Урок "Иллюзии и софизмы"

ГАОУ СПО «Нижнекамский технологический колледж»

Внеклассное мероприятие по математике

«Иллюзии. Софизмы»

Подготовила и провела: учитель математики

                                     Ильина В. Ф.

Цель:   ввести понятия «оптические иллюзии» и «софизмы»; показать

               на примере оптических иллюзий, что наблюдение над чертежом

               может привести к ошибочным выводам;  показать роль

               софизмов в развитии математики; развивать логическое

               мышление, интерес к математике; воспитывать вдумчивость,

               наблюдательность, самостоятельность.

Оформление и оборудование: выставка книг, карточки с заданиями, компьютер, мультимедийный проектор, экран

Ход урока

I.                    Вступительное слово учителя.

       Тема мероприятия «Иллюзии и софизмы». В толковом словаре Вы можете найти различные толкования этих слов, нас же интересует данная проблема с точки зрения математики.  

Ведущие: мальчик и девочка

Язиля:  Наташа! Можешь ответить, чем отличаются книги по математике от других книг?

Наташа:  Конечно, могу. Они все неинтересные, непонятные, там одни формулы и чертежи.

Язиля:  Но они есть и в других книгах, например, в физике и астрономии! А вот математику отличает от других областей знаний, прежде всего наличие доказательств.

Наташа:  А я с тобой не согласна! Доказательства встречаются и в других сферах человеческой деятельности, например, в юриспруденции.

Язиля:  Однако математические доказательства убедительнее тех, которые можно услышать в суде. Математические доказательства признаются эталоном бесспорности.

Наташа:  Вот, ты Язиля, говоришь мне про доказательства и на уроках, особенно на геометрии, слышишь: «Докажите теорему, докажите равенство треугольников, докажите, докажите, а что доказывать?! Посмотришь на чертёж, и сразу видно, что теорема верна!

Язиля:  Ты, Наташа, рассуждаешь как в средневековой Индии. Геометрические утверждения там доказывали так: предлагали чертёж, под которым стояло всего одно слово: «Смотри!»

Наташа:  Вот здорово! И я говорю – глаз не обманет. Катя, и откуда ты всё

знаешь?

Язиля:  Книги читать надо! Посмотри! Тема занятия «Иллюзии. Софизмы». Ты знаешь, что означают эти слова?

Наташа:  Иллюзии – это, наверно, что-то с фокусами связано, ведь в цирке иллюзионисты фокусы показывают, а вот, что такое софизмы понятия не имею. Неужели и ты не знаешь?

Язиля:  Нет, не знаю. Может кто-нибудь из ребят расскажет.

(Выходят двое учеников)

Айсылу:  Мы расскажем Вам об оптических иллюзиях.

Оптические иллюзии – ошибки зрительного восприятия, объектов – их цвета, величины, формы, удалённости и др. Слайд 2.

Всегда ли мы можем доверять нашему зрению? Оказывается, нет! Учёные придумали и построили много обманчивых картинок, наглядно демонстрирующих, сколь ограничены возможности наших глаз.

Таня:  На рисунке 1 изображена Т-образная фигура. Как Вы думаете, какая линия длиннее, вертикальная или горизонтальная? . Слайд 3. На самом деле они равны.

Айсылу:  Какой квадрат кажется более широким, заштрихованный вертикальными линиями или горизонтальными. Слайд 4. В действительности они равны.

Таня:  Что можно сказать об отрезках AB и CD? . Слайд 5.Они равны.

Айсылу:   Равны ли фигуры, изображённые на рисунке . Слайд 6.

Проверим с помощью плёнки, на которой изображена фигура, равная верхней, путём наложения, равенство фигур. Оказывается, они равны.

Мы рассмотрели иллюзии, вызванные особым расположением линий и фигур.

Таня:  Поразительную иллюзию создают углы – тупой и острый. Перед Вами два параллелограмма С. Слайд 7. Сравните их диагонали. Диагонали равны, можете проверить с помощью линейки.

Айсылу:  Стрелки на концах отрезка тоже создают иллюзию искажения длины.

Сравните длины двух отрезков.  Слайд 8.  Слайд 9.

Таня:  Будут ли параллельными линии, изображённые на рисунке ? Слайд 10. Иллюзию, изображённую на этом рисунке, первым описал Иоганн Цельнер. Он случайно заметил этот эффект на рисунке ткани.

Айсылу: Иллюзия с линиями. Слайд 11.   Впервые эта иллюзия была замечена в 1860 году, однако не перестает удивлять нас и по сегодняшний день. Какая из цветных линий (справа) является продолжением красной линии (слева)?

Ответ: Слайд 11.  

Айсылу:  Перед Вами трёхгранный угол и коробка. Где расположена коробка, внутри трёхгранного угла или вне его ?  Слайд 12.  При желании можете увидеть любое из этих двух положений.

Таня:   Ребята! И на этом рисунке Слайд 13. вы можете увидеть различные   расположения кубиков.

Айсылу: Геометрические иллюзии создают богатые возможности для          художников, фотографов, модельеров. Однако инженерам и математикам приходится быть осторожными с чертежами и подкреплять «очевидное» точными расчётами.

Учитель:  Оптические иллюзии всегда были забавнейшей и поразительной             стороной математики. Выражение «вещи не всегда то, чем они кажутся» как нельзя более применимо к оптическим иллюзиям. Чем дольше Вы смотрите на большинство из них, тем больше изменяется изображение. Подумайте о сегодняшних новейших визуальных иллюзиях. Сейчас новые трёхмерные изображения можно приобрести  на плакатах и календарях наряду с книгами, и после некоторого   привыкания к ним они доставляют Вам массу удовольствия, являясь при этом чисто математическими, по сути! Вот некоторые из      них : Слайд 14. Найдите на рисунке 8 фей. Слайд 15. Какая из картин плоская? (Обе)

Глядя на подобные иллюзии, большинство спросит: «Какое это имеет отношение к математике?» Вспомните, что геометрия – исследование пространственных отношений. Это весьма конкретная и уточняющая область математики. Оптические иллюзии также исследуют пространственные отношения, хотя в этом случае ничто из появляющегося не обладает конкретными качествами. Неожиданно возникают визуальные противоречия в отличие от визуально точной геометрии. Да, это сбивает с толку, но одновременно увлекает.

Язиля:  Наташа! Так можно ли доказывать теоремы только с помощью чертежей?

Наташа:  Теперь я понял, что рассмотрение чертежей может привести к ошибочным заключениям. Глазам доверять нельзя, а надо измерять.

Язиля:  Но всякие измерения не точны, да к тому же выполнить их часто бывает трудно. Может не оказаться под руками нужных инструментов. Но главное в другом. Измерить можно один или несколько отрезков, один или несколько углов. Но все фигуры измерить невозможно. И то, что верно для каких-нибудь двух фигур, может оказаться неверным для двух других. Как же быть?

Наташа:  Делать нечего, придётся учиться рассуждать, чтобы доказывать теоремы.

Учитель:  Жизнь, особенно техника, а также очень многие науки, ставят перед математикой всё новые и новые задачи. Математикам приходится разрабатывать вопросы математической теории, создавать методы, обеспечивающие решение возникающих в различных науках и практике задач. Как же поступают математики? Решение всякой задачи по математике – это, прежде всего, цепь рассуждений. Вычисления, преобразования, построения, которыми так часто приходится пользоваться для решения задач, невозможны без логических рассуждений. Значит, в математике невозможно обойтись без логики. Слайд 17Логика – наука о принципах правильного мышления. Существуют различные способы рассуждений. Сейчас Вы узнаете, как с помощью умышленно скрытой в рассуждениях ошибки можно доказать абсурдные утверждения.

Сообщения учащихся о софизмах.

I.              (Рахматулаева Ангелина)Можно ли доказать, что 0 = 1? Думаете, нет? А что Вы скажите о

следующем рассуждении:

 «Если половина чего-либо одного равна половине чего-либо другого, то одно равно другому. Но полупустое ведро – то же самое, что и полуполное. Значит, пустое ведро и полное ведро – одно и то же. Вы считаете, что Вас обманывают? Потрудитесь указать, в каком именно месте.

Первое предложение верно, второе – тоже. И вывод сделан по всем законам логики.

Вы узнали, как нас обманывает зрение. Но, как видите, и здравый смысл тоже может привести к совершенно абсурдным видам – если произвольно смешивать математические понятия с житейскими соображениями.

II.           (Губерова Надя)В Древней Греции в V веке до н. э. вошла в моду софистика – искусство ведения спора, что приводило к изобретению хитроумных «доказательств» неверных утверждений. Такие «доказательства» называются софизмами, поскольку их часто использовали софисты – учителя философии и красноречия в Древней Элладе. Итак, (открывает определение на плакате)

Софизм – это доказательство ложного утверждения, причём ошибка в доказательстве искусно замаскирована. Слайд 18. 

Анализ различных софизмов способствовал развитию логики. Одна из книг древнегреческого философа Аристотеля так и называлась «О софистических опровержениях». Приведём примеры двух известных логических софизмов.

(Инсценировка).

1)                         Это твой щенок? (Катерина)

- Да, он сын моей собаки. (Сайфутдинова)

- Значит, он твой, и он сын, то есть он твой сын.

2)                        Всё, что ты не потерял, ты имеешь. Ты не потерял рогов. Следовательно, ты их имеешь. Многие софизмы основаны на подмене значений понятий. Например, в   софизме «Рога», который Вы только что услышали, рассматриваются предметы, принадлежащие данному человеку, а затем все предметы   вообще. На эту тему есть анекдот: Учитель: «Иванов, надеюсь, что я не увижу, как ты списываешь». Иванов: «Я тоже на это надеюсь».

III.        (Ханнанова)Софизмы играли существенную роль и в истории развития математики. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Наиболее серьёзную роль сыграли математические софизмы, или  апорий (греч. «апория» - «трудность», безысходность), придуманные в V веке до н. э. мудрецом Зеноном из южно-итальянского города Элеи. Слайд 19.  В древности было известно более 40 апорий Зенона, но до нас дошло всего 9. Самыми знаменитыми являются четыре апории движения: «Дихотомия», «Ахиллес и черепаха», «Стрела» и «Стадион».Посмотрим, как они формулируются, и обратим внимание на их внешнюю простоту и незамысловатость.

«Ахиллес и черепаха». Слайд 20.   Самое быстрое существо не способно догнать самое медленное, быстроногий Ахиллес никогда не догонит медленную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперёд. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдёт ещё чуточку вперёд. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим  черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.

В «Дихотомии» обращается внимание на то, что движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся   половины, затем половину этой четвёртой части и т. д. до бесконечности. Предмет будет постоянно приближаться к конечной  точке, но так никогда её не достигнет. Это рассуждение можно несколько переиначить. Чтобы пройти половину пути, предмет должен пройти половину этой половины, а для этого нужно пройти половину этой четверти и т. д. Предмет в итоге так и не сдвинется с места.

 «Стрела». Слайд 21.   В каждый момент времени летящая стрела неподвижна. Значит, она неподвижна во все моменты времени, и её движение никогда не может начаться!

IV.        (Леонтьева) Эти апории направлены будто бы против движения и существования

многих вещей. Сама идея доказать, что мир – это одна-единственная вещь, нам сегодня кажется странной. Странной она казалась и древним. Настолько странной, что доказательства, приводившиеся Зеноном, сразу же были отнесены к простым уловкам, причём лишенным, в общем-то, особой хитрости. Такими они считались две с лишним тысячи лет, а иногда считаются и теперь.

Очень остроумно размышления на эту тему изложил в небольшом стихотворении А. С. Пушкин. Вот так он представил спор двух   мыслителей древности Зенона и Диогена:

«Движенья нет, сказал мудрец бродатый.

Другой смолчал и стал пред ним ходить.

Сильнее бы не мог он возразить;

Хвалили все ответ замысловатый.

Но, господа, забавный случай сей

Другой пример на память мне приходит,

Ведь каждый день пред нами солнце ходит,

Однако ж прав упрямый Галилей».

Кстати, что такое «момент времени» с точки зрения формальной математики, стало ясно только в XIX веке, когда усилиями Вейерштрасса, Додекинда, Коши и других учёных была построена непротиворечивая теория действительных чисел. А в конце того же   XIX века апория Зенона о стреле была удивительным образом отражена в технике: братья Люмьер создали кинематограф. Этим простеньким на вид рассуждениям посвящены сотни философских и научных работ. В них десятками разных способов доказывается, что допущение возможности движения не ведёт к абсурду, что наука геометрия свободна от парадоксов и что математика способна описать движение без противоречия.

V.           (Кириллова М.)В математических софизмах особенно часто выполняются запрещённые действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа, или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности».

Рассмотрим геометрический софизм:

Слайд 22.  64 = 65  Квадрат со стороной, равной 8 единицам длины, разрезан на 4 части, как показано на рисунке 9. Из этих частей сложен прямоугольник (рис.10). Основание этого прямоугольника оказалось равным 13 единицам длины, а высота – 5 единицам. Площадь исходного квадрата равна 64 квадратным единицам, а получившегося из него прямоугольника – 65 квадратным единицам. Значит 64 = 65.

В чём ошибка?

Ошибка в чертеже. Точки А, В, С и D не лежат на одной прямой, а являются вершинами очень узкого параллелограмма, площадь которого равна площади одной клетки – той самой лишней клетки.

 VI.(Михеева О.) Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки. Академик И.П. Павлов говорил, что «правильно понятая ошибка – это путь к открытию». Уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики. Пожалуй, особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформулировать эту аксиому можно так: через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной (что одну прямую, параллельную данной, можно  провести – это доказывается). Это утверждение на протяжении более чем двух тысяч лет пытались доказать, т. е. вывести из остальных аксиом геометрии, многие выдающиеся математики разных времён и разных народов. Все эти попытки не увенчались успехом. Многочисленные «доказательства», какие были найдены, оказались ошибочными. И всё же, несмотря на ошибочность этих «доказательств», они принесли большую пользу развитию геометрии. Были основательно выяснены связи между различными   теоремами геометрии. Можно сказать, что эти «доказательства» подготовили одно из величайших достижений в области геометрии и всей математики, создание неевклидовой геометрии. Слайд 23.   Честь разработки новой геометрии принадлежит нашему великому соотечественнику Н. И. Лобачевскому и венгерскому математику Яношу Бойяи. Н. И. Лобачевский и сам сначала пытался доказать аксиому параллельных, но скоро понял, что этого сделать нельзя. В 1826 году он пришёл к заключению, что утверждение, выражаемое  аксиомой о параллельных, при помощи остальных аксиом геометрии доказать нельзя. Путь, идя которым Лобачевский убедился в этом и привёл его к созданию новой геометрии. И этот замечательный вклад в математику был одним из тех, которые прославили русскую науку.

Учитель:  Ребята! Вы узнали, что софизмы сыграли большую роль в развитии логики, математики. А сейчас мы рассмотрим несколько математических софизмов..

Слайд 24.  4р. = 40000к.  Возьмём верное равенство: 2рубля = 200коп., и возведём его по частям в квадрат. Мы получили: 4р. = 40000коп. В чём ошибка?

Слайд 25.  5 = 6.  Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмём числовое тождество: 35 + 10 - 45 = 42 + 12 – 54. Вынесем общие множители левой и правой части за скобки. Получим: 5(7 + 2 – 9) = 6(7 + 2 – 9).  Разделим обе части этого равенства на множитель (7 + 2 – 9).  Получаем 5 = 6. В чём ошибка? 

Слайд 26.  2 × 2 = 5.  Найдите ошибку в следующих рассуждениях.

Имеем числовое равенство (верное): 4 : 4 = 5 : 5. Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1: 1) = 5(1: 1). Числа в скобках равны, поэтому 4 = 5, или 2 × 2 = 5.

Слайд 27. Все числа равны между собой.  Пусть m ≠ n. Возьмём тождество:

m² - 2mn + n² = n² - 2mn + m².

Имеем:         (m – n)² = (n – m)².

Отсюда      m – n = n – m, или  2m = 2n,  а значит, m = n.

  В чём ошибка?

Слайд 28.  Спичка вдвое длиннее телеграфного столба. 

  Пусть а – длина спички (дм) и b – длина столба (дм). Разность между

b и а обозначим через с. Имеем: b – a = c, b = a + c. Перемножим два

эти равенства по частям: (b – a)b = c(a + c), b² - ab = ac + c². Вычтем из

обеих частей bc. Получим:  b² - ab – bc = ac + c² - bc,

  b(b – a – c) = -c(b – a – c), откуда

  b = -c, но c = b – a, поэтому

  b = a – b, или a = 2b.

Учитель:   Ребята! Некоторые из Вас получили карточку с софизмами (см.    приложение), постарайтесь самостоятельно найти допущенные ошибки и отчётливо понять их. (Учащиеся работают самостоятельно, а затем идёт обсуждение найденных ошибок).

Учитель:  Конечно, многие из Вас заметили, что во многих софизмах допущены одинаковые ошибки. Отчётливое понимание сути таких ошибок значительно облегчит решение других аналогичных задач. Давайте ознакомимся со списком наиболее популярных ошибок, завуалированных в софизмах. (Набиева)  Будьте очень внимательны. А теперь давайте развлечемся логическими софизмами. ( обучающиеся группы по одному)

Учитель:  Ребята! Чем же полезны софизмы для изучающих математику?

Что они могут дать?

Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, т. е.  прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это, значит, осознать её, а осознание ошибки    предупреждает от повторения её в других математических  рассуждениях. Особенно важно, что разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение   к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Всё это нужно и важно.  Наконец, разбор софизмов увлекателен. И чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ. Имеется немало разных книг, в которых собраны различные софизмы, но посоветую обратиться к книге Е. И. Игнатьева «В царстве смекалки».

 На нашем экране представлен список литературы и интернет – ресурсов, содержащих софизмы.   (Обзор литературы).

Учитель:  Закончить наше занятие я хочу «Шуткой». Я докажу, что в течение целого года Вам почти некогда учиться в школе. В году 365 дней. Из них 52 воскресенья, 10 других дней отдыха, поэтому отпадает 62 дня. Летние и зимние каникулы продолжаются не менее 100 дней. Следовательно, уже 162 дня. Ночью в школу не ходят, а ночи составляют половину года, следовательно, ещё 182 дня отпадает. Остаётся 20 дней, но ведь не весь день продолжаются занятия в школе, а не более четверти дня, поэтому ещё 15 дней отпадает. Остаётся всего-навсего 5 дней. Многому ли тут  можно научиться?

Группа:   Чем больше учишься, тем больше знаешь

                 Чем больше знаешь, тем больше забываешь,

                 Чем больше забываешь, тем меньше знаешь,

                 Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь,

                 Но, чем меньше забываешь, тем больше знаешь!

                Так для чего учиться, А?