Урок-исследование "Нахождение первообразной логарифмической функции"

Урок – исследование:

Тема урока: «Нахождение первообразной логарифмической функции»

Я хотел бы, чтобы изобретатели

 дали  историю путей, по которым

 они дошли  до своих открытий.  

В тех случаях, когда они

вовсе не сообщают этого, нужно

попробовать  отгадать эти пути».

Г. Лейбниц.

Цель урока:

    В процессе урока – исследования  создать условия для развития у школьников умений формулировать промежуточные  проблемы, предлагать пути их решения.

    Содействовать развитию у детей умений общаться;

    Обеспечить развитие у школьников монологической и диалогической математической  речи.

Тип урока: Урок  по изучению и первичному закреплению новых знаний и способов деятельности.

Ход урока: Вступительное слово учителя:

Начинать исследование можно по-разному. Всё равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть истины, как страны, наиболее удобный путь к которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути. На пути к истине мы почти всегда совершаем  ошибки. Не бойтесь совершать эти  ошибки. Предлагайте любые пути, на первый взгляд даже смешные, наука знает немало случаев, когда именно таким образом совершались открытия.

1.     Постановка  проблемы:

2.     Повторение теории по данной проблематике:

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции  на заданном промежутке  I , если для всех х из этого промежутка

Основное свойство первообразной: Любая первообразная для функции (x)  на промежутке I может быть записана в виде F(x)+C, где F(x) - одна из первообразных для функции  на промежутке I, а C–произвольная постоянная.

Правила нахождения первообразной:

Ø   (1)

Ø   (2)

Ø   (3)

Ø   (4)

Необходимо так же вспомнить правила нахождения  производной: нам придется доказывать, что найденная нами функция действительно соответствует определению первообразной, а для доказательства потребуются знания по правилам нахождения производной.

Ø   (5)

Ø    (6)

Ø     (7)

Ø 

3.     Подбор инструментов для  исследования: 

Действия (все арифметические, дифференцирование, интегрирование ..). Тождества (все известные учащимся, включая формулы …).

Функции (можно перечислить элементарные, но всех конструкций из элементарных функций перечислить невозможно).

Это наши инструментальные  ˝ящики˝. Из них мы будем извлекать инструменты и с их помощью добиваться цели.

Процесс исследования:.

Найдем хотя бы одну первообразную, т.е. будем в дальнейших рассуждениях полагать C=0.  Учащиеся предложат следующее: Нужно найти тождества типа:

, воздействовать на них инструментом , и если интеграл для функции g(x) (т.е. правой части) найдется – то задача решена. Вспоминаем такие тождества. Знакомо только одно: . Проинтегрировав обе части, убеждаемся, что цели добиться не удалось, нужно искать другое тождество. Известных тождеств, где      было бы слагаемым (чтобы его выразить), нет. А наша задача как раз и состоит в том, чтобы в тождестве  было слагаемым! Задача усложнилась. Теперь придется такое тождество конструировать, создавая модель. Открываем ящик – функции. Какую из них взять? Пока непонятно. Возьмем в общем виде - . Начнем создавать (используя ящик действия) модель:          Первое предложение будет таким:

Например:   - это наша модель.

Воздействуем на модель инструментом – дифференцирование. Будем иметь:

- да, слагаемого  мы так и не получили. Другие воздействия (идей будет много, и все нужно тщательно рассмотреть – времени на это много не потребуется) вряд ли приведут к нужному результату ( появится либо степень, либо корень ..). Нужно изменить модель. Возьмем в качестве модели конструкцию:  Воздействуем на модель инструментом – дифференцирование (другие действия (попытка – не пытка), а ученики будут их предлагать, вряд ли приведут к выделению искомого слагаемого, но мы рассматриваем все предложения досконально, пока не зайдем в тупик.). Имеем:

 – всё хорошо, если бы не множитель . Тогда  было бы слагаемым. Но  – произвольная функция. Какую же функцию взять, чтобы  Ясно, что  т. к Поправим модель:   

В процессе воздействия на модель инструментом дифференцирование получим:

 

  

Далее:  . Теперь интегрируем – для этого мы и выделяли слагаемое .  Получим:

   - наша попытка увенчалась успехом.

Получено:      Следовательно, одной из первообразных логарифмической функции будет , а множество всех первообразных:  

4.     Обработка полученного результата: Осталось показать, что =.       Доказательство:

  что и требовалось доказать! В процессе исследования нами  была выведена формула, которую вряд ли мы найдем в литературе по математике, но её ценность и красоту трудно преувеличить. Вернемся к тождеству . Из него имеем:   . Полагая в этой формуле   получим:  . Теперь проинтегрируем:

 но

       или в привычном для ребят виде:

 неиссякаема красота в математике!

Используя полученные знания, полагая в формуле  , получим:

Задача: При каком значении параметра   площадь, ограниченная линиями   равна 1?

Решение: Построим указанные линии.

           

                        Тогда 1

                                                    По условию

                                                                                                            но

,

                                                                     Ответ:  При                             

Домашнее задание: Используя  формулу  проведите полное исследование для  нахождения