Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок-лекция по теме: «Логарифмическая функция, её свойства и график»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок-лекция по теме: «Логарифмическая функция, её свойства и график»

библиотека
материалов

hello_html_2c40eaa2.gifhello_html_m1273f392.gifhello_html_m59d412b6.gifhello_html_m2df885c5.gifhello_html_m2df885c5.gifhello_html_m2df885c5.gif











Урок-лекция по теме:

«Логарифмическая функция, её свойства и график»











Работу выполнил:

Учитель МБОУ ПШ № 2 с. Петровка

Позыченюк В.А.





Тип урока: урок-лекция.

Учебник: Алгебра и начало анализа: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др.- 11-е изд.-М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

Учебная задача урока: сформировать у школьников представления о логарифмической функции как модели процессов реальной действительности, выявить ее свойства, вид графика.

Диагностируемые цели: в результате урока ученик:

знает определение логарифмической функции, свойства логарифмической функции, основу доказательств свойств, вид графика в зависимости от основания логарифмической функции;

понимает связь между логарифмической и показательной функцией;

умеет доказывать свойства логарифмической функции; применять определение логарифмической функции, свойства логарифмической функции при решении практических заданий; выполнять задания на чтение графика логарифмической функции.

Методы обучения: метод эвристической беседы, частично-поисковый.

Средства обучения: мел, доска, учебник, ручки, тетради, канва-таблица.

Форма работы: фронтальная.

Структура урока: I. Мотивационно-ориентировочный этап (10 мин);

II. Операционально-познавательный этап (30 мин);

III. Рефлексивно-оценочный этап (5 мин).

Ход урока.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

I. Мотивационно-ориентировочная часть.

Актуализация.

№ 4, № 5 – номера из домашнего задания. До начала урока один из учеников оформляет № 4 на доске, другой № 5.

1. Решить уравнение

1).hello_html_22da66ac.gif




2). hello_html_m2f63b65.gif




- Чем вы пользовались при решении данных уравнений?

-Сформулируйте его

Решение:

1). hello_html_m61da1417.gif

hello_html_6df12461.gif

Ответ: х = 256

2). hello_html_m6b50c649.gif

hello_html_64568ba7.gif

hello_html_6a27c80d.gif

Ответ: hello_html_6a27c80d.gif

-Определением логарифма.


- Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, ahello_html_m530e5cb2.gif1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b.

- Какие особые логарифмы вы знаете?

- Какой логарифм называется десятичным?

- Какой логарифм называется натуральным?


- Десятичный и натуральный.

- Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lg b.

- Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e – иррациональное число, приближенно равное 2,7 и пишут lnb

2. Вычислить:

1). hello_html_31c2a504.gif













-Чем вы пользовались при выполнении задания?

2). hello_html_47873d04.gif



-Чем вы пользовались при выполнении задания?

-Запишите его в символьном виде

Решение:

1). hello_html_384ff53b.gif

hello_html_m5082ec58.gif

hello_html_m2f875971.gif

hello_html_m7beb3f21.gif

Ответ: hello_html_m7beb3f21.gif

-Определением логарифма и свойством степени с действительным показателем.

2). hello_html_2ad1145b.gif


-Основным логарифмическим тождеством


hello_html_5e1e5c0c.gif

3. Решить неравенство:

1). hello_html_mafa33fb.gif










2). hello_html_m3cffa284.gif



















-Чем вы пользовались при решении данных неравенств?

-Сформулируйте определение показательной функции.

Решение:

1). hello_html_mafa33fb.gif

Функция hello_html_1e3a382d.gifвозрастает на всей области определения функции, тогда:

hello_html_4c3e057c.gif

hello_html_14f7ee86.gif

hello_html_f87ca86.gif

Ответ: x > 2.

2). hello_html_m3cffa284.gif

Функция hello_html_m6b41b9f5.gif убывает на всей области определения функции, тогда:

hello_html_6da15e99.gif

hello_html_m1710cefd.gif

hello_html_m5911f33e.gif



Ответ: hello_html_m77f99898.gif


-Свойством показательной функции


-Показательной функцией называется функция hello_html_e5fb066.gif, где hello_html_m8f522f9.gif– заданное число, hello_html_m750707d2.gif.

