673308
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
Добавить материал и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
ИнфоурокАлгебраКонспектыУрок геометрии в 9 классе "Задачи с практическим содержанием на применение теорем синусов и косинусов"

Урок геометрии в 9 классе "Задачи с практическим содержанием на применение теорем синусов и косинусов"

библиотека
материалов

Урок геометрии в 9 классе по теме «Задачи с практическим содержанием на применение теорем синусов и косинусов»

Климочкина Галина Николаевна, учитель математики

Тип урока: урок систематизации и закрепления знаний.

Цель урока: показать связь теории с практикой, способствовать совершенствованию навыков решения практических задач, применяя теоремы синусов и косинусов.

Задачи:

- использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения неизвестных величин в реальной ситуации;

- приобрести опыт решения задач практического содержания;

- формировать коммуникативную компетенцию учащихся;

- способствовать развитию наблюдательности, умению анализировать, сравнивать, делать выводы.



Оборудование: компьютер, мультимедийная установка.

Ход урока.

1. Вступление.

Часто возникает спор о том, нужны ли задачи с занимательным условием, задачи, оперирующие с конкретными, взятыми из жизни, примерами? Здесь не может быть двух мнений: такие задачи нужны. Практические задачи позволяют показать важность геометрических знаний в повседневной жизни и быту. Сегодня на уроке мы рассмотрим задачи с практическим содержанием на применение теорем синусов и косинусов. (Слайд 1)

Блез Паскаль сказал: «Среди равных умов при одинаковости прочих условий превосходит тот, кто знает геометрию». Это девиз нашего урока. (Слайд 2)

А теперь перейдем к разминке. (Слайд 3)

2. Разминка.

1 блок. Знай!!! (Слайд 4)

Задание 1. Как продолжить утверждение, чтобы оно стало верным?

«Стороны треугольника пропорциональны…синусам противолежащих углов». Здесь мы повторили теорему синусов.

Задание 2. Продолжите фразу так, чтобы утверждение стало верным? Помните о теме нашего урока.

«Квадрат стороны треугольника равен…сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними». Итак, мы повторили теорему косинусов.

2 блок. Подумай!!! (Слайд 5)

Задание 1. Найдите ошибки в записи формул.

Перед вами запись формулы теоремы косинусов. Проверим, правильно ли записана формула.

Здесь допущена ошибка, т.к. стороне а противолежит угол А.

Задана следующая формула.

В этой формуле допущены 2 ошибки: неправильно записано произведение сторон и угол.

В записи следующей формулы тоже допущена ошибка: вместо косинуса противолежащего угла написали синус противолежащего угла.

Задание 2. Установите соответствие формул с их названиями.

Теореме синусов соответствует формула 2, теореме Пифагора – формула 3, теореме косинусов – формула 1.

3 блок. Примени!!! Используем теоремы синусов и косинусов для решения задач. (Слайд 6)

Задание 1. Дано: АВ=5, АС=4, угол ВАС=600. Найти: ВС.

Решение. Сторону ВС найдем по теореме косинусов: ВС2=52+42-2∙5∙4∙cos600=25+16-20=21, ВС=. Ответ: .

Задание 2. Дано: АВ=, ВС=, угол ВАС=600. Найти: угол С.

Решение. По теореме синусов AB/sinC =ВС/sinBAC, / sinC=//2, sinC =/2, угол С=450. Ответ: 450.

4 блок. Сообрази!!! (Слайд 7)

Задание 1. В ΔАВС АВ=8,4 см, ВС=13,2 см, АС=7,5 см. Какой угол треугольника наибольший, какой наименьший?

Из неравенства треугольников следует, что против большей стороны лежит больший угол, а против меньшей стороны – меньший угол. Значит, наибольший угол лежит против стороны ВС – это угол А, наименьший угол лежит против стороны АС – это угол В.

Соответственно, если в задаче надо будет найти наибольший угол, то надо находить угол, лежащий против большей стороны.

Задание 2. Известны стороны треугольника 9 см и 12 см. Может ли угол, противолежащий стороне 9 см, быть прямым? Почему?

Нет, не может, т.к. прямой угол в треугольнике наибольший, и он может лежать только против большей стороны 12 см.

5 блок. Напрягись!!! (Слайд 8)

Задание 1. Подберите условие задачи к данному чертежу:

Дан ΔАВС, АВ=8, АС=6, угол А=300.

1) длину ВС можно найти по теореме косинусов. Поэтому 1 задача подходит к данному чертежу.

2) S(АВС) можно найти как произведение 1/2∙АВ∙АС∙ sin300. 2 задача тоже подходит к данному чертежу.

3) длину медианы, проведенной к АС, можно найти по теореме косинусов, взяв в качестве сторон АВ и половину АС. 3-ю задачу тоже можно решить по этому чертежу.

Таким образом, все три задачи подходят к данному чертежу.

Задание 2. Составьте условие задачи по данному чертежу.

Дан параллелограмм АВСD, ВН-высота, угол А=600, АВ=4, НD=8. Найти S(АВСD), длины диагоналей ВD и АС.

Из истории открытия теорем косинусов и синусов. (Слайд 9)

Древнегреческий математик Евклид обобщил теорему Пифагора и теорему косинусов отдельно для острого и тупого углов. Франсуа Виет впервые сформулировал в словесной форме теорему косинусов. А самое древнее доказательство теоремы синусов на плоскости было описано в 13 веке Насиром ад-Дин Ат-Туси.

А теперь перейдем к основной теме нашего урока «Задачи с практическим содержанием на применение теорем синусов и косинусов». (Слайд 10)

3. Решение задач.

Повторим алгоритм решения практических задач. (Слайд 11)

1. Выполнить рисунок.

2. Построить математическую модель (чертеж).

3. Решить геометрическую задачу.

Задача 1. Найдите ширину озера АВ, если АС=12 м, угол С=600, ВС=15 м. В ответе укажите целое число метров. (Слайд 12)

По алгоритму решения задач с практическим содержанием мы сначала строим чертеж, наносим все данные, записываем дано:

Решение. (Слайд 13)

1) по теореме косинусов найдем АВ2;

2) в результате вычислений получаем АВ2=189, АВ≈14 м.

Ответ: 14 м.

Задача 2. Футбольный мяч находится у Ежика , который расположился на расстояниях 12 м от одной штанги ворот и 14 м от другой. Ширина ворот 7 м. Найдите угол попадания мяча в ворота. (Слайд 14)

Выполним рисунок. Перенесем все данные и чертеж на бумагу, запишем дано. (Слайд 15)

Дано: ΔАВС, АВ=7 м, АС=12 м, ВС=14 м. Найдите: С.

Решение. Напротив неизвестного угла С лежит сторона АВ. Используем теорему косинусов, находим АВ2, выражаем косинус угла С; cosC≈0,866; с помощью таблиц Брадиса найдем угол С; С≈300.

Ответ: 300.

Задача 3. Как мальчику найти расстояние до пальмы на острове, если у него есть рулетка и астролябия для измерения углов? (Слайд 16)

Наметим алгоритм нахождения расстояния до недоступной точки:

Отметим 2 точки А и В на местности, расстояние между которыми можно измерить. Выберем точку С на острове и измерим с помощью астролябии углы А и В. (Слайд 17)

Алгоритм нахождения расстояния до недоступного предмета. (Слайд 18)

Перенесем все данные и чертеж на бумагу. (Слайд 19)

Дано: ΔАВС, угол А=450, С=850. Найти: АВ.

Решение. 1) по теореме о сумме углов треугольника найдем угол В. Он равен 500.

2) АВ найдем по теореме синусов: АВ≈19,5 м.

Ответ: 19,5 м.

Мы с вами рассмотрели практические задачи на применение теорем синусов и косинусов. А теперь рассмотрим применение этих теорем в стереометрической задаче. Такие задачи вы будете решать в старших классах.

Задача 4. В тетраэдре DАВС DВС=DВА=600, ВА=ВС=5 см, DВ=8 см, АС=8 см. Найдите SDС). (Слайд 20)

Тетраэдр – это многогранник, составленный из 4-х треугольников. Перед вами модель тетраэдра.

Давайте построим тетраэдр и запишем дано.

Как можно найти SDС)? (Слайд 21) Нам надо найти остальные стороны треугольника.

Запись на доске:

1) =, где р = - полупериметр (формула Герона),

2) = аha, 3) = аbsinγ.

Что мы можем найти, исходя из этих данных?

(Слайд 21)

1) из ΔDВС по теореме косинусов найдем СD, СD=7 см.

2) ΔDВС= ΔDВА по двум сторонам и углу между нимиСDD=7 см.

3) ΔАDС – равнобедренный.

Найдем SDС) по формуле Герона.

4) S =

5) р == =11

6) SDС) = см2.

(Слайд 22)

Давайте найдем SDС) по следующей формуле:

4) SDС) = АDDН, где DН-высота ΔАDС

5) DН найдем из прямоугольного ΔАНD: DH ===см

6) SDС) =∙8∙= 4см2

(Слайд 23)

Найдем SDС) по формуле:

4) S(АDС) = AD∙AC∙sinDAC

5) найдем из основного тригонометрического тождества =

=

6) выразим из теоремы косинусов; =

7) =

8) SDС) = ∙7∙8∙= 4см2

Ответ: 4см2.

Итак, мы нашли SDС) тремя различными способами.

4. Применение полученных знаний на практике и в жизни. (Слайды 24-40)

Где можно применить полученные знания на практике и в жизни?

Существует множество областей, в которых применяются тригонометрия и тригонометрические функции. Например, в географии для измерения высоты предмета, в спутниковых навигационных системахСинус и косинус имеют фундаментальное значение для теории периодических функций, например при описании звуковых и световых волн. Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов, когда требуется сферическая тригонометрия), в морской и воздушной навигации, в оптике, в теории вероятностей, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации (например, компьютерная томография и ультразвук), в теории чисел (следовательно, и в криптологии), в архитектуре, в электротехнике, в компьютерной графике, в разработке игр, в кристаллографии и многих других областях.

5. Заключение.

Сегодня на уроке мы повторили теоремы синусов и косинусов, применили эти теоремы для решения практических задач, так как каждому из нас в дальнейшем придется решать не только геометрические задачи.

Правильный путь таков: усвой то, что сделали твои предшественники и иди дальше. Л.Н.Толстой. (Слайд 41)

Спасибо за урок! (Слайд 42)

Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Enjoybook
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону N273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» педагогическая деятельность требует от педагога наличия системы специальных знаний в области обучения и воспитания детей с ОВЗ. Поэтому для всех педагогов является актуальным повышение квалификации по этому направлению!

Дистанционный курс «Обучающиеся с ОВЗ: Особенности организации учебной деятельности в соответствии с ФГОС» от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (72 часа).

Подать заявку на курс

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Enjoybook
Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.