Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Урок "Касательная к окружности"

Урок "Касательная к окружности"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Урок геометрии в 8-м классе

Тема: "Касательная к окружности"

Цели:

  • Ввести понятия касательной, точки касания, отрезков касательных, проведенных из одной точки.

  • Рассмотреть свойство касательной и ее признак и показать применение при решении задач.

  • Рассмотреть свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки и развивать его применение в процессе решения задач.

  • Рассмотреть свойство касательной и её признак и показать их применение, расширяя кругозор учащихся, в природе и технике.

Задачи урока:

Образовательные:

Обеспечить овладение основными алгоритмическими приёмами построения касательной к окружности,

Сформировать умения применять теоретические знания к решению задач.

Воспитательные:

Развивать мышление и речь учащихся, кругозор.

Работать над формированием умений наблюдать, подмечать закономерности, обобщать, проводить рассуждения по аналогии.

Привитие интереса к математике.

Практические: сформировать умение строить касательную к окружности, рассмотреть примеры в природе и технике.

Оборудование:

Циркуль, треугольник, линейка

Мультимедийный проектор, слайды,

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания

  1. Повторить элементы окружности

  2. От чего зависит взаимное расположение прямой и окружности? (рассказ по слайдам)

  3. Три случая расположения прямой и окружности

  4. Решение задачи №633 (слайд)



hello_html_m4b0127d5.jpg

Рисунок 1

III. Актуализация знаний.

Тест с целью проверки теории

Среди следующих утверждений укажите истинные:


Окружность и прямая имеют две общие точки, если:

а) расстояние от центра окружности до прямой не превосхо­дит радиуса окружности;

б) расстояние от центра окружности до прямой меньше ра­диуса окружности;

в) расстояние от окружности до прямой меньше радиуса окружности.

Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание.
Окружность и прямая имеют одну общую точку, если...

Установите истинность или ложность следующих утвержде­ний:

а) Прямая, а является секущей по отношению к окружности,

если она имеет с окружностью общие точки.

б) Прямая, а является секущей по отношению к окружности,
если она пересекает окружность в двух точках.

в) Прямая, а является секущей по отношению к окружности,
если расстояние от центра окружности до данной прямой
не больше радиуса.

IV. Объяснение нового материала.

  1. Цели урока:

Сегодня мы более подробно рассмотрим касательную к окружности.

Что мы знаем о касательной к окружности? (определение, расстояние от точки до прямой)

Можете ли вы на чертеже отличить касательную от других прямых?

В тетради начертить окружность произвольного радиуса с центром в точке О, провести касательную в точке А.

Сколько касательных можно провести через точку А

Один ученик выполняет задание у доски.



На этом уроке мы рассмотрим свойства окружности и прямой c.

2. Какими же свойствами обладает эта прямая? Чтобы ответить на этот вопрос - проведите отрезок соединяющий центр окружности и точку касания, измерьте получившийся угол. (90hello_html_5fd7abd3.png)

- Что можно сказать о касательной и радиусе? - Они перпендикулярны.

3. Прочтите теорему.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Доказательство разбирается в ходе беседы.

Учащиеся делают новый чертёж.

hello_html_3e5e0067.png

Допустим, что прямая р не перпендикулярна к радиусу ОА(На рисунке сделать построение другим цветом). Сравните расстояние от центра окружности до прямой р с радиусом окружности.

hello_html_m70281191.png

Назовите перпендикуляр к прямой р ОВ

Наклонную ОА

-Расстояние от точки О до прямой р , это ОВ, меньше радиуса окружности ОА, который в данном случае будет являться наклонной по отношению к прямой р, а расстояние от точки О до прямой р – перпендикуляр, а, как известно, любая наклонная больше перпендикуляра, проведённого из той же точки к той же прямой, т. е. ОВ<ОА.

- Сколько тогда общих точек у прямой р и окружности? (2)

- Может ли прямая р быть касательной к окружности? Почему?

Т. к. прямая р имеет две общие точки с окружностью, то она не может бать касательной по определению.

- Верно ли предположение, что прямая р не перпендикулярна радиусу окружности? О чём это говорит?

Предположение не верно, следовательно прямая р перпендикулярна радиусу ОА.

3. Теперь запишем это доказательство в тетради.

Слайд с доказательством.

A к окружности, А-точка касания.

Доказать: рhello_html_m79fa01fc.pngОА.

Доказательство:

Предположим, что рhello_html_m79fa01fc.pngОА, тогда ОА наклонная к прямой р, а ОВhello_html_m79fa01fc.pngр, т. к. ОВ<ОА, то расстояние от центра окружности О до прямой р меньше радиуса, следовательно прямая р и окружность имеют две общие точки, что противоречит условию: прямая р – касательная, т. о. р hello_html_m79fa01fc.pngОА.

V. Закрепление.

1. Построение касательной.

Вернемся к нашему рисунку.

Проверьте, правильно ли вы построили касательную?

Что для этого нужно сделать?



Построение: Ученик, подготовленный заранее, объясняет построение касательной к окружности в заданной точке. Учащиеся выполняют построение в тетради.

Дано: окружность, О - центр, А - лежит на окружности.

Построить касательную к окружности в точке А.

ОА – прямая.

От точки А отложим Оhello_html_232ce402.pngА=ОА.

Из точек Оhello_html_232ce402.png и О проведём окружности, радиусом большим ОА.

Через точки пересечения окружностей проведём прямую а.

Прямая, а будет касательной по определению.

Еще один способ практический способ построения касательной с помощью зеркала. Как вы думаете, как с помощью зеркала проверить правильно ли вы построили касательную

  1. Решите задачи по готовым чертежам

 hello_html_m1aef9283.png

VI. Применение касательной для науки и техники

1.Построение эвольвенты.

hello_html_41318ca6.gifЭвольвентой круга называется траектория точки, лежащей на прямой, которая перекатывается без скольжения по окружности радиуса rв, называемой основной.

 

 









  1. У Лукоморья дуб зелёный
    Златая цепь на дубе том.
    И днём и ночью кот учёный
    Всё ходит по цепи кругом.

Нам эти строки знакомы с детства, мы никогда не задумывались над тем, какую линию вычерчивает кот.

Как вы думаете, что это за линия? (Чаще всего ученики отвечают – окружность)

Два ученика, выходят к столу, на котором расположен ватман, макет дуба и небольшой котёнок (мягкая игрушка), к которому прикреплен маркер, привязанный к “дубу”.

Один ученик придерживает “дуб”, а второй передвигает игрушку “по цепи кругом”. На ватмане вычерчивается кривая.

Учитель показывает слайды построения эвольвенты.

Таким образом для построения этой кривой надо хорошо уметь строить касательную в заданной точке.

С этой же кривой связана и биология .

3. Ученик рассказывает о берёзовом долгоносике, демонстрируя разрез листа , и сворачивает его.

hello_html_m1b785c9a.png

Слайд с циклоидой

  1. Слайд о космической скорости

5 Искры на точильном камне, брызги от буксующего колеса летят по касательной

VII. Закрепление изученного материала (обучающая самостоятельная работа)

hello_html_m758a6be2.gif

hello_html_m3acc9973.gif

VIII. Подведение итогов.

Что нового мы узнали сегодня на уроке?

Выставление оценок

IX. Домашнее задание.

П. 69, страница 159 вопросы 1-4,

страница 178,

решить задачи №634,636



Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 13.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров39
Номер материала ДБ-345614
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх