехал на восток со скоростью 12 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час? ? 12 км 5 км Ответ: 13 км

№ слайда 19 На берегу реки рос тополь одинокий.  Вдруг ветра порыв его ствол надломал. 
Описание слайда:

На берегу реки рос тополь одинокий.  Вдруг ветра порыв его ствол надломал.  Бедный тополь упал. И угол прямой  С теченьем реки его ствол составлял. Индийская задача XII века

№ слайда 20 Запомни теперь, что в том месте река  В четыре лишь фута была широка.  Верху
Описание слайда:

Запомни теперь, что в том месте река  В четыре лишь фута была широка.  Верхушка склонилась у края реки.  Осталось три фута всего от ствола. 4 Индийская задача XII века 3 Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:  ? У тополя как велика высота? Ответ: 8 футов

№ слайда 21 Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть
Описание слайда:

Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обрете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать. Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого Ответ: 44 стопы

№ слайда 22 Значение теоремы Пифагора Из теоремы Пифагора или с её помощью можно вывести
Описание слайда:

Значение теоремы Пифагора Из теоремы Пифагора или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Она позволяет 1) Находить стороны прямоугольника; 2) Строить прямые углы;      3) Строить отрезки с иррациональными длинами; 4)  Не проводя линии, можно узнать ее  длину; Благодаря этой теореме мы можем находить расстояние между точками, не измеряя этого расстояния непосредственно.

№ слайда 23  483, 484. Почему теорему Пифагора называли «Теоремой невесты»?
Описание слайда:

483, 484. Почему теорему Пифагора называли «Теоремой невесты»?

№ слайда 24 Памятник Пифагору находится в порту города Пифагория на острове Самос и напом
Описание слайда:

Памятник Пифагору находится в порту города Пифагория на острове Самос и напоминает всем о теореме Пифагора, наиболее известном его открытии. Катет, лежащий в основании треугольника - мраморный, гипотенуза и фигура самого Пифагора в виде второго катета - медные.

№ слайда 25 Интернет-ресурсы http://th-pif.narod.ru/biograph.htm http://to-name.ru/biogra
Описание слайда:

Интернет-ресурсы http://th-pif.narod.ru/biograph.htm http://to-name.ru/biography/pifagor.htm http://ru.wikipedia.org/ http://moypifagor.narod.ru/use.htm

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 16.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров284
Номер материала ДВ-264926
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх