Урок - лекция "Обучение способам решения уравнений"

8. замена суммы  произведением.         A   -   B  =  X         A  +   В  =  У                                       А =  -B=                              B =		15.   в  12.  Sin(A+B) + Sin(A-B) = 2   sin  A     * cos   B           Sin Y       + Sin X   =    2 sin * cos (- )			7. замена  произведения  суммой       12. sin A* cos B  =   Вывод 12: 26.   3. Sin(A+B) = sinA* cosB + cosA* sinB + 4. Sin(A-B) = sinA* cosB - cosA* sinB    Sin(A+B) + Sin(A-B) = 2 sinA* cosB  15. Sin(A+B) -  Sin(A-B) = 2 sinВ* cosА
		16.в 13    Cos (A – B) + Cos (A + B) =2 cos   A  * cos    B         Cos    X        + Cos    Y      = 2Cos*Cos (- )
9.   Универсальная подстановка		17. в 14. Cos (A – B) - Cos (A + B) = 2  sin    A     *sin     B     Cos   X     –  Cos    Y        =  2 Sin *Sin (-) = - 2 Sin *Sin
		18. Sin X - Sin Y = 2 sin * cos
4. формулы понижения степени		5. формулы понижения степени			13. cos A* cos B =
10. 1 + cos 2A = = 2cos2A Вывод 10: cos2A+ sin2A+ cos2A- sin2A= =	11. 1 – cos2 A = = 2sin2A Вывод 11: cos2A+ sin2A -cos2A+ sin2A= =	23.  Sin3A = 22.  Cos3A=	6. Основные формулы: Sin2A + cos 2 A =1   tg A * ctg A=1 tg A =       ctg A = 1 + tg2 A = 1 + ctg A =		Вывод 13:
					+            1.  cos (A-B) = cos A* cos B + sinA*sin B          2.  cos (A+B) = cos A* cos B - sinA*sin B         Cos (A – B) + Cos (A + B) =2 cos A* cos B
2. формулы двойного угла   9.tg2A =  tg(A+A)=		3. формулы тройного угла
					14. sinA*sin B =
8. sin 2A = Sin(A+A) = sinA* cosA +cosA* sinA = = 2sin AcosA					-   Вывод 14:          1.  cos (A-B) = cos A* cos B + sinA*sin B          2.  cos (A+B) = cos A* cos B - sinA*sin B           Cos (A – B) -  Cos (A + B) =2 sinA*sin B
7 . Cos 2A=  cos (A + A) = cos A* cos A -  sinA*sin A =    =cos2A- sin2A
А (cos A;sinA)                  В (cosB; sinB)     ÐA                                      ÐB О     OA{cosA; SinA}                   OB{cosB; sinB}		1.  формулы суммы и разности.
		5. tg(A+B)=                                   6.  tg(A-B) = 3   Sin(A+B) = sinA* cosB +cosA* sinB                   4.  Sin(A-B) = sinA* cosB - cosA* sinB			Вывод 1:   1. cos (A-B) = cos A* cos B + sinA*sin B
					1.OA* OB = | OA|*| OB|*cos (A-B) =                     =   1    *   1    * cos (A-B)  2.OA* OB = cos A* cos B + sinA*sin B;  3.           1 = 2  4. cos (A-B) = cos A* cos B + sinA*sin B
		Вывол 3:  Sin(A+B) = cos (p/2  - (A+B))= cos ( (p/2 - A) –B) =
		= cos (p/2 - A) * cos B + sin(p/2 - A) *sin B                         =                A  * cos B  +                A  *sin B
		1.   cos (A-B)   = cos A* cos B + sinA*sin B
		2.  cos (A+B) = cos A* cos B - sinA*sin B
		Вывод 2: cos (A+B) = cos (A - (-B)) =                         =  cos A* cos(-B) + sinA*sin (-B) = cos A* cos B - sinA*sin B

12. sin A* cos B   =

13. cos A* cos B  =

14. sinA*sin B    =

8. замена суммы  произведением.

16. Sin X + Sin Y    =   2 sin * cos 17. Cos X + Cos Y  =  2CosCos 18. Cos X – Cos Y  =  -2Sin *Sin 19. Sin X - Sin Y     =    2 sin * cos

                                             Лист   56                        Формулы  решения  простейших тригонометрических уравнений 

Решение уравнения    sin x = a |a|≤1  Общая формула решения Х= (-1)n arcsin a + πn, n € Z

Решение уравнения    cos x = a |a|≤1  Общая формула решения Х= ±arccos a +2 πn, n € Z

Решение уравнения   tg x = a  Общая формула решения Х= arctg a + πn, n € Z

Решение уравнения   ctg x = a  Общая формула решения Х= arcctg a + πn, n € Z

1.       Угол АОМ  это  главный угол решения   и  он равен          arcsin a 2.       Угол АОР равен           π - arcsin a   1.        Угол АОL  это  главный угол решения   и  он равен          arcsin a 2.       Угол АОK равен           π - arcsin a

1.Угол АОМ  это  главный угол решения   и  он равен          arccos a 2.Угол АОN равен            - arccos a

1.Угол АОA1 это  главный угол решения   и  он равен          arctg a

1.Угол АОA1 это  главный угол решения   и  он равен          arcctg a

Если n =2к,то Х= arcsin a +2 π к,к € Z Первая  серия корней

Если n =2к+1,то Х= π - arcsin a +2 π к, к € Z Вторая серия корней

Х= arccos a +2 πк,к € Первая  серия корней

Х= -arccos a +2 πк,к € Z Вторая серия корней

X= arctg a + πn,n € Z

X= arcctg a + πn,n € Z

sin Х = -1 Х= -π/2+2πn, n€Z

sin Х  = 0 x=πn, n€Z

sin Х= 1 Х= π/2+2πn, n€Z

Cos x = -1 Х= π+2πn, n€Z

Cos x = 0 X= π/2 +πn,n€Z

Cos x=1 X=2πn, n€Z

tg x =-1 x= -π/4 +πn

tg x =0 x=πn

tg x =1 x= π/4+πn

ctg x =-1 x= 3π/4 +πn

ctg x =0 x=π/2+πn

tg x =1 x= π/4+πn

Если на отрезке I  из области определения функции   функция возрастает или убывает, то уравнение f(x)=0 на отрезке I имеет  единственный корень.                               arcsin (-a) = - arcsin a

Если на отрезке I  из области определения функции   функция возрастает или убывает, то уравнение f(x)=0 на отрезке I имеет  единственный корень. 1                                   arccos (-a)= p - arccos a

Если на отрезке I  из области определения функции   функция возрастает или убывает, то уравнение f(x)=0 на отрезке I имеет  единственный корень. arctg (-а) = - arctg а

Если на отрезке I  из области определения функции   функция возрастает или убывает, то уравнение f(x)=0 на отрезке I имеет  единственный корень. arcctg (-а)=π- arcctgа

Лист 37. 10   ТПО    Формулы приведения.

1.Формулы, первое слагаемое которых   П/2  вертикаль Рассмотрим треугольники   ОКМ и  OLP в них: Угол  КОМ  - это a точка  М (ОК;КМ) Угол КОР - это  П /2 +a  точка P (ОР;ОL)=( -KM;+OK) a π/2 +a Вывод SIN SIN (П /2 +a)=+ cos a COS COS (П /2 +a)= -Sin a tg tg (П /2 +a)= -ctg a ctg Ctg (П /2 +a)= -tg a 5.   стр.200   Формулы приведения: 1.Если числовое слагаемое содержит p /2 четное число раз,  то  название функции не меняется; нечетное—меняется на кофукцию.  2. Знак в правой части ставится таким ,  каков  знак  у левой, считая    буквенное  слагаемое острым углом. или «Лошадиное правило» 1.Надо ли менять название?  Киваем сверху вниз       да.     p /2     3p /2    Слева - направо              нет        p       2p      2. Знак в правой части ставится таким ,  каков  знак  у левой, считая    буквенное  слагаемое острым углом	2.  Формулы, первое слагаемое которых   π/2 В вод SIN(π /2 - a)= SIN(π /2 +(-a))=   +  cos(-a)=  =cosa COS(π /2 -a)= Sina tg(π /2 -a)=ctga Ctg (π /2 - a)=tga
	4.Формулы, первое слагаемое которых  π  горизонталь Вывод SIN(П  - a)= SIN(П   +(-a))=   -  Sin (-a)=  =  SIN a COS(П  -a)= tg(П  -a)= ctg(П  -a)=
	Формулы, первое слагаемое которых   П. Рассмотрим треугольники   АОМ и  AСP в них: Угол  АОМ  - это a  точка М Угол АОР - это  П  +a  точка Р a Π+a Вывод SIN SIN(Π+a)= COS COS(П  +a)= tg tg (П  +a)= ctg ctg(П  +a)=

                           Лист 10  ТПО  Способы решения  тригонометрического уравнения.    Презентация.

1.             Приведение тригонометрического уравнения к алгебраическому виду, т. е. к уравнению, содержащему тригонометрическую функцию одного наименования относительно одного и того же аргумента.     & 231 c.179(1-3)                                                            &202 Решается введением новой переменной. Формулы   одного аргумента. sin2x + 2 sin x – 3 = 0   Пусть  sin x = t ,      -1  < t  <  1	«Законы» тригонометрических уравнений: •Увидел   формулы приведения - упрости.   &28(1) ·         Увидел сумму - преврати в произведение;                                                                          &28 c.215(1-2) ·         Увидел произведение  – преврати в сумму. ·         Универсальная подстановка.        &31 (1-2)	2.Однородное уравнение  1 порядка.                                                            & 233 c.181(6-7) Решается делениеv на  cos x, которое 0 быть не может. Почему?
Решение:		решение
6.Используй формулы двойного угла.   Sin 6x – Cos 3x = 0	4. Увидел квадрат – понижай степень.                            Решение	3. Однородное уравнение  2  порядка                                                     & 233 c.184(8-9) a sin2x + b sinx* cosx + c cos2x=0 Решается деление на  cos 2x, которое 0 быть не может. Почему?
		Решение.
5. Решение.		5. Неполное однородное уравнение 2 порядка                        & 232 c.180(4-5)      a sin2x +b sinx* cosx = 0 Решается разложением на множители.
7.  a  Sin x +   b cos x = с.    &30 c.220 (1-2)     Решается  введением вспомогательного  угла.                                          Решение                a  Sin x +   b cos x = с      Sin (x+) =  или   cos(x+)=			Пример

Решить сведением к однородному уравнению. 14)   4  Sin2X + 7 cos 2x  =  1		Решить понижением степени. 14)   4  Sin2X + 7 cos 2x  =  1
Решить сведением к неполному  квадратному уравнению. 14)   4  Sin2X + 7 cos 2x  =  1

                 Ю.С. Савченко  «Опорные конспекты по математике» Школьнику, учителю, абитуриенту.

5. связь функций одного угла

Sin2A + cos 2 A =1               tg A * ctg A=1    tg A =                 ctg A = 1 + tg2 A =     1 + ctg A =

Нам четырех стихий приязненно господство,

Но создал пятую свободный человек.

Не отрицает ли пространства превосходства

Сей целомудренно построенный ковчег?

Сердито лепятся капризные медузы,

Как плуги, брошены, ржавеют якоря;

И вот разорваны трех измерений узы,

И открываются всемирные моря.

                     (Осип Мандельштам).

Ю.С. Савченко  «Опорные конспекты по математике» Школьнику, учителю, абитуриенту. Домашняя работа. Узнай тип уравнения и укажи способ его решения. Реши любые 5 из них.

Технологическая карта конструирования урока
с использованием средств ТСО и раздаточного материала.       Набор формул, который уже есть у каждого ученика.

Предмет, класс				10 класс (социально-экономический и физический профили).Алгебра и начала анализа. 15 января 2010 года РМО учителей математики.
Тема урока, № урока по теме				Способы решения тригонометрических уравнений. 1-2
Актуальность использо­вания средств ТСО и раздаточного материала				Наглядность, доступность большого объема материала, возможность перехода от теории к практике, иллюстративность.
Цели урока	обучающие									развивающие	воспитательные
	Рассмотрение методов решения тригонометрических уравнений. Обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы «Тригонометрия».									Формировать приемы:  сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию. Развивать кругозор, мышление, речь, внимание, память.	Прививать интерес к математике.
Вид используемых на уроке средств ТСО компьютер, Мультимедийный  проектор.										раздаточный дидактический материал: ·    лист 56  (имеется у каждого ученика) ·    15 (вывешен в классе на  стенд) ·    Карточки с набором уравнений (выдана каждому для работы дома)   ·    Лист 15 ТПО (выдан каждому для работы в классе во время лекции).  ·     карточки (выдана каждому для работы с новым материалом во время изучения темы)
Этап 1         .                    1.  Тема урока  1 слайд  попробуйте ее угадать.  Правильно. Способы решения тригонометрических уравнений.
Задачи	2.  А что я знаю об  уравнении?
Длительность этапа		2-3 минуты
Основной вид деятельности со средствами ТСО					Проекция на доску вопросов для  повторения.
Форма организации деятельности уча­щихся					Устная коллективная работа.
Функции и основные виды деятельности преподавателя на данном этапе								Устная коллективная работа, организованная учителем.
Промежуточный вывод					Мы научились решать простейшие уравнения, можем нарисовать их решения на круге. Выучили тригонометрические формулы. Настал момент истины. Учимся решать трудные уравнения.
Этап 2
Задачи	3. Лист 10             Способы решения тригонометрических уравнений.
Длительность этапа		35  минут
Основной вид деятельности со средствами ТСО			Ссылка на  лист 10 ТПО «способы решения уравнений»,  который раздается каждому ученику, и будет служить опорой для дальнейшей работы. Проекция листа 15 на доску.
Форма организации деятельности уча­щихся						Работа с листом ТПО листа 10, который выдан каждому ученику.
Функции и основные виды деятельности преподавателя на данном этапе							Лекция. В ходе ее необходимо показать, что новый материал  расширит   знания по теме  «Уравнения».  Используем презентацию.
Промежуточный контроль						Вопросы, проверяющие понимание изученного материала.
Этап 3  проходит параллельно второму.
Задачи		Работа по списку уравнений параллельно лекции,
Длительность этапа		5 минут
Основной вид деятельности с раздаточным материалом.						Узнать тип уравнения
Форма организации деятельности уча­щихся						Записи в ТПО  вместе с теми, кто работает на доске.
Функции и основные виды деятельности преподавателя на данном этапе									Рассказ.
Промежуточный контроль						Вопросы, проверяющие понимание изученного материала.
Этап 4
Задачи	Итог урока.
Длительность этапа		5 минут
Основной вид деятельности со средствами ИКТ										Проекция на доску заданий для работы дома.
Форма организации деятельности уча­щихся										Уравнения трудны тем, что они не поддаются алгоритмизации (отработка домашней работы). Дома. Узнай тип уравнения и реши любые 5 из них.
Функции и основные виды деятельности преподавателя на данном этапе

Набор уравнений каждому ученику класса для работы с новым материалом во время изучения темы.

 14)   4  Sin²X + 7 cos 2x  =  1

14)   4 Sin2 x + 7 Cos 2 x = 1	14) 4 Sin2 x + 7 Cos 2 x = 1	14) 4 Sin2 x + 7 Cos 2 x = 1
14) 4 Sin2 x + 7 Cos 2 x = 1	14) 4 Sin2 x + 7 Cos 2 x = 1	14) 4 Sin2 x + 7 Cos 2 x = 1
14) 4 Sin2 x + 7 Cos 2 x = 1	14) 4 Sin2 x + 7 Cos 2 x = 1	14) 4 Sin2 x + 7 Cos 2 x = 1

У каждого есть такая карточка, в которой он работает. Обсуждение фронтально вслух, без выхода к доске.

15. связь функций одного угла	1. формулы суммы и разности.	Вывод	2-4  формулы двойного  угла
Sin2A + cos 2 A =1   tg A * ctg A=1    tg A =      ctg A = 1 + tg2 A = 1 + ctg A =	cos (A+B) = cos A* cos B + sinA*sin B cos (A+B) = cos A* cos B -  sinA*sin B Sin(A+B) = sinA* cosB   +  cosA* sinB              Sin(A-B) = sinA* cosB    -   cosA* sinB    tg(A+B)=                           tg(A-B) =		sin2A = 2sin A*cosA Cos 2A=  cos2A- sin2A 1 + cos 2A = 2cos2A 1 – cos 2A = 2sin2A
7. замена  произведения  суммой.		8. замена суммы  произведением.
12. sin A* cos B   = 13. cos A* cos B  = 14. sinA*sin B    =		16. Sin X + Sin Y    =    2 sin * cos 17. Cos X + Cos Y  =  2CosCos 18. Cos X – Cos Y  =  -2Sin *Sin 19. Sin X - Sin Y     =     2 sin * cos

1.                   Что называется уравнением?

2.                   Что значит решить уравнение?

3.                   А что такое корень уравнения?

4.                   А  какие уравнения вы знаете?

5.                   Мы продолжаем  учиться  решать    тригонометрические уравнения.  И уже научились решать простейшие из них. Лист 56     Давайте проверим.

6.                    Можете ли вы назвать уравнения, корни которых нарисованы.

Частные случаи.

7.    Мы научились решать простейшие уравнения, можем нарисовать их решения на круге. Выучили тригонометрические формулы. Настал момент истины. Учимся решать трудные уравнения.

• 1 слайд

  И я выхожу из пространства
  В запущенный сад величин,
  И мнимое рву постоянство
  И самосогласье причин.
  И твой, бесконечность, учебник
  Читаю один, без людей—
  Безлиственный, дикий лечебник, —
  Задачник огромных корней.
   
  Осип Мандельштам.
  Итак. Тема нашего урока…………………
  Лист 10
  

• 2 слайд

  Что я знаю об уравнении
  

• 3 слайд

  Нам четырех стихий приязненно господство,
  Но создал пятую свободный человек.
  Не отрицает ли пространства превосходства
  Сей целомудренно построенный ковчег?
  Сердито лепятся капризные медузы,
  Как плуги, брошены, ржавеют якоря;
  И вот разорваны трех измерений узы,
  И открываются всемирные моря.
  (Осип Мандельштам).
  

• 4 слайд

  1.Приведение тригонометрического уравнения к алгебраическому виду.
  
  
  sin2x + 2 sin x – 3 = 0
  Пусть sin x = t , -1 < t < 1
  

• 5 слайд

• 6 слайд

  2.Однородное уравнение 1 порядка.
  a Sin x + b cos x = 0
  Решается делением на cos x,которое нулем быть не может. Почему?
  
  

• 7 слайд

  
  
  Решается делением на cos 2x, которое 0 быть не может. Почему?
  
  3. Однородное уравнение 2 порядка
  a sin2x +b sinx* cosx +c cos2x=0
  

• 8 слайд

  a sin2x +b sinx* cosx +c cos2x=0
  

• 9 слайд

  Пусть tg x = t
  
  

• 10 слайд

  4. Увидел квадрат – понижай степень.
  

• 11 слайд

• 12 слайд

  5. Неполное однородное уравнение 2 порядка.
  a sin2x +b sinx* cosx = 0
  
  Решается разложением на множители.
  

• 13 слайд

  a sin2x +b sinx* cosx = 0
  

• 14 слайд

  6.Используй формулы двойного угла.
  
  Sin 6x – Cos 3x = 0
  

• 15 слайд

• 16 слайд

• 17 слайд

  a Sin x + b cos x = с.
  
  Решается введением вспомогательного угла
  

• 18 слайд

• 19 слайд

• 20 слайд

• 21 слайд

• 22 слайд