4. Построить график функции:

1). hello_html_6837dea9.gif
























2). hello_html_m44256b97.gif

Решение:

1). hello_html_6837dea9.gif

х

0

1

-1

2

-2

y

1

3

hello_html_7f8f9891.gif

9

hello_html_m218a2db.gif



1. D(x): xhello_html_559182c5.gifR

2. E(x): y>0

3. Если x=0, hello_html_5ed7af08.gif

График пересекает ось ОУ в т. (0;1)

4. y>0 на всей области определения R

5. Функция возрастает на всей области определения

6. Функция общего вида

7. Функция hello_html_m2545fd3d.gif

8. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения

2). hello_html_m20129a12.gif

х

0

1

-1

2

-2

y

1

hello_html_6eec8aff.gif

2

hello_html_685d8d49.gif

4



1. D(x): xhello_html_559182c5.gifR

2. E(x): y>0

3.Если x=0, hello_html_5ed7af08.gif

График пересекает ось ОУ в т. (0;1)

4. y>0 на всей области определения R

5. Функция убывает на всей области определения

6. Функция общего вида

7. Функция hello_html_5142fa64.gif

8. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения

5. Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной.

hello_html_m302b2693.gif















-Какими функциями являются:
= hello_html_m659b3d55.gif и = hello_html_7e83a437.gif?

-Как связаны области определения и множества значений взаимно обратных функций?

Решение:

ООФ: hello_html_5c14b35.gif

МЗФ: hello_html_74cbbfb1.gif

Находим обратную функцию:

hello_html_m242f74c5.gif

hello_html_3550baaa.gif

Меняем местами x и y, получаем функцию:

hello_html_m1adcd780.gif

ООФ: hello_html_m40825bf5.gif

МЗФ: hello_html_m5ef41f66.gif


-Взаимно обратными


-Область определения обратной функции совпадает с множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции.

Мотивация.

Давайте сделаем небольшое отступление и подумаем: а могут ли логарифмы как-то применяться в нашей повседневной жизни?

Вопрос: Если идти все время на северо-восток, то куда придешь?

Обычно на этот вопрос отвечают так: обойду земной шар и вернусь в точку начала пути.

Но этот ответ неверен. Ведь идти на северо-восток - это значит постоянно увеличивать восточную долготу и северную широту, и вернуться в более южную точку мы не сможем.

Ответ: Рано или поздно мы попадем на северный полюс.

При этом путь, который мы пройдем, будет иметь вид логарифмической спирали.

На рисунке вы можете видеть этот путь так, как мы увидели бы его, смотря на земной шар со стороны северного полюса

Логарифмическая спираль описывается уравнением r=aф, где r – расстояние от точки, вокруг которой закручивается спираль (ее называют полюсом), до произвольной точки на спирали, ф – угол поворота относительно полюса, а – постоянная.

Спираль называется логарифмической, т.к. логарифм расстояния (logar) возрастает пропорционально углу поворота ф.

Произвольный луч, выходящий из полюса спирали, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом

Логарифмическая спираль не изменяет своей природы при многих преобразованиях, к которым чувствительны другие кривые. Сжать или растянуть эту спираль – то же самое, что повернуть ее на определенный угол.

Если вращать спираль вокруг полюса по часовой стрелке, то можно наблюдать кажущееся растяжение спирали.

Если вращать спираль вокруг полюса против часовой стрелки, то можно наблюдать кажущееся сжатие спирали.

Впервые о логарифмической спирали говорится в письме французского математика Рене Декарта в 1638 г.

Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал логарифмическую спираль математическим символом жизни

В природе логарифмическая спираль встречается довольно часто

Например, раковины многих моллюсков закручены именно по этой спирали, чтобы не сильно вытягиваться в длину.

Также логарифмическую спираль можно увидеть в рогах архара (горного козла).

В подсолнухе семечки расположены по дугам, очень близким к логарифмической спирали.

По логарифмическим спиралям закручены многие галактики, в частности, галактика, которой принадлежит Солнечная система

Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.

Хищные птицы кружат над добычей по логарифмической спирали. Дело в том, что они лучше видят, если смотрят не прямо на добычу, а чуть в сторону.


- Наверное.




- Откуда начали идти, туда и придём.

C:\WINDOWS\Profiles\Parkan\Application Data\Microsoft\Media Catalog\Копия (2) sk001.gif

















C:\WINDOWS\Profiles\Parkan\Application Data\Microsoft\Media Catalog\Копия log_spiral.gif

-Мы ввели понятие логарифма положительного числа по положительному и отличному от 1 основанию а. Вы просмотрели презентацию и убедились в том, что логарифмы описывают многие процессы реальности.

Постановка цели урока:

Но тогда следует подумать и о логарифмической функции, о ее графике и свойствах. Этим мы и займемся. Запишем тему урока.

Тема: «Логарифмическая функция, её свойства и график».

II.Содержательная часть.

Далее все записи, которые осуществляются учителем на доске, фиксируются учениками в канву-таблицу.

-Рассмотрим логарифмическую функцию hello_html_b2af081.gif

Какие ограничения у основания логарифмической функции?



- Сформулируем определение логарифмической функции.



1. a>0

2. a1

Т.к. логарифм существует только при таких а.


- Логарифмической называется функция hello_html_b2af081.gif, где а – заданное число, a>0, a1

- Далее рассмотрим свойства логарифмической функции.

1. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел.

Это свойство следует непосредственно из определения логарифма.

(Записывается в канву-таблицу)

Задание № 1.

Какие из данных функций являются логарифмическими

1). hello_html_m17f0de.gif

2). hello_html_m868a2a1.gif


3). У hello_html_1ca53898.gif











4). у hello_html_5cd1825b.gif


5). уhello_html_m13301104.gif




x > 0


hello_html_m26cc849f.gif



Решение:

1). hello_html_2eb2d669.gif, условие не выполняется, следовательно, это не логарифмическая функция.


2). hello_html_5a0983c0.gif, условия выполняются, это логарифмическая функция.

3). hello_html_22991ce5.gif

Область определения этой функции не множество всех положительных чисел.

Если заменить х – 1 = t, получим функцию hello_html_m1a546abd.gif , область определения которой t>0 – эта функция будет являться логарифмической.

4). hello_html_m7f821cda.gif, последнее условие не выполняется, это не логарифмическая функция

5). Нет. По основному логарифмическому тождеству, мы получим функцию:

hello_html_3f826b2f.gif- линейная функция.

2. Множество значений логарифмической функции – множество R всех действительных чисел.

Док-во:

Из определения логарифма следует, что для любого действительного числа b есть такое положительное число x, что hello_html_29ac45d.gif.

-Как мы решаем такие уравнения?

-Всегда ли существует его корень?

-Следовательно, каково множество значений логарифмической функции?









(Записывается в канву-таблицу)









-По определению логарифма, hello_html_16c06b46.gif

-Да, т.к. hello_html_m72b70b14.gif


-Множество всех действительных чисел.

hello_html_735dca9.gif

3. Логарифмическая функция hello_html_b2af081.gif является возрастающей на промежутке x>0, если a>1, и убывающей, если 0<a<1.

Док-во:

Нам надо доказать, что если hello_html_m2a55d41d.gif, то hello_html_m25b878b4.gif, т.е. hello_html_m3bb2e4f6.gif


- Воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

- Воспользуемся свойством степени с действительным показателем.






- Во втором случае основание степени 0<a<1, что происходит со знаком?


(Записывается в канву-таблицу)


-На практике чаще всего вы будете пользоваться обратной теоремой: если a>1 и
hello_html_m3bb2e4f6.gif, где hello_html_m7e74f6a1.gif, то hello_html_60d582c5.gif;

Если 0<a<1 и hello_html_m3bb2e4f6.gif, где hello_html_m7e74f6a1.gif, то hello_html_6ec60b35.gif


Проведем обратную цепочку рассуждений.







(Записывается в канву-таблицу).





Доказательство:

1. Пусть a>1. По основному логарифмическому тождеству

hello_html_m3d64cf6a.gif

hello_html_m7049bf7e.gif

hello_html_m2a55d41d.gif

hello_html_m5882fecc.gif

hello_html_m3bb2e4f6.gif ( по свойству степени с основанием hello_html_7db4e636.gif )

2. Пусть 0<a<1

По основному логарифмическому тождеству:

hello_html_m2a55d41d.gif

hello_html_m5882fecc.gif

- Знак изменится на противоположный.

hello_html_73b36ed3.gif(по свойству степени c основанием 0<a<1)











Доказательство:

Пусть а>1 и logax1<logax2, тогда hello_html_m3307e61.gif( по свойству степени)

x1<x2 (по основному логарифмическому тождеству).

Пусть 0<a<1 и logax1<logax2, тогда hello_html_5e91c8ad.gif (по свойству степени)

x1>x2 (по основному логарифмическому тождеству).

4. Нули функции:

- Если х = 1, чему будет равен логарифм?

- Таким образом, график функции всегда пересекает ось Ох в точке (1;0)







(Записывается в канву-таблицу).


- hello_html_44970de6.gif

hello_html_fd0fa8e.gif

5. Ограниченность.

- Функция не ограниченна ни сверху, ни снизу.

- Но, существует вертикальная асимптота - ось Оу. Таким, образом график функции располагается правее оси Оу и не пересекает её.



(Записывается в канву-таблицу).

hello_html_7941395e.gif

6. Промежутки знакопостоянства.

1. При а > 1, функция hello_html_m630d7d11.gif принимает положительные значения при x>1, отрицательные при 0<x<1.





2. При.0<a<1, функция hello_html_m630d7d11.gif принимает положительные значения при 0<x<1, отрицательные при x>1.


Док-во:

1. Это следует из того, что функция hello_html_m14f0b41.gif при х = 1, у = 0.

При а >1 функция является возрастающей. Поэтому на промежутке x > 1 принимает положительные значения. А на промежутке 0<x<1 принимает отрицательные значения.

2. Это следует из того, что функция hello_html_m14f0b41.gif при х = 1, у = 0.

При 0<а<1 функция является убывающей. Поэтому на промежутке x > 1 принимает отрицательные значения. А на промежутке 0<x<1 принимает положительные значения.

(Записывается в канву-таблицу).

hello_html_4287c116.gif

hello_html_6a6e45dd.gif

7. Чётность/нечётность.

- Является функцией общего вида.


8. Схематичное изображение графика.

- Построим два графика логарифмических функций.

hello_html_m12180c75.gif

х

1

2

½

у

0

1

-1






и hello_html_m48c25372.gif

х

1

2

½

у

0

-1

1


hello_html_m28a44fff.gif

hello_html_4d2b839a.gif

- Рассмотрим одновременно две функции: показательную у = ах и логарифмическую у = logaх.

- При каких условиях существует показательная функция?

- Вспомните, какая область определения и какое множество значений у показательной функции. И сравните эти данные с областью определения и множеством значений логарифмической функции.

- Какую закономерность вы видите?







- При a>0, a1


hello_html_77b08173.gif

hello_html_m7b9877a7.gif

1. D(x): R

D(x): x>0

2. E(x): x>0

E(x): R



- Область определения показательной функции совпадает с множеством значений логарифмической функции, а множество значений логарифмической функции совпадет с областью определения показательной.

- Какое понятие связывает такие функции?

- Таким образом, логарифмическая функция hello_html_m7b9877a7.gif и показательная функция hello_html_77b08173.gif, где a>0, ahello_html_m530e5cb2.gif1, взаимно обратны.

- Действительно, решая уравнение hello_html_m7f99f0c4.gif относительно х, получим, что х = hello_html_51ea148b.gif. Меняем местами х и у, получаем функцию у = hello_html_m318a1675.gif.

-На доске уже построена функцияhello_html_m1a06fc3b.gif. Теперь построим функциюhello_html_20d91592.gif

- Относительно какой прямой симметричны графики этих функций?

- Поэтому необязательно строить графики обеих функций. Достаточно построить график одной функции и отобразить его относительно прямой у = х.

- Сделаем это на примере построения графиков ф-ций hello_html_m20129a12.gif и hello_html_171dec0c.gif


- На доске уже построена функция hello_html_m20129a12.gif. Построим график функции hello_html_171dec0c.gif отобразив график функции относительно прямой у = х.

- Понятие обратной функции.



hello_html_5da38120.png


- Относительно прямой у = х.


hello_html_m79605ef.png

III. Рефлексивно-оценочная часть.

- Какова была цель урока?


- Достигли ли вы ее?

- Как вы ее достигли?



- А также связь между какими функциями вы рассмотрели?

- Что это за связь?



Домашнее задание:

§18. № 318 (1, 4), №319 (1, 4), №321, №374.

- Рассмотреть логарифмическую функцию, её график и свойства.

- Да.

- Сформулировали определение логарифмической функции, рассмотрели по уже известной схеме все свойства функции, построили её график.

- Между показательной и логарифмической функциями.

- Логарифмическая и показательная функции взаимно обратны.


Канва-таблица.

hello_html_m7b9877a7.gif, a>0, a1

Свойства:

1. Область определения: x>0

hello_html_7a81560.gif

2. Множество значений: R

hello_html_m4edcf8fd.gif

3. Монотонность:

a>1

функция возрастает при х >0


0<a<1

Функция убывает при х>0

если x1<x2, то logax1 < logax2

Док-во:

По основному логарифмическому тождеству

hello_html_m3d64cf6a.gif

hello_html_m7049bf7e.gif

hello_html_m2a55d41d.gif

hello_html_m5882fecc.gif

hello_html_m3bb2e4f6.gif( по свойству степени с основанием hello_html_7db4e636.gif)

если x1<x2, то logax1 > logax2

Док-во:

По основному логарифмическому тождеству:

hello_html_m3d64cf6a.gif

hello_html_m7049bf7e.gif

hello_html_m2a55d41d.gif

hello_html_m5882fecc.gif

hello_html_73b36ed3.gif(по свойству степени с основанием 0<a<1)

3’. Обратная теорема:

если logax1<logax2, то x1 < x2

если logax1<logax2, то x1 > x2

  1. Если х = 1, то hello_html_44970de6.gif

График пересекает ось: Ox в т. А (1 ; 0)

  1. График не пересекает ось: Oy

6. a > 1

0

0

y<0

x > 1

y>0

0

y>0

x > 1

y<0

hello_html_d063882.gif

hello_html_7524c9ca.gif

7. График функции.

hello_html_m12180c75.gif

х

1

2

½

у

0

1

-1

hello_html_m1692368a.gif

hello_html_m48c25372.gif

х

1

2

½

у

0

-1

1

hello_html_103d2ca8.gif


hello_html_m7b9877a7.gif, a>0, a1

Свойства:

1. Область определения:

hello_html_m5d671ccb.gif

2. Множество значений:

hello_html_m395a361b.gif

  1. Монотонность:

a>1

функция возрастающая


0

Функция убывающая

если x1<x2, то logax1 logax2

Док-во:








если x1<x2, то logax1 logax2

Док-во:








3’. Обратная теорема:

если logax1<logax2, то x1 x2

если logax1<logax2, то x1 x2.

  1. Если х = 1, то hello_html_44970de6.gif

График пересекает ось: в т. А (1 ; )

  1. График не пересекает ось:

6. a > 1

0

0

y 0

x > 1

y 0

0

y 0

x > 1

y 0

hello_html_6ca18d50.gif

hello_html_6ca18d50.gif

7. График функции.

hello_html_m59dbb6b5.gif









hello_html_m13669bb5.gif

hello_html_m2df75b84.gif









hello_html_4a6a8593.gif



Самостоятельная работа.

Вариант 1.

1). Найти область определения функции:

hello_html_m1da04764.gif

2). Сравните числа:

hello_html_m4b069208.gifи hello_html_49d368fa.gif

hello_html_m76207958.gifи hello_html_3aab3ad6.gif

3). Решите неравенