• Класс: 10 класс

  Тема: Решение тригонометрических  уравнений с модулем

  Тип урока по цели: изучение

  Тип урока по форме проведения: урок-консультация.

  Форма работы с учащимися: общая, групповая и индивидуальная.

  Эпиграф Сухомлинский считал, что «Чувство удивления– могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг».

  Давайте вместе сегодня  сделаем этот шаг к   определению способов решения тригонометрических уравнений с модулем.

   

  Цели урока:

  ü    дидактическая:

  1. повторить методы решения тригонометрических уравнений,
  2. изучить  способы раскрытия модуля по определению и  с помощью формулы
  3. рассмотреть комбинированные методы решения тригонометрических уравнений с модулем;
  4. рассмотреть тригонометрические уравнения,  модуль в которых появляется в ходе их решения

  ü    развивающая:

  5.  развивать навыки самостоятельной работы, прививать умение выслушивать других учащихся, дополнять их ответы
  6.  развивать математическую речь (используя грамотно математические термины);
  7.  развивать логическое мышление, память, познавательный интерес,
  8.  вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

  ü    воспитательная:

  9. формировать  опыт самостоятельной деятельности и личной ответственности.
  10. показывать, что математические понятия не изолированы друг от друга, а представляют определенную систему знаний, все звенья которой находятся во взаимной связи,
  11. формировать  эстетические  навыки при оформлении записей, навыки  контроля и самоконтроля.

  Средства наглядности: макеты единичной окружности, сборник подготовки к ЕГЭ,  раздаточный материал: лист-конспект  (рабочая тетрадь, копирка), видео-консультация, мультимедийный проектор, компьютеры, карточки для магнитной доски, магниты.

  Карта урока:

  этап	Деятельность учителя	Деятельность учеников	время
  Организационный момент	Говорят, алгебра держится на четырех китах: это уравнение, число, тождество, функция. Сегодня  мы продолжаем  изучение  тригонометрических уравнений.		1
  Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала
  Устно: 1.    Блиц-опрос. Показываем таблички с  простейшими тригонометрическими уравнениями. Ученики решают	Решите уравнение ü sin x=-1 ü cos x=1/2 ü tg x=-1 ü sin 2x=-1/2 ü cos x=2 ü tg 2x=4 ü sin x=-0	По цепочке	1
  Устно: 2.    фронтальный опрос	ü  определение модуля действительного числа ü  Какие способы решения уравнений мы используем ? ü  назовите виды тригонометрических уравнений ü  о чем надо помнить при решении тригонометрических уравнений		1
  Устно: Работа у магнитной доски группы из 2  учеников	Перед вами уравнения, распределите уравнения по известным вам методам (алгоритмам) решения  в таблицу.  Объясните  свой выбор.  Простейшее тригон-ское Замена переменной Разложение на множители Однородные Триг  1 степени Однородные Триг  2 степени             1) 2sinx cos 5x – cos 5x =0; 2) sin (π+x)=0 3)3tg 2 x  + 2tg  x  -1=0 4) 2 cos2 x + 9cos x +14=0 5) sin 2х = -1 6)2sinx – 3cosx = 0 7)  cos 3x = 0 8) cos (х – π/4) = ½ sin2x – 3sinx cosx + 2cos2x = 0  9) sin (x/2+ π /3)= -1/2. 10) 3sin2x – 4sinx cosx + cos2x = 0 11)√3tg2x + 1 = 0 12) 3cos2x – sinx – 1 =0 13) 2cos(π/3 + 3x) – √3 = 0 14)	Распределяют уравнениями по   колонкам таблицы	1
  Усвоение новых знаний
  Сухомлинский считал, что «Чувство удивления– могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг». Давайте вместе сегодня  сделаем этот шаг к   определению способов решения тригонометрических уравнений с модулем.
  Тема урока	Учитель называет вид уравнений, оставшихся на магнитной доске, объявляет тему урока.	В лист конспект вписывают фамилию и класс	1
  Актуализация знаний	Уравнения  широко представлены в экзаменационном материале. А  тригонометрические  уравнения, содержащие модуль   входят в задание 15.  вспомним определение модуля действительного числа. Рассмотрим способы раскрытия модуля: ·        Как раскрыть модуль по определению, используя формулу и  с учетом ОДЗ ·        Как раскрыть модуль используя метод оценки левой и правой части уравнения.  Комбинированные методы решения тригонометрических уравнений с модулем и  уравнений,  модуль в которых будет появляться в ходе их решения Как не потерять корни уравнения, выполняя преобразования Решение уравнений задания  15
  В чем недостаток графического способа?	Рассмотрим Графический способ решения уравнений У доски работает 1 человек: -Построить в одной системе координат два графика функции -убедиться, что они имеют общую точку -абсцисса точки-корень уравнения	Ребята выполняют задание в конспекте, сверяют с доской, делают необходимые пометки  на свое усмотрение.	2
  2.                  Рассмотрим комбинированные методы решения тригонометрических уравнений с модулем и  уравнений,  модуль в которых будет появляться в ходе их решения	Работа у доски: 6 ученика 1.Раскрытие модуля по определению -2ученика 2.Метод оценки левой и правой части уравнения-1 3.Раскрытие модуля  по определению  и  учетом ОДЗ-1 4.Появление модуля в ходе решения уравнения-1 5.Раскрытие модуля по формуле:-1	Ребята выполняют задание в конспекте, сверяют с доской, делают необходимые пометки  на свое усмотрение.	15
  3.             интернет-консультация	Использование интернет ресурса – видео урок	Смотрят, внимательно слушают	3
  4.             Историческая справка	Доклад о применении  тригонометрических функций, уравнений в физике, медицине, музыке…	Работа с презентацией	2
  Проверка понимания учащимися нового материала.
  Устно: выяснить, усвоен ли учащимися способ решения уравнений с модулем	ü  Раскрывая модуль по определению сколько систем  получаем? ü  Когда удобно раскрывать модуль по формуле?	Отвечают на вопросы	1
  Закрепление  и проверка усвоения нового материала.
  проверить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке.	Учитель предлагает учащимся решить самостоятельно  по вариантам  1 уравнение Решают под копирку, второй  лист сдают учителю	Самопроверка.Сверяют с  образцом на компьютере, обменявшись работой друг с другом.	10
  Рефлексия:  Думаем, все согласятся, что - математика замечательный предмет для удивления. 1.	Ответь на вопросы (да «+», нет «-», не совсем «?»): Я понял(а), в каких  случаях раскрывать модуль по определению____ Я понял(а), в каких  случаях раскрывать модуль по формуле ____ Я понял(а), в каком  случае  использовать метод оценки левой и правой части уравнения____ Я могу решать тригонометрические уравнения  с модулем___ Я ставлю себе за работу на уроке оценку « ____»		1
  Итог урока	Выставление оценок		1
  Думаем, научившись бороться с трудностями при решении ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ  УРАВНЕНИЙ с модулем, вы сможете преодолевать любые преграды в жизни.

   

  
  

  Ход урока

   

  1.      Оргмомент:

  - Здравствуйте ребята. Садитесь.

  2.      Постановка цели:

  Говорят, алгебра держится на четырех китах: это уравнение, число, тождество, функция. Сегодня  мы продолжаем  изучение  тригонометрических уравнений.

  3.      Устная работа:

  Блиц-опрос. Решите уравнения( учитель показывает таблички с  простейшими тригонометрическими уравнениями. Ученики говорят решения по цепочке).

  sin x=-1
  cos x=1/2
  tg x=-1
  sin 2x=-1/2
  cos x=2	Нет решения
  tg 2x=4
  sin x=-0

   

  фронтальный опрос. Ответьте на вопросы

  ü определение модуля действительного числа

  ü Какие способы решения уравнений мы используем ?

  ü назовите виды тригонометрических уравнений

  ü о чем надо помнить при решении тригонометрических уравнений

  Работа у магнитной доски (группа из 2  учеников).

   

  Простейшее	Замена переменной	Разложение на множители	Однородные 1 степени	Однородные   2 степени
  sin 2х = -1	sin (π+x)=0	2sinx cos 5x – cos 5x =0;	2sinx – 3cosx = 0	sin2x – 3sinx cosx + 2cos2x = 0
  cos 3x = 0	3tg 2 x  + 2tg  x  -1=0			3sin2x – 4sinx cosx + cos2x = 0
  √3tg2x + 1 = 0	2 cos2 x + 9cos x +14=0
  cos (х – π/4) = ½	3cos2x – sinx – 1 =0
  sin (x/2+ π /3)= -1/2.
  2cos(π/3 + 3x) – √3 = 0

  Изучение нового материала:

  ИТОГ: Учитель называет вид уравнений, оставшихся на магнитной доске, объявляет тему урока: Решение тригонометрических уравнений с модулем.

  Сухомлинский считал, что «Чувство удивления– могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг».

  - Давайте вместе сегодня  сделаем этот шаг к   определению способов решения тригонометрических уравнений с модулем.

  Цель урока:

  1.      Изучить способы раскрытия модуля:

  2.      Выяснить, как раскрыть модуль по определению;  используя формулу;  с учетом ОДЗ.

  3.      Ответить на вопрос: Как раскрыть модуль используя метод оценки левой и правой части уравнения?

  4.      Рассмотреть комбинированные методы решения тригонометрических уравнений с модулем. И  уравнений,  модуль в которых будет появляться в ходе их решения уравнений.

  5.      Повторить, как не потерять корни уравнения, выполняя преобразования.

  6.      Решить  уравнения из ЕГЭ,задания  15.

  Вопрос

  1.     Назовите определение модуля действительного числа.

  2.     В чем недостаток графического способа перед аналитическим?

   

  1.      Рассмотрим графический способ решения уравнений (у доски работает ученик, все в листе-конспекте выполняют задания и сравнивают свое  решение).

  Повторяем алгоритм  графического решения тригонометрических уравнений с модулем:

  ü  Построить в одной системе координат два графика функции

  ü  -убедиться, что они имеют общую точку

  ü  -абсцисса точки-корень уравнения

  

  

  2.      Рассмотрим комбинированные методы решения тригонометрических уравнений с модулем и  уравнений,  модуль в которых будет появляться в ходе их решения (у доски работают  6 учеников, поочередно решая свои уравнения, комментируя решения. Класс делает запись в конспекте).

  ü Раскрыть модуль по определению:

  

  ü Раскрыть модуль по определению(под знаком модуля не триг.функ.):

  

  Решение. Раскрывая знак модуля, получаем системы:

  

  ü Метод оценки частей  уравнения

   

  

  Решение. Правая часть уравнения неотрицательна, значит, неотрицательна и левая часть, поэтому, раскрывая знак модуля, получим только одну систему

   

  ü Появление модуля в ходе решения уравнения

  

  

  

    Физминутка: Ребята закройте глаза, положите голову на руки. Подумайте о!!!!!!!!!!

   

  ü Раскрытие модуля по формуле:

  ,

   

  ü Раскрытие модуля с учетом ОДЗ

  

  Решение. ОДЗ:

  Раскрывая знак модуля, получаем системы:

   

  ИТОГ: Когда для раскрытия модуля используем определение? Почему составляем строгое неравенство при раскрытии модуля как в последнем случае?

  -Все методы описаны у вас  в конспекте. Подсказки  при подготовке дом.заданий обеспечены.

   

  Интернет-КОНСУЛЬТАЦИЯ .

  -  Внимательно посмотрим на решение уравнения из ЕГЭ (видео).

  При поступлении в вуз необходимо знать чуть больше чем другие  абитуриенты, чтобы набрать больше баллов и составить конкуренцию.

   

  

   

  - Решение можно попробовать записать самостоятельно. Кто затрудняется, может взять подсказку (на рабочем столе).

  - Где  и как можно использовать знания, полученные при изучении тригонометрических уравнений? Узнаем из исторической  справки.  

  Презентация. Доклад о применении  тригонометрических функций, уравнений в физике, медицине, музыке…

   ИТОГ:- Дополнительную информацию можно посмотреть в Интернете.

  Самостоятельная работа:

  -Учитель предлагает учащимся решить самостоятельно  по вариантам  1 уравнение.

   

   

   (Решают под копирку, второй  лист сдают учителю. Обмениваются работами,  проверяют их,  используя образец на компьютере).

  -Кто справился полностью  с работой?

  Рефлексия:

  -Возьмите  опросник и ответьте на вопросы (собрать листочки).

  Кто оценил свою работу:

   на 5?

  на 4?

  на 3?

  У кого остались вопросы?

  Домашнее задание из ЕГЭ.

  -Так как на одном уроке невозможно ответить и решить все уравнения. Мы продолжим  отвечать на вопросы на следующем уроке. Сегодня вы активно поработали. Оценки получили .Молодцы ребята! Думаем, все согласятся, что - математика замечательный предмет для удивления.Спасибо за урок.

  
  

  Лист-конспект: Решение  тригонометрических уравнений с модулем                           Ф. И.______________________, класс__

  Аналитический способ
  1.Раскрытие модуля по определению			2.Метод оценки левой и правой части уравнения	3.Раскрытие модуля  по определению  и  учетом ОДЗ
  	n корень Да/нет n= -1 n=0 n=1 m= -1 m=0			одз
  Графический способ
  4.Появление модуля в ходе решения уравнения			5.Раскрытие модуля по формуле:
  ИНТЕРНЕТ-консультация
  Полезные ссылки: http://www.nofollow.ru/video.php?c=tgjzloGhF0Q  (http://www.youtube.com/watch?v=tgjzloGhF0Q) http://festival.1september.ru/articles/507334/ http://учительский.сайт/Заболотнева-Наталья-Викторовна http://учительский.сайт/Лобанова-Фаина-Александровна
  Домашнее задание (Д.А.Мальцев Математика ЕГЭ 2015.книга 2 Профильный уровень) ТЕСТ 31 задание15  найти все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
  Самостоятельная работа
  1 вариант		2 вариант

   

  Ответь на вопросы (да «+», нет «-», не совсем «?»):

   

  2.     Я понял(а), в каких  случаях раскрывать модуль по определению____

  3.     Я понял(а), в каких  случаях раскрывать модуль по формуле ____

  4.     Я понял(а), в каком  случае  использовать метод оценки левой и правой части уравнения____

  5.     Я могу решать тригонометрические уравнения  с модулем___

  6.     Я ставлю себе за работу на уроке оценку « ____»

   Думаем, научившись бороться с трудностями при решении ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ  УРАВНЕНИЙ с модулем, вы сможете преодолевать любые преграды в жизни.

   

  Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в тригонометрических --- бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще одной спецификой тригонометрических уравнений является неединственность формы записи ответа.

   

Краткое описание материала