Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Урок изучения нового по теме «Понятие площади» и урок решения ключевых задач по теме «Площадь параллелограмма и треугольника» 8 кл.

Урок изучения нового по теме «Понятие площади» и урок решения ключевых задач по теме «Площадь параллелограмма и треугольника» 8 кл.

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов











Урок изучения нового по теме «Понятие площади» и урок решения ключевых задач по теме «Площадь параллелограмма и треугольника» 8 кл.


























Обзор математической и методической литературы


  1. «1С: Школа. Геометрия, 8 кл.» 2009г.

Это журнал:

- может подготовить к контрольным работам и самостоятельно изучить пропущенные материалы

- сможет полностью обеспечить учебный процесс необходимыми материалами.


  1. Глейзер Г. И. История математики в школе. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1964.

- История геометрии на уроках: п.17. Вычисление площадей в древности


  1. Колмогоров А. Н. Математика в её историческом развитии. – М.: Наука, 1991.

- В сборнике работ выдающегося математика А.Н.Колмогорова (1903-1987) представлены его труды, связанные с историей развития математики. Структурно сборник делится на три раздела. В первом из них публикуются ставшая классической статья «Математика» и статья «Развитие математики в СССР» из Большой Советской Энциклопедии.


  1. Корешкова Т. А., Цукерман В. В. Многоугольники и их площадь в школьном курсе математики// Математика в школе, 2003, №9, с. 10-18.

- Теоретически основы изучения площадей многоугольников. Вычисление площадей в древности. Различные подходы к изучению понятий «площадь», «многоугольник», «площадь многоугольника». Вычисление площади многоугольника по координатным точкам.


  1. Макарова Н. Д. Площадь. Единицы площади// Математика, 2002, №10, с. 30-31.

- - представлен материал по теме площадь, единицы измерения площади. Стр. 30-31


  1. Математический энциклопедический словарь. – М. «Советская энциклопедия», 1988.

- Словарь состоит из четырех частей. Основная часть - "Алфавитный словарь терминов" - содержит около 3500 статей; вторая часть - "Биографический словарь" - около 900 статей; в третей части - "Математика в энциклопедиях прежних лет" - помещены статьи выдающихся ученых прошлого, заимствованные из шести энциклопедий; в заключительной части - "Словарь широкой информатики" - даны определения понятий нового учебного предмета средней школы "Основы информатики и вычислительной техники".


  1. Энциклопедический словарь юного математика для старшего и среднего школьного возраста. – М.: Педагогика, 1989.

- Словарь поможет читателю получить сведения об истории развития математической науки, основных направлениях ее приложений на практике, познакомит с основными математическими понятиями.

Одна из задач книги заинтересовать школьников этой древней и важнейшей ныне наукой, помочь в формировании логического мышления, в усвоении учебной программы. В словаре рассказывается о выдающихся ученых-математиках, приведены занимательные математические задачи.

Для школьников среднего и старшего возраста.


  1. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 8 класс. – М.: ВАКО, 2005.

- Переработанное и дополненное 2-е издание пособия представляет собой подробное поурочное планирование по геометрии для 8 класса общеобразовательных учреждений. Пособие ориентировано, прежде всего, на работу с базовым учебником: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др. Геометрия: 7-9 кл. - М.: Просвещение.

Особенностью пособия является дифференцированный подход к планированию, позволяющий проводить уроки в классах разного уровня подготовки - от классов гуманитарного профиля и коррекционных классов до специализированных физико-математических классов.

Пособие полностью автономно и не требует использования каких-либо дополнительных материалов. Также может быть использовано учителями, работающими с другими учебниками по геометрии, например А. Г. Погорелова.

Планирование темы «площади многоугольников».


  1. Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7-9 классы, 2004.

Книга содержит задачи различной сложности по основным темам школьного курса планиметрии (7-9 классы).

Приводятся основные теоретические факты данной темы, ключевые задачи, подробные решения наиболее важных задач, задачи на отработку учебных навыков, для углублённого изучения геометрии и олимпиадные задачи. К большинству задач даются ответы, решения или указания.



18) В помощь учителю математики: Методические рекомендации по диагностике развития учащихся 8-х классов при обучении математики.- Нижний Новгород: НГПУ, 1996. – 66с.

Работа имеет своей целью оказание методической помощи студентам и учителям в плане реализации идей развивающего обучения и является продолжением аналогичного издания по вопросам диагностики развития учащихся 7-х классов. В ней выделены основные методические вопросы некоторых тем школьного курса математики восьмого класса. Сформулированы диагностируемые цели обучения алгебры и геометрии через наблюдаемые действия восьмиклассников.

Текстовые задания, построенные на основе деятельностного подхода к обучению математике, помогут студентам в разработке технологий, ориентированных на эффективное достижение поставленной цели.

Рассмотрена глава VI темы «Площадь», учебника Атанасян Л.С. :дидактические единицы, приёмы, теоремы, типы задач…

Историческая справка




В обычной жизни на каждом шагу мы встречаемся с понятием “площадь”. Что такое “площадь”, знает каждый. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты, площадь садового участка. И вы увидите, что не так-то это просто. Даже математики смогли создать соответствующую математическую теорию сравнительно недавно. Правда, это никому не мешало успешно использовать понятие площади и в науке, и на практике с незапамятных времен. Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности название “геометрия” (т.е. “землемерие”) связывают именно с измерением площадей. Согласно легенде, эта наука возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, и вычисление их площадей. В древности считалось, что площадь четырехугольника, последовательные стороны которой имеют длины a,b,c,d, можно вычислять по формуле hello_html_m47e7cb28.png(т.е. полусумму длин противоположных сторон умножить на полусумму двух других сторон). Эта формула найдена опытным путем, неверная; в этом мы сможем убедиться на конкретном примере, например, когда выведем формулу параллелограмма. По-видимому, в древности приходилось рассматривать лишь участки, мало отличающиеся от прямоугольника по форме, а для таких участков погрешность, вносимая указанном формулой, невелика. Лишь в последствии было полностью развито учение о площадях и получены точные формулы для вычисления площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника и других многоугольников.




Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.

Еще в 4 – 5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служит эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, или можно заполнить плоскость без пробелов.

В древнем Китае мерой площади был прямоугольник. Когда каменщики определяли площадь прямоугольной стены дома, они перемножали высоту и ширину стены. Таково принятое в геометрии определение: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Обе эти стороны должны быть выражены в одних и тех же линейных единицах. Их произведение и составит площадь прямоугольника, выраженную в соответствующих квадратных единицах. Скажем, если высота и ширина стены измерены в дециметрах, то произведение обоих измерений будет выражено в квадратных дециметрах. И если площадь каждой облицовочной Плотки составляет квадратный дециметр, то полученное произведение укажет число плиток, нужное для облицовки. Это вытекает из утверждения, положенного в основу измерения площадей: площадь фигуры, составленной из непересекающихся фигур, равна сумме их площадей.

Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам, и умножалась на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту и т.п. Для вычисления площади hello_html_m3368956f.gif четырехугольника со сторонами hello_html_4fc0533b.gif (рис. 1.1) применялась формула


hello_html_5dec454b.gif(1.1)


т.е. умножались полусуммы противоположных сторон.


hello_html_m70b88e7e.gif





Эта формула явно неверна для любого четырехугольника, из нее вытекает, в частности, что площади всех ромбов одинаковы. Между тем, очевидно, что у таких ромбов площади зависят от величины углов при вершинах. Данная формула верна только для прямоугольника. С ее помощью можно вычислить приближенно площадь четырехугольников, у которых углы близки к прямым.

Для определения площади hello_html_m3368956f.gif равнобедренного треугольника hello_html_3d75aca5.gif в котором hello_html_m78736aa0.gif, египтяне пользовались приближенной формулой:


hello_html_m6113ee86.gif


С


овершаемая при этом ошибка тем меньше, чем меньше разность между стороной hello_html_3c23b8b7.gif и высотой hello_html_m531e0bcd.gif треугольника, иными словами, чем ближе вершина hello_html_m779b220f.gif hello_html_861ddf7.gif) к основанию hello_html_1146cab9.gif высоты из hello_html_m730879cd.gif. Вот почему приближенная формула (1.2) применима лишь для треугольников с сравнительно малым углом при вершине.

Но уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников. В своих «Началах» Евклид не употребляет слова «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимает часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид не выражает результат измерения площади числом, а сравнивает площади разных фигур между собой.

Как и другие ученые древности, Евклид занимается вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. Площадь составной фигуры не изменится, если ее части расположить по-другому, но без пересечения. Поэтому, например, можно, исходя из формул площади прямоугольника, находить формулы площадей других фигур. Так, треугольник разбивается на такие части, из которых затем можно составить равновеликий ему прямоугольник. Из этого построения следует, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Прибегая к подобной перекройке, находят, что площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, площадь трапеции – произведению полусуммы оснований на высоту.

Когда каменщикам приходится облицовывать стену сложной конфигурации, они могут определить площадь стены, подсчитав число пошедших на облицовку плиток. Некоторые плитки, естественно, придется обкалывать, чтобы края облицовки совпали с кромкой стены. Число всех пошедших в работу плиток оценивает площадь стены с избытком, число необломанных плиток – с недостатком. С уменьшением размеров клеток количество отходов уменьшается, и площадь стены, определяемая через число плиток, вычисляется все точнее.

Одним из поздних греческих математиков – энциклопедистов, труды которого имели главным образом прикладной характер, был Герон Александрийский, живший в 1 в. н. э. Будучи выдающимся инженером, он был назван также «Герон Механик». В своем произведении «Диоптрика» Герон описывает разные машины и практические измерительные инструменты.

Одна из книг Герона была названа им «Геометрика» и является своего рода сборником формул и соответствующих задач. Она содержит примеры на вычисление площадей квадратов, прямоугольников и треугольников. О нахождении площади треугольника по его сторонам Герон пишет: « Пусть, например, одна сторона треугольника имеет в длину 13 мерных шнуров, вторая 14 и третья 15. Чтобы найти площадь, поступают вот как. Сложи 13, 14 и 15; получится 42. Половина этого будет 21. Вычти из этого три стороны одну за другой; сперва вычти 13 – останется 8, затем 14 – останется 7 и, наконец, 15 – останется 6. А теперь перемножь их: 21раз по 8 даст 168, возьми это 7 раз – получится 1176, а это еще 6 раз – получится 7056. Отсюда квадратный корень будет 84. Вот сколько мерных шнуров будет в площади треугольника».

В своем наиболее важном геометрическом произведении «Метрика» Герон излагает доказательство примененной выше формулы:


hello_html_m28f1e6a1.gif,


где hello_html_m2a68ca0f.gif   стороны, hello_html_m5a99ef3b.gif   полупериметр треугольника.

Эта формула носит название «формулы Герона». На самом деле она была установлена еще в 3 в. до н. э. величайшим математиком древности Архимедом.

Практические правила Герона для вычисления площадей применялись греческими, римскими и средневековыми землемерами и техниками.













Особенность и роль темы в математике и в школьном курсе математики

Тема «Площади многоугольников» является неотъемлемой частью школьного курса математики, что вполне естественно. Ведь исторически само возникновение геометрии связано с потребностью сравнения земельных участков той или иной формы. Вместе с тем следует отметить, что образовательные возможности раскрытия этой темы в средней школе используются далеко не полностью.

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Наряду с решением основной задачи углубленное изучение математики предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовку к обучению в вузе.














Программа по математике



Понятие площади многоугольника. Площади прямоугольника, параллелограмма, трапеции. Теорема Пифагора.


Основная цель:

- расширить и углубить полученные в 5-6 классах представления учащихся об измерении и вычислении площадей;

- вывести формулы площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции;

- доказать одну из главных теорем геометрии – теорему Пифагора.


Вывод формул для вычисления площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции основывается на двух основных свойствах площадей, а так же на формуле площади квадрата, обоснование которой не является обязательным для учащихся.


Нетрадиционной для школьного курса является теорема об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. Она позволяет в дальнейшем дать простое доказательство признаков подобия треугольников. В этом состоит одно из преимуществ, обусловленных ранним введением понятия площади.


Доказательство теоремы Пифагора основывается на свойствах площадей и формулах для площадей квадрата и прямоугольника. Доказывается также теорема, обратная теореме Пифагора.





Сравнительный анализ содержание темы в различных школьных учебниках



1)Атанасян Л. С. , Бутузов В. Ф. , Кадомцев С. Б. Геометрия , 7-9: учеб. для общеобразовательных учреждений – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 384с.


Глава VI

Площадь

hello_html_m639a8936.gif1 Площадь многоугольника

48. Понятие площади многоугольника

49. Площадь квадрата

50. Площадь прямоугольника

Вопросы и задачи

hello_html_m639a8936.gif2 Площади параллелограмма, треугольника и трапеции

51. Площадь параллелограмма

52. Площадь треугольника

53. Площадь трапеции

Задачи

Вопросы для повторения к главе VI

Дополнительные задачи


hello_html_316cc3f5.gif Основное понятие: площадь

Даётся описание этого понятия:

Площадь многоугольника - величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Далее идёт переход к аксиоматическому введению понятия.

Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения аналогично измерению длин отрезков. Чётко вводится понятие единицы измерения площади. Вводится обозначение единиц измерения:

Квадратный сантиметр - см2,

Квадратный миллиметр - мм2,

Квадратный метр - м2 ,

Квадратный дециметр - дм 2.


Аксиома 1: При выбранной единице измерения площадей площадь каждого многоугольника выражается положительным числом: SF> 0;


Аксиома 2: Если F = F, то SF = SF - свойство инвариантности площадей. Это есть первое свойство площади: равные фигуры имеют равные площади;


Аксиома 3: hello_html_27c297d1.gif, где F1 + F2 + … + Fn - многоугольник, составленный без перекрытия на многоугольники F1, F2, …, Fn - свойство аддитивности площадей. Это второе свойство площади: если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Свойства первое и второе называют основными свойствами площадей;


Аксиома 4: SE=1, где Е – квадрат со стороной, равной выбранной единице длины.

SA = a2 , где Е- квадрат, сторона которого при выбранной единице измерения отрезков выражается числом а. Это третье свойство: площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Формулировки аксиом, категоричные (1,2,3) или условные (2,3).


Доказательство третьего свойства о площади квадрата:

Теорема : Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Sкв. = a2

Теорема сформулирована в категоричной форме, теорема-формула.

В условной форме: Если дан квадрат, то его площадь равна квадрату его стороны.

Условие: Дан квадрат.

Разъяснение: его площадь (квадрата).

Заключение: площадь равна квадрату стороны.

Теорема простая, разбить на несколько теорем её нельзя.

При доказательстве используется: приём разбиения, понятие площади многоугольника, 3 свойство площади квадрата, понятие конечной и бесконечной десятичной дроби.

Доказательство методом полной индукции.

1 случай: hello_html_m6bc9c295.gif , где n–целое число;

2 случай: число а – конечная десятичная дробь, содержащая n знаков после запятой ( в частности, число a может быть целым и тогда n=0);

3 случай: число а – бесконечная десятичная дробь.

Основная теорема: площадь прямоугольника.

Теорема: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

S = ab

Теорема сформулирована в категоричной форме. Теорема-формула.

В условной форме: если дан прямоугольник, то его площадь равна произведению смежных сторон.

Условие: дан прямоугольник.

Разъяснение: его площадь (прямоугольника).

Заключение: площадь равна произведению смежных сторон.

Теорема простая, разбить на несколько теорем её нельзя.

При доказательстве используется: приём «разбиения и дополнения» с применение дополнительных построений, доказательство основывается на 1-3 свойствах площадей, свойство числовых равенств, формулы сокращенного умножения.

hello_html_1ecdda43.gifОдно из основных понятий: высота параллелограмма.

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание.

В параллелограмме только две различные высоты, так как высота параллелограмма показывает расстояние между противоположными параллельными сторонами параллелограмма, а в параллелограмме только две пары противоположных параллельных сторон.

Вид определения: через род и видовые отличия

Родовое понятие:перпендикуляр

Термин: высота параллелограмма

Видовые отличия: 1 - проведенный из любой точки противоположной стороны; 2 - к прямой, содержащей основание.


Теорема: площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

S = ah.

Теорема сформулирована в категоричной форме. Теорема-формула.

В условной форме: если дан параллелограмм, то его площадь равна произведению его основания на высоту

Условие: дан параллелограмм.

Разъяснение: его площадь (параллелограмма).

Заключение: площадь равна произведению основания на высоту.

Теорема простая, так как разбить ее на несколько нельзя.

При доказательстве используется: признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу, первое, второе свойства площади многоугольников, теорема о площади прямоугольника, определение параллелограмма, свойство сторон параллелограмма, свойство соответственных углов при параллельных прямых.

Доказывается методом «разбиения и дополнения» с применением дополнительных построений.


Понятие: основание треугольника, высота треугольника.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей его основание.

В треугольнике можно провести только три высоты, т.к. высота в треугольнике показывает расстояние от вершины треугольника до прямой, содержащей основание, а у трегольника 3 вершины.

Вид определения: через род и видовые отличия.

Родовое понятие: перпендикуляр.

Термин: высота треугольника.

Видовые отличия: 1 - опущенный из вершины треугольника; 2 - к прямой, содержащей основание.


Теорема: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

S = hello_html_2270600b.gif.

Теорема сформулирована в категоричной форме. Теорема-формула.

В условной форме: если дан треугольник, то его площадь равна половине произведения его основания на высоту

Условие: дан треугольник.

Разъяснение: его площадь (треугольника).

Заключение: площадь равна половине произведения основания на высоту.

Теорема простая, разбить на несколько теорем её нельзя.

При доказательстве используется: понятие «высоты треугольника», 3-ий признак равенства треугольников, первое, второе свойства площадей, теорема о площади параллелограмма, свойства параллелограмма. Теорема доказывается методом «разбиения» и «дополнения» с применением дополнительных построений.

Выделяются два следствия.

Следствие 1: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

hello_html_4f831146.gif, где a и b - катеты прямоугольного треугольника.

Следствие сформулировано в категоричной форме. Теорема-формула.

В условной форме: если дан прямоугольный треугольник, то его площадь равна половине произведения его катетов

Условие: дан прямоугольный треугольник.

Разъяснение: его площадь (треугольника).

Заключение: площадь равна половине произведения катетов.

Теорема простая, разбить ее на несколько теорем нельзя.

При доказательстве используется: понятие прямоугольного треугольника, понятие высоты треугольника, теорема площади треугольника.

Дано: hello_html_2e85d6ba.gif АВС - прямоугольный, А = 900

hello_html_m5a4d96c3.gif

Докажем: hello_html_2f3cc960.gif






Доказательство: 1) S = hello_html_2270600b.gif, где а – основание, h – высота.

2) Так как hello_html_2e85d6ba.gif АВС – прямоугольный, а А = 900 (по условию), то АВ – высота hello_html_2e85d6ba.gif АВС

3) hello_html_360cfc0e.gif


Следствие 2: если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

hello_html_7e2aecfc.gif.

Следствие сформулировано в условной форме.

Условие: высоты равны.

Разъяснение: двух треугольников.

Заключение: площади относятся как основания.

Теорема простая, разбить на несколько её теорем нельзя.

При доказательстве используется: понятие высоты треугольника, теорема о площади треугольника, понятие отношения.

hello_html_m38ccf0c9.gif







Дано: А1В1С1, А2В2С2

В1Н1 - высота А1В1С1,

В2Н2 - высота А2В2С2


В1Н1 = В2Н2 = h

Доказать: hello_html_2e316671.gif

Доказательство:

hello_html_m297a7655.gif

hello_html_72ae434d.gif

В1Н1 = В2Н2 = h ( по условию), следовательно


hello_html_m68161c26.gif, hello_html_m18f28357.gif

Запишем отношение площадей: hello_html_438cadd3.gif.


Теорема: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Теорема сформулирована в условной форме.

Условие: угол одного треугольника равен углу другого треугольника.

Разъяснение: этих.

Заключение: площади треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы

Теорема простая, разбить на несколько теорем её нельзя.

При доказательстве используется: теорема о площади треугольника, понятие «высоты треугольника», понятие «отношения», следствие 2, свойства числовых равенств.

Далее, в следующем пункте приводится способ вычисления площади любого многоугольника через разбиение многоугольника на составляющие его треугольники.


Понятие: высоты трапеции;

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Высота в трапеции показывает расстояние между параллельными прямыми, содержащими основания трапеции. В трапеции можно провести две высоты, равные между собой.

Вид определения: через род и видовые отличия.

Родовое понятие: перпендикуляр.

Термин: высота трапеции.

Видовые отличия: 1 - проведенный из любой точки одного из оснований; 2 - к прямой, содержащей другое основание.


Теорема: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

hello_html_m5dac1934.gif

Теорема сформулирована в категоричной форме. Теорема-формула.

В условной форме: если дана трапеция, то ее площадь равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Условие: дана трапеция.

Разъяснение: её площадь (трапеции).

Заключение: площадь равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Теорема простая, разбить на несколько теорем её нельзя.

При доказательстве используется: доказательство опирается на теорему о площади треугольника, понятия высот треугольника и трапеции, 2 свойство площадей, метод «разбиения».




Вывод:

Дидактические единицы: понятие площади многоугольников; понятие квадратного сантиметра ( метра, миллиметра); свойства площадей; теорема о площади квадрата, теорема о площади прямоугольника, понятие основания и высоты параллелограмма, треугольника, трапеции; следствия из теоремы о площади треугольника.


Приём доказательства – достраивания до квадрата новый для учащихся.

Учащиеся впервые встречаются с новым для них методом: «разбиения и дополнения», которым решаются и многие задачи темы. Выделение этого метода и анализ условий его применения будет спо­собствовать осознанию необходимости и сущности дополнительных по­строений в процессе поиска решения задач, сводящихся к установле­нию соотношений между площадями многоугольников.

Прием «разбиения»:

  • Если многоугольник M разбить на многоугольники M1, M2, …, Mn, далее сконструировать из них фигуру N, то SM=SN. (Т.е равносоставленные фигуры равны)

  • Если многоугольник N разбить двумя разными способами: {C, A1, A2, …, An} и { D, B1, B2, …, Bk }, то из равенства hello_html_c36df66.gifбудет следовать равенство SC=SD.

  • Если многоугольник M разбить на многоугольники M1, M2, …, Mn, а многоугольник N – на многоугольники N1, N2, …, Nk, то из равенства hello_html_m1833bf2c.gifбудет следовать равенство SM=SN.

Прием «дополнения»:

  • Если многоугольник M дополнить равновеликими с ним многоугольниками M1, M2, …, Mn-1, до многоугольника N, то SM=hello_html_m6a877be2.gifSN.

  • Если многоугольник A дополнить многоугольниками M1, M2, …, Mn до фигуры M, а многоугольник B дополнить многоугольниками N1, N2, …, Nk до фигуры N таким образом, чтобы выполнялось условие SM=SN и hello_html_1c7fbb15.gifтогда SA= SB.


Связь площади квадрата и площади прямоугольника, свойства площадей связаны с площадью параллелограмма, треугольника, трапеции.


Подведение к теореме, свойствам по аналогии с отрезками, измеряя с помощью палетки площади фигур.





Анализ задачного материала:


В учебнике имеются задачи на метод площадей. Выделяют три приёма этого метода:

1. Выражение площади одного и того же многоугольника двумя различными способами с последующим выражением искомой величины из составленного равенства.

464, № 469, № 470

В № 464, № 469, № 470 применяется теорема о площади треугольника.

2. Замена отношения длин отрезков отношением площадей многоугольников.

508, № 509, № 511 ( в )

В № 508 и № 509 применяется теорема о площади треугольника, первое и второе свойства площадей.

В № 511 применяется теорема о площади трапеции, об отношение площади треугольника

3. Замена отношения произведений длин сторон отношением площадей треугольников.

511 (в), № 479 – применение теоремы об отношении площади треугольников, имеющих по равному углу.


На приём « разбиения и дополнения » :

510, № 523, № 531


На алгебраический метод:

453, № 472, № 496, № 497, № 521, №532


На использование свойств площадей многоугольников:

Первое свойство - № 445, № 447, № 448, № 510.

Третье свойство - № 449, № 450, № 456, № 457, № 458.

Второе свойство – № 506, № 446


О площади многоугольника - №452 - № 458:

На первое и второе свойства - № 445,№ 446

На третье свойство - № 456, № 457, № 458


О площади параллелограмма - № 459, № 460, № 464, № 502, № 461, № 462, № 465, № 466


На применение теоремы площади треугольника:

468, № 492, № 515, № 516, № 522


На нахождение площади трапеции:

480 ( б ), № 481, № 482, № 518, № 519, № 520, № 523


На сравнение площадей многоугольников:

467, № 474, № 500, № 505, № 507


Перевод из одних единиц измерения площадей в другие:

451, № 501


На следствие 1:

471, № 472, № 506, № 511 ( а, б )

В № 472 используется алгебраический метод

В № 506 используется второе свойство площадей


На следствие 2:

473, № 474, № 475, № 510

В № 510 используется первое свойство площадей, метод « разбиения и дополнения»


На применение теоремы о площади трапеции

480 (а, б), № 495, № 512


Вывод: Задачи разобраны по форме, содержанию и уровням сложности. Охвачены почти все дидактические единицы, представленные в теме.

В данной теме существуют задачи – теоремы.

476. Теорема: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Теорема сформулирована в неявной форме, так как даётся в виде задачи. При доказательстве теоремы используется: свойство диагоналей ромба, первый признак равенства треугольников, понятие прямоугольного треугольника, второе следствие из теоремы о площади треугольника, второе свойство площадей.

478. Теорема: площадь выпуклого четырёхугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями равна половине произведения его диагоналей

Теорема сформулирована в неявной форме, так как даётся в виде задачи. При доказательстве теоремы используется: первое свойство площадей, следствие 2 из теоремы о площади треугольника, понятие прямоугольного треугольника.

489. Теорема: площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: hello_html_71b024c.gif.

Теорема сформулирована в неявной форме, так как даётся в виде задачи. При доказательстве используется: понятие равностороннего треугольника, понятие прямоугольного треугольника, теорема Пифагора, теорема о площади треугольника.

2)Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. Для 7-11 кл. сред. шк.- 4-е изд.- М.: Просвещание, 1993.- 383 с.


hello_html_459ad8ce.gifПлощади фигур

121. Понятие площади

122. Площадь прямоугольника

123. Площадь параллелограмма

124. Площадь треугольника

125. Формула Герона для площади треугольника

126. Площадь трапеции

128. Площади подобных фигур

129. Площадь круга

130. Контрольные вопросы

131. Задачи


.с одной стороны А.В. Погорелов считает, « что курс геометрии должен быть аксиоматическим начиная с самых первых уроков и нет надобности в предварительной подготовке учащихся к восприятию учебного материала на столь высоком уровне абстрагирования», с другой стороны «он избегает использования теоретико-множественной терминологии, считая, что в этом случае изучение оснований геометрии существенно усложнится.»


Основное понятие: площадь для простой фигуры

Геометрическую фигуру называют простой, если её можно разбить на конечное число простых треугольников.

Площадь простых фигур – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

  1. Равные фигуры имеют равные площади;

  2. Если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей её частей;

  3. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице.


Говорится о единице измерения:

Если квадрат имеет сторону 1 м, то площадь будет в квадратных метрах. Если сторона 100 м, то площадь будет в квадратных км и тд.


Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, произведению к этой стороне.

В учебнике в отдельной теореме площадь прямоугольника не выделена.

Выводится формула, а не даётся в готовом виде. Для вывода этой формулы площади прямоугольника доказывается теоремой о площади двух прямоугольников с равными основаниями. Используя квадрат, являющийся единицей площади, прямоугольник со сторонами 1, а и прямоугольник со сторонами а, в. Сравниваем по доказанной теореме и получаем искомую формулу нахождение площади прямоугольника.


Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Доказывают, что площадь параллелограмма равна площади прямоугольника. Площадь прямоугольника по доказанному равен (a*b), так как h=b, тогда площадь параллелограмма равна (a*h).


Площадь равна половине произведения его стороны на проведённую к ней высоту.

Доказывается путём достроения до параллелограмма. Площадь параллелограмма равна сумме площадей двух треугольников.


Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:

hello_html_m4b75b395.gif

Площадь трапеции равна сумме площадей двух треугольников, далее расписывают площади треугольников и складывают.


Понятие: высота трапеции

Расстояние между параллельными прямыми.


Выводы:

Дидактические единицы: понятие площади для простой фигуры, понятие квадратного сантиметра (метра, миллиметра), свойства площадей простых фигур, формулы площадей параллелограмма, прямоугольника, трапеции.

Связь площади трапеции и площади прямоугольника, свойства площадей связаны с площадью параллелограмма, треугольника, трапеции.

В отличие от учебника Атанасяна Л. С., в данном учебнике в отдельной теореме площадь прямоугольника не выделена, выводится формула, а не даётся в готовом виде. Так же выводятся формулы площадей параллелограмма, трапеции.

Даётся понятие высоты трапеции.



Анализ задачного материала:


В учебнике имеются задачи:

На нахождение площади квадрата: № 2, № 3, № 5, № 6


На нахождение площади треугольника: № 17, № 18, № 21, № 22, № 23, № 26, № 28, № 34

17, №18 применение алгебраического метода, теоремы Пифагора


На нахождение плоскости ромба: № 11, № 12


Алгебраический метод: № 4 - № 8, № 19, № 30, №59

В № 9, № 14 применяется теорема Пифагора

В № 19 применяется площадь треугольника


Метод «разбиения – дополнения» : № 13- № 16


На нахождение площади прямоугольника:

7, № 8


Задачи на доказательство:

1, № 13

В № 1 применение теоремы Пифагора

В № 13 применение плоскости треугольника


На нахождение плоскости параллелограмма:

27 применение плоскости треугольника


На нахождение плоскости трапеции

37, № 38, № 39

В № 37 применение теоремы Пифагора














Общая информация

Номер материала: ДВ-052005

Похожие материалы