Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок геометрии в 9 классе.Тема "Теорема косинусов"

Урок геометрии в 9 классе.Тема "Теорема косинусов"



Осталось всего 2 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Разработка урока геометрии в 9 классе
«Теорема косинусов»



Тема «Теорема косинусов»

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Место урока – первый урок по данной теме

Цели урока:

Образовательные:

- доказать теорему косинусов и показать её применение при решении задач;

- способствовать усвоению всеми учащимися стандартного минимума по теме;

-формировать и совершенствовать надпредметные умения обобщать путем сравнения, постановки и решения проблем, оперировать уже знакомыми геометрическими понятиями и фактами, рассуждением по аналогии.

Развивающие:

- развивать тригонометрический аппарат как средство решения геометрических задач;

- развивать психические свойства: память, вербальную и образную, произвольное внимание, воображение.

Воспитывающие: воспитывать чувство коллективизма.


Краткий план урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация ведущих знаний и способов действий.

3.Изучение нового материала. Основная часть. Доказательство теоремы косинусов. Представление образцов применения теоремы косинусов при решении задач.

4.Закрепление .Самостоятельное применение знаний. (Мини-тест).

5. Рефлексия. Подведение итогов урока.

Ход урока


1этап Организационный. Приветствую учащихся, проверяю готовность рабочего места школьников к учебному занятию. Создаю настрой на работу, объявляю учащимся, что в течение урока они оценивают себя.


2этап Актуализация знаний учащихся, выдвижение гипотезы.

  1. Предлагаю для начала разминку (тест) по формулам «Формулы приведения», «Значения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0⁰ до 180⁰».

  2. Записать формулу нахождения расстояния между точками по их координатам.

3этап Создание проблемной ситуации, ее разрешение. Мотивация и целеполагание.

Проблемная задача повышает мотивацию учеников на дальнейшую познавательную деятельность. Организуется ситуация для постановки цели урока и прогнозирования результатов занятия, например, необходимо выяснить универсальный способ нахождения длины третьей стороны треугольника по известным длинам двух других сторон и углу между ними.

Работа на доске.

Решение задачи. Задача. Используя формулу расстояния между точками найдите длину стороны ВС АВС, если А(0;0), В ( с;0), С(bcosA; bsinA).

Вывод: дадим словесную формулировку, полученного равенства. Получим теорему, которая называется теоремой косинусов:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Одно из самых красивых и простых доказательств теоремы косинусов является доказательство её в координатной плоскости.


-Можно ли сказать, что теорема Пифагора-это частный случай теоремы косинусов? Да, т.к. cos90o=0.

Постановка проблемы: какое количество элементов должно быть известно, чтобы задача была решена? Построить модель, определить тип задачи, исследовать отношения и связи между элементами треугольника.

Вопрос для обсуждения. Какую задачу можно решать, используя теорему косинусов?

  • находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними;

Задача на применение теоремы:

в= 5, с=6,γ=60˚


Зная, что формула имеет вид a2=b2+c2 - 2bc×cosγ, преобразуйте данное выражение таким образом, чтобы искомой величиной стал угол γ: b2+c2=2bc×cosγ+a2.
Затем приведите показанное 
выше уравнение к несколько иному виду: b2+c2- a2 =2bc×cosγ. Затем данное выражение следует преобразовать в представленное ниже:

cosγ=b2+c2-a2/2bc.
Вопрос для обсуждения. Что можно находить по этой формуле?

  • Значение косинуса угла в треугольнике.

Ученикам предлагается вычислить косинус большего угла в треугольнике с известными длинами трех сторон и определить вид этого треугольника.


Вычислить косинус большего угла в треугольнике, если его стороны равны:

Вариантам №1

Вариант №2

Вариант №3

c = 6, b = 8, a = 9

c = 6, b = 8, a = 10

c = 6, b = 8, a = 11

cosα=19/96

cosα=0

cosα = -7/32

α=79˚

α= 900

α = 1030



Результаты вычислений каждой группы заносятся в таблицу, обсуждаются, делаются выводы:

Для определения вида треугольника ( остроугольный, прямоугольный, тупоугольный)

необходимо:

  • Вычислить косинус угла, лежащего напротив большей стороны;

  • Если cosα>0 , треугольник остроугольный;

  • Если cosα=0 , треугольник прямоугольный;

  • Если cosα<0, треугольник тупоугольный.


Вопрос для обсуждения. Как можно ответить на этот вопрос без вычисления косинуса наибольшего угла? Вспоминается теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника. (В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона).

ВЫВОД.

Пусть с – наибольшая сторона
– если
 с2 < a2 + b2, то треугольник остроугольный; 
– если
 с2 = a2 + b2, то треугольник прямоугольный; 
– если
 с2 > a2 + b2, то треугольник тупоугольный.

Задача:№1031(а)

Построение перспективного плана дальнейшей работы.

-вопрос учителя: Вопрос для обсуждения. Какие задачи можно решить с помощью теоремы косинусов?

-ответы учеников

- находить длину третьей стороны по известным двум другим и углу между ними;

- определять угол (косинус угла) треугольника по трем известным сторонам

- определять вид треугольника по трем известным сторонам

4этап. Закрепление.


Мини-тест

Мини-тест

Условие

Варианты ответа

В треугольнике со сторонами m, n, p против стороны

p лежит угол α. Тогда справедлива следующая

формула:

А) m2 = n2 + p2 - 2 npcosα

Б) m =n2+ p2- 2 npcosα

В) p2=m2+ n2 -2mn cosα ;

Г) p =m2+ n2 -2mn cosα ;

Если косинус большего угла треугольника

отрицателен, то этот треугольник:

А) остроугольный; Б) прямоугольный;

В) тупоугольный.

Длины двух сторон треугольника равны hello_html_39f1b7ec.gif и 3, а угол

между ними 450. Тогда длина третьей стороны равна:

А) 2; Б) 3; В) √5; Г) 5


В треугольнике длины сторон равны √3; 4; √7. Определить вид треугольника


А) остроугольный; Б) прямоугольный;

В) тупоугольный.

Проверка.

Варианты ответа

1

В) p2 =m 2+ n2 -2mn cosα ;


2

В) тупоугольный.

3

В)√5

4

В) тупоугольный



Домашнее задание. П.98, № 1025(д).

5.Предлагаю выставить итоговую отметку. Оценки

Приложения № 1.

Разминка.

Тест

«Формулы приведения», «Значения синуса, косинуса и тангенса для углов от 0⁰ до 180⁰»

1.sin( 90⁰ - α) = 1) cosα 2) sinα 3) - cosα 4) - sinα

2. cos( 90⁰ -α) = 1. cosα 2. sinα 3. - cosα 4. - sinα

3. sin( 180⁰- α) = 1. cosα 2. sinα 3. - cosα 4. - sinα

4. cos (180⁰ - α) 1) cosα 2) sinα 3) - cosα 4) - sinα

5. cos 60⁰ = 1) hello_html_6eec8aff.gif 2) hello_html_1fc87bde.gif 3) hello_html_73ca8c00.gif

6. cos 30⁰ = 1) hello_html_6eec8aff.gif 2) hello_html_1fc87bde.gif 3) hello_html_73ca8c00.gif

7. cos 45⁰= 1.hello_html_6eec8aff.gif 2. hello_html_1fc87bde.gif 3. hello_html_73ca8c00.gif

8. sin 60⁰ = 1.hello_html_6eec8aff.gif 2. hello_html_1fc87bde.gif 3. hello_html_73ca8c00.gif

9. sin 30⁰ = 1.hello_html_6eec8aff.gif 2. hello_html_1fc87bde.gif 3. hello_html_73ca8c00.gif

10. sin 45⁰ = 1.hello_html_6eec8aff.gif 2. hello_html_1fc87bde.gif 3. hello_html_73ca8c00.gif






57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 01.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров406
Номер материала ДВ-497024
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх