Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Тесты / Урок "Координатно-векторный метод решения стереометрометрических задач"

Урок "Координатно-векторный метод решения стереометрометрических задач"

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:





КУРАГИНСКАЯ СОШ № 7


РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ



КООРДИНАТНО- ВЕКТОРНЫМ МЕТОДОМ











УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ



ЧЕРВОНЕНКО ТАМАРА ЯКОВЛЕВНА










П. КУРАГИНО 2016 г.





Алгебра – не что иное как записанная

в символах геометрия,

а геометрия – это просто алгебра,

воплощенная в фигурах.

Софий Жермен (1776-1831)



Большую роль в развитии геометрии сыграло применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур, разросшееся в самостоятельную науку- аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным методом. Метод координат - весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Рене Декарт является одним из создателей аналитической геометрии . Предложенная им система получила его имя. В геометрии применяются различные методы решения задач. В своей работе я показала решение одной из задач тремя методами. Координатный метод решения задач на сегодняшний день самый мощный и позволяет решить почти все виды математических и не только задач.

АЛГОРИТМ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА КООРДИНАТ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАЧАЧ СВОДИТСЯ К СЛЕДУЮЩЕМУ

1. Выбираем в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат и наглядности изображения.

2. Находим координаты необходимых для нас точек.

3. Решаем задачу, используя основные задачи метода координат.

4. Переходим от аналитических соотношений к геометрическим.














I.Основные формулы:

1.Расстояние между точками А(hello_html_2a334f2a.gifhello_html_2a334f2a.gif, hello_html_26d68355.gifhello_html_26d68355.gif),Вhello_html_1e363dc2.gifhello_html_1e363dc2.gif, hello_html_m4af2462c.gifhello_html_m4af2462c.gif) равно hello_html_mfdeb14f.gifhello_html_mfdeb14f.gif=hello_html_m23ec41ab.gifhello_html_m23ec41ab.gif.

2.Угол между плоскостями. Если β-угол между плоскостями, заданными уравнениями hello_html_2fb6ee27.gifhello_html_2fb6ee27.gif х+hello_html_255bc410.gifhello_html_255bc410.gifz+hello_html_4e705e6f.gifhello_html_4e705e6f.gif =0 и hello_html_171f973.gifhello_html_171f973.gif х+hello_html_19c947be.gifhello_html_19c947be.gifz+hello_html_m5af11157.gifhello_html_m5af11157.gif =0, то

hello_html_39b39c11.gifhello_html_39b39c11.gif.

3.Расстояние от точки до плоскости. Если ρ- расстояние от точки hello_html_m15e4049.gifhello_html_m15e4049.gif(hello_html_m6bf6cefc.gifhello_html_m6bf6cefc.gif, hello_html_3c4e9d38.gifhello_html_3c4e9d38.gif), до плоскости hello_html_m201e99ae.gifhello_html_m201e99ae.gif х+hello_html_m1d902d5f.gifhello_html_m1d902d5f.gifz+D =0,то

ρ=hello_html_m3a3e4f88.gifhello_html_m3a3e4f88.gif.

4.Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точкиhello_html_6847d017.gifhello_html_6847d017.gif(hello_html_2a334f2a.gifhello_html_2a334f2a.gif, hello_html_26d68355.gifhello_html_26d68355.gif),hello_html_m56c710c4.gifhello_html_m56c710c4.gif(hello_html_m4c63b503.gifhello_html_m4c63b503.gif, hello_html_m4af2462c.gifhello_html_m4af2462c.gif),hello_html_m718879ff.gifhello_html_m718879ff.gif(hello_html_m2866750a.gifhello_html_m2866750a.gif, hello_html_4784287d.gifhello_html_4784287d.gif), в координатной форме:

hello_html_m7067ecc8.gifhello_html_m7067ecc8.gif=0;

5. Если отрезок, концами которого служат точки А(hello_html_2a334f2a.gifhello_html_2a334f2a.gif, hello_html_26d68355.gifhello_html_26d68355.gif),Вhello_html_1e363dc2.gifhello_html_1e363dc2.gif, hello_html_m4af2462c.gifhello_html_m4af2462c.gif) разделен точкой С(х, у,hello_html_85860e2.gifhello_html_85860e2.gif) в отношении λ, то координаты точки С определяются по формулам

Х = hello_html_m1f654606.gifhello_html_m1f654606.gif ; у=hello_html_be3022e.gifhello_html_be3022e.gif ; z=hello_html_m1fe53215.gifhello_html_m1fe53215.gif.
























Расстояние между скрещивающимися прямыми


Задание 14 (вариант 13 ЕГЭ, Ф. Ф. Лысенко) [5]

В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 4, точка M является серединой отрезка BC1.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через прямую АМ, параллельную прямой А1В.

б) Найдите расстояние между прямыми А1В и АМ

hello_html_57a631c6.png

а) В плоскости грани АА1В1В через точку А проведем прямую, параллельную А1В. Q и K- точки пересечения этой прямой соответственно с прямыми А1В1 и ВВ1. Прямая КМ пересекает ребро ВС в точке N, а ребро B1C1 – в точке S. Отрезок SQ пересекает ребро

A1 D1 в точке Т.

Четырехугольник ATSN образует искомое сечение, так как все его вершины лежат в плоскости QSK, которая проходит через АМ и прямую АК, параллельную А1В и, следовательно, (QSK)││ А1В.

б) Введем систему координат. Ребро куба равно 4. Значит координаты точек:

А(4;0;0); М(2;4;2); К(4;4;-4); А1(4;0;4); В(4;4;0)

АМ лежит в плоскости сечения, которое параллельно прямой А1В. Значит за расстояние между прямыми А1В и АМ можно взять расстояние от любой точки, лежащей на А1В до плоскости сечения. Составим уравнение плоскости АМК: А(4;0;0); М(2;4;2); К(4;4;-4)

Уравнение плоскости ax+by+cz+d=0

Подставим координаты точек А, М и К в общее уравнение плоскости.



Отсюда уравнение плоскости имеет вид


x


3x+y+z-12=0 Отсюда {3;1;1} нормальный вектор плоскости.

Найдем расстояние

1В, АМ)= == (Формула расстояния от точки до плоскости) [2]


























Расстояние от точки до плоскости


(Работа ЕГЭ, математика 2013)

Задача

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 2, боковые ребра равны 1, точка D – середина ребра СС1. Найдите расстояние от вершины С до плоскости ADB1

hello_html_34737f87.png

Введем систему координат. Тогда

А (0;0;0) В (0;2;1)

D (;1;0,5) С (;1;0)

hello_html_m108efcc.png

Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки А (0;0;0), D (;1;0,5) и

В (0;2;1) в координатной форме имеет вид: = 0 [3]


= = 0

Или x+2z-x-y=0

-y+2z=0

y-2z=0 в этом уравнении

ax+bx+cz+d=0

a=d=0

b=

c=-2

{0; нормальный вектор плоскости.

Расстояние находим по формуле из учебника Л. С. Атанасян «Геометрия 10-11» [2]

ρ=(C, ADB1) = , где C (;C (;

ρ=(C, ADB1) = = = = =





Расстояние от точки до плоскости


Задание С2 (ЕГЭ 2013, И. В. Ященко) [6]


Радиус основания конуса равен 9, а его высота 12. Плоскость сечения конуса содержит его вершину и хорду основания, длина которой равна 10. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.


Эту задачу я решил тремя вариантами чтобы сравнить возможности координатно-векторного метода с другими.


Вариант 1.

hello_html_m6f6d0753.png

hello_html_70b98b9b.png hello_html_m4bec3d7.png

ОК====2;

SK===10

=10*SP

SP===;

ОР2=SP*PK=

ОР=


Вариант2

Рассмотрим объем пирамиды OASB

VOASB=SAOB*OS=**10*2*12=


SOASB=SASB*OP


SASB*OP=*OP=


OP=


Вариант 3 (координатно-векторный метод)

hello_html_m31cc8e16.png


Введем систему координат

А(-5;2;0); В(5; 2

Найдем уравнение плоскости ABS. Общее уравнение имеет вид: ax+by+cz+d=0


Следовательно уравнение плоскости: 0x -

+-1=0


O(0;0;0) найдем расстояние [2]


ρ(0;ABS)=



























Угол между плоскостями


Задание 14 (ЕГЭ 2016, Ф.Ф. Лысенко, вариант 31) [5]

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 4.

а) Докажите что угол между прямыми AD1 и DC1 равен 90о;

б) Найдите угол между плоскостями FAC1 и AA1D

hello_html_6c92f4af.png

Введем систему координат, тогда точки будут иметь координаты:

A(4;0;0); D(-4;0;0); D1(-4;0;4); C1(-2;-2;4)

1{-8;0;4}; 1{2;2;4}

1*1=-16+16=0

Скалярное произведение векторов равно 0, следовательно вектора перпендикулярны

AD1 DC1, а значит угол равен 90о

hello_html_302338fc.png

б) Найдем угол между плоскостями FAC1 и AA1D

Составим уравнения плоскостей ax+by+cz+d=0 – общее уравнение плоскости

F(2;2;0); A(4;0;0); C1(-2;-2;4)

2a+2b+0c+d=0

4a +d=0

-2a-2b+4c+d=0






1{;нормальный вектор плоскости FAC1.


Составим уравнение плоскости AA1D [2]

A(4;0;0); A1(4;0;4); D(-4;0;0)


a=d=0; с=0; b-любое, пусть b=1. Уравнение y=0.


2{0;1;0}-нормальный вектор плоскости AA1D


====

Угол =arccos



























Угол между прямыми

Задание 14 ( Вариант 7 ЕГЭ, Ф.Ф. Лысенко) [5]


В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник со сторонами AB=8, BC=15. Боковые ребра SB=6, SC=3, SA=2.


а) Докажите, что SB – высота пирамиды.

б) Найдите угол между SD и AC.

hello_html_2f225761.png

SB плоскости ABCD т.к. SB BC и SB AB

9*33=225+72 верно

136=64+72 верно

Следовательно SB-высота.

б) Введем систему координат A(8;0;0); С(0;15;0); D(8;15;0); S(0;0; 6)

{-8;15;0}, {8;15;- 6}

== [2]

Отсюда =


Площадь сечения.


Задание 14. (Вариант 20 Лысенко 2016) [5]


Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF равна 6. Боковое ребро наклонено к основанию под углом 60˚. Через меньшую диагональ основания АС проведено сечение, которое пересекает высоту пирамиды в точке, удаленной от основания на расстояние .

а) Докажите что это сечение перпендикулярно противоположному к АС боковому ребру пирамиды SE.

б) Найдите площадь сечения.

Введем систему координат: ось ОХ т О и середина AF, ось OY-OE

Построим сечение: АС разделим пополам - точка М.

hello_html_d89908c.png

На OS отложим ОР= и соединим МР до пересечения с SE в точке Т, точка К – лежит на SR, где R середина ОЕ. Продолжим АС и FE точка Q, соединим Q c T, точка N точка пересечения QT и SF.

hello_html_m7e1d24ce.png

Координаты точек: S(0;0;6); Е(0;6;0); Р(0;0;); М(0;-3;0). Тогда {0;-3;-}

{0;-6;6}, отсюда *=0+18-18=0, то есть .

А(3;-3;0); C(-3;-3;0); {-6;0;0}; *=0+0+0=0

перпендикулярно двум прямым АС и РМ, которые пересекаются в М и лежат в плоскости сечения. Отсюда перпендикулярно плоскости сечения, что и требовалось доказать.

б) Начертим треугольник OSE. В этом треугольнике SEO=60˚; OS=6; ОЕ=6, значит PS=5, S=30˚; ST=7,5; Т1Е=2,25

hello_html_m8201fd4.png

Найдем координаты точки К как точки пересечения прямой МР и SR, PMO=30˚; tgPMO=; отсюда уравнение прямой МР→z=; tgORS==2;

Прямая SRz=-2y+6

; =; +=; =;

у=; у=; ордината точки К есть

Площадь сечения найдем как площадь проекции МК1Т1N1A, что представляет собой трапецию МК1N1А и треугольник К1Т1N1, тогда абсцисса точки К1 будет

S трапеции=*h; SМК1N1А=*МК1=;

S∆К1Т1N1=*

½ S проекции сечения=+=

; Тогда площадь половины сечения будет:

:=; где =cos30˚; Откуда площадь всего сечения S=.





Мною рассмотрены ряд разнообразных задач по стереометрии как по нахождению разных величин, так и различных стереометрических тел: призмы, пирамиды, конус. Я просмотрела весь задачник по ЕГЭ 2016 года под редакцией Ф.Ф.Лысенко и постаралась взять из сборника различные задачи. Их решение поможет при подготовке и выполнении ЕГЭ профильного уровня учащимся 11 класса









ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ


1.Агачев П.Е. Курс высшей математики. Для заочных техникумов.1970, М:, Высшая школа, 539с.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф..Геометрия 10-11,2014,М.: Просвещение,256с.

3. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. 1973. М:. Наука.,870с.

4..Глаголев Н.А. Элементарная геометрия: стереометрия для 10-11 кл. ср. шк. В 2 ч.-М.: просвещение-ч.2

5..Лысенко Ф.Ф. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2016: учебно-методическое пособие.- Ростов-на Дону: Легион-М., 2015 .

6. Ященко И.В. Математика 2012 М.: Астрель 2012-(ФИПИ)

7. Интернет ресурсы:

http: //ru.wikipedia/org/wiki/pi



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 23.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Тесты
Просмотров300
Номер материала ДБ-130592
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх