Урок "Компьютерное представление целых и вещественных чисел"

Класс	10
Тема урока	Компьютерное представление целых и вещественных чисел
Тип урока	изучение нового материала
Цели урока	научить учащихся представлять целые и вещественные числа в памяти компьютера;
	развивать логическое мышление, внимание, память;
	Воспитывать умение слушать учителя и одноклассников, аккуратность,  дисциплинированность

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

II. Постановка целей урока.
 - Сколько кодов чисел может быть в компьютере?
 - Почему вещественные числа называются числами с плавающей запятой?
 - Какое самое большое число может запомнить компьютер?

III. Изложение нового материала.

Числовая информация была первым видом информации, который начали обрабатывать ЭВМ, и долгое время она оставалась единственным видом. Поэтому не удивительно, что в современном компьютере существует большое разнообразие типов и представлений чисел. Прежде всего, это целые и вещественные числа, которые по своей сути и по представлению в машине различаются очень существенно. Целые числа, в свою очередь, делятся на числа со знаком и без знака, имеющие уже не столь существенные различия. Целые числа хранятся в памяти компьютера в формате с фиксированной запятой. Вещественные числа в формате с плавающей запятой.

Мы с вами будем рассматривать типы чисел в порядке увеличения их сложности.

1. Целые числа без знака.

Хотя в математических задачах не так часто встречаются величины, не имеющие отрицательных значений, беззнаковые типы данных получили в ЭВМ большое распространение. Главная причина состоит в том, что в самой машине и программах для нее имеется много такого рода объектов: прежде всего, адреса ячеек, а также всевозможные счетчики (количество повторений циклов, число параметров в списке или символов в тексте). К этому списку стоит добавить числа, обозначающие дату и время, размеры графических изображений в пикселях. Всё перечисленное выше всегда и во всех программах принимает только целые и неотрицательные значения.

Для хранения чисел в памяти отводится  определенные количество разрядов, в совокупности  представляющих собой к–разрядную сетку. Обычно целые числа занимают в памяти ЭВМ 1,2, или 4 байта. Поэтому легко вычислить диапазон чисел, которые можно хранить в такой разрядной сетке.

Формат	Количество разрядов (n)	Мини- мальное число	Максимальное число	Интервал чисел
Целые числа без знака	1 байт (n = 8)	0	2n-1=28-1= 255	0…255
	2 байт (n = 16)	0	2n-1=216-1= 65535	0…65635
	4 байт (n = 32)	0	2n-1=232-1= 4294967296	0…4294967296

Алгоритм  представления целого числа без знака в памяти компьютера

1. Перевести число в двоичную систему счисления.
2. Нарисовать к–разрядную сетку.
3. Записать число в разрядную сетку, начиная с младшего разряда.
4. Заполнить оставшиеся разряды нулями.

Пример1.Представить число 21₁₀ в однобайтовой разрядной сетке.

1.      Переведем число  21₁₀  в двоичную систему счисления 10101₂

2.     

номер разряда

Нарисуем однобайтовую разрядную сетку

7	6	5	4	3	2	1	0

3.      Запишем число в разрядную сетку, начиная с младшего разряда

7	6	5	4	3	2	1	0
			1	0	1	0	1

4.       Заполним оставшиеся разряды нулями

7	6	5	4	3	2	1	0
0	0	0	1	0	1	0	1

2.      Целые числа со знаком

Добавление отрицательных значений приводит к появлению некоторых новых свойств. Ровно половина из всех 2^N чисел теперь будут отрицательными; учитывая необходимость нулевого значения, положительных будет на единицу меньше, т.е. допустимый диапазон значений оказывается принципиально несимметричным.

Для того чтобы различать положительные и отрицательные числа, в двоичном представлении чисел выделяется знаковый разряд. Для кодирования знака используется самый старший бит, причем нулевое значение в нем соответствует знаку "+", а единичное – «-». Подчеркнем, что с точки зрения описываемой системы кодирования число ноль является положительным, т.к. все его разряды, включая и знаковый, нулевые.

Диапазон целых чисел со знаком

Формат	Количество разрядов (n)	Мини- мальное число	Максимальное число	Интервал чисел
Целые числа со знака	2 байт (n = 16)	-2n-1-1=216-1 = -32768	2n-1-1=216-1-1= 32767	-32768…32767
	4 байт (n = 32)	-2n-1-1=232-1 = -2 147 483 648	2n-1-1=232-1-1= 2 147 483 647	-2 147 483 648… 2 147 483 647

а) Целые числа со знаком «+»

Представление положительных чисел при переходе от беззнаковых чисел к целым со знаком сохраняется, за исключением того, что теперь для собственно числа остается на один разряд меньше.

Алгоритм  представления целого числа со знаком плюс в памяти компьютера

1. Перевести число в двоичную систему счисления.
2. Нарисовать к–разрядную сетку.
3. Указать код знака «+» в старшем разряде.
4. Записать число в разрядную сетку, начиная с младшего разряда.
5. Заполнить оставшиеся разряды нулями.

Пример 2. Представить число  +25₁₀  в двухбайтовой разрядной сетке

1.      Переведем число  25₁₀  в двоичную систему счисления 11001₂

2.      Нарисуем двухбайтовая разрядную сетку

15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0

3.      Укажем  код знака «+» в старшем разряде

15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
0

4.      Запишем число в разрядную сетку, начиная с младшего разряда

15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
0											1	1	0	0	1

5.       Заполним оставшиеся разряды нулями

15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	1

б) Целые числа со знаком «-»

Предположим что, кодировать отрицательные значения можно  точно так же, как и положительные, только добавлять в старший бит единицу. Подобный способ кодирования называется прямым кодом. Несмотря на свою простоту и наглядность, для представления целых чисел он не получил применения в ЭВМ. Главной причиной является то, что, хотя сам код прост, действия над представленными в нем числами выполняются достаточно сложно. Поэтому для практической реализации кодирования отрицательных чисел используется другой метод. В его основе лежит запись отрицательных чисел в виде

2^N - |А|

где N - количество двоичных разрядов, А – значение числа. Поскольку фактически вместо числа теперь записывается его дополнение до некоторой характерной величины 2^N, то такой код назвали дополнительным. Дополнительный код позволяет заменить  арифметическую операцию вычитания операцией сложения, что существенно упрощает работу процессора и увеличивает его быстродействие.

Алгоритм  представления целого числа со знаком минус в памяти компьютера

1. Перевести модуль числа в двоичную систему счисления.
2. Записать число в прямом коде в n двоичных разрядах.
3. Получить обратный код числа, для этого значения всех  битов инвертировать (все единицы заменить на нули и все нули заменить на единицы).
4. Найти дополнительный код числа, прибавив к обратному коду единицу.
5. Нарисовать к–разрядную сетку.
6. Записать число в разрядную сетку.

Пример 3. Представить число  -25₁₀  в двухбайтовой разрядной сетке

1.      Переведем число  25₁₀  в двоичную систему счисления 11001₂

2.      Запишем число в прямом коде в 16  двоичных разрядах
0 000 000 000 011 001

3. Получим обратный код числа, для этого значения всех  битов инвертировать (все единицы заменить на нули и все нули заменить на единицы).
   1 111 111 111 100 110

4.      Найдем дополнительный код числа, прибавив к обратному коду единицу

1 111 111 111 100 110

                            +                                   1

1 111 111 111 100 111

5.      Запишем число в разрядную сетку.

15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	1	1	1

3.      Вещественные числа

Формат чисел с плавающей запятой базируется на экспоненциальной форме записи, в которой может быть представлено любое число.

A = (±m) * q ^±n ,

где m  - мантисса числа. q – основание системы счисления, n – порядок числа.

Представление числа в форме с плавающей точкой неодно­значно. Например, справедливы следующие равенства: 25,324 = 2,5324 • 10¹ = 0,0025324 • 10⁴ = 2532,4 • 10^-2 и т. п. В компьютере используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализо­ванном    представлении    должна    удовлетворять    условию: 0,1 < т < 1  . Иначе говоря, мантисса меньше единицы и пер­вая значащая цифра — не ноль.

В памяти компьютера мантисса представляется как целое число, содержащее только значащие цифры (0 целых и запятая не хранятся). Следовательно, внутреннее представление вещественного числа сводится к представлению пары целых чисел: мантиссы и порядка.

Число в формате с плавающей запятой занимает в памяти компьютера 4 (число обычной точности) байта или 8 (число двойной точности) байт.

Диапазон  изменения чисел определяется количеством разрядов, отведенных для хранения порядка числа, о точность (количество значащих цифр) определяется количеством разрядов, отведенных для хранения мантиссы. При записи числа  выделяются разряды для хранения знака порядка, порядка, знака мантиссы, мантиссы.

Четырехбайтная разрядная сетка:

Знак порядка

порядок

Знак мантиссы

мантисса

Формат числа	Количество разрядов, отводимое для хранения числа	Количество разрядов, отводимое для хранения порядка	Количество разрядов, отводимое для хранения мантиссы	Точность вычисления	Максимальное значение порядка	Максимальное число
С плавающей запятой	4 байта (32 разряда)	8	24	223-1»107 (7 разрядов)	011111112= 12710	2127=1,701411* 1038
	8 байта (64 разряда)	11	53	252-1»1015,6 (15-16 разрядов)	011111111112=102310	21023=8,98846567431157*10307

Алгоритм  представления вещественного числа  в памяти компьютера

1. Перевести  число в двоичную систему счисления
2. Записать число с n значащими цифрами (количество разрядов отводимое для хранения мантиссы).
3. Нормализовать представление числа.
4. Нарисовать к–разрядную сетку.
5. Записать код знака порядка и мантиссы в старший разряд байтов, отводимых для хранения порядка и мантиссы.
6. Записать порядок в разрядную сетку, начиная с младшего разряда.
7. Записать мантиссу в разрядную сетку, начиная с младшего разряда.
8. Заполнить оставшиеся разряды нулями.

Пример 4. Представить число 250,1875 в формате с плавающей запятой в четырехбайтной разрядной сетке.

1. Переведем  число 250,1875  в двоичную систему счисления
   250,1875₁₀ = 11111010, 0011₂
2. Запишем  число с 23 значащими цифрами.
   11111010, 001100000000000₂
3. Нормализовать представление числа.

      0, 11111010001100000000000₂*10¹⁰⁰⁰

4. Нарисовать к–разрядную сетку.

Знак порядка

порядок

Знак мантиссы

мантисса

5.                  Записать код знака порядка и мантиссы в старший разряд байтов, отводимых для хранения порядка и мантиссы.

0

0

Знак порядка

порядок

Знак мантиссы

мантисса

6. Записать порядок и мантиссу в разрядную сетку, начиная с младшего разряда.

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

7. Заполнить оставшиеся разряды нулями.

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

VI. Закрепление изученного материала.

+ (Приложение)

V. Постановка домашнего задания

VI. Подведение итогов урока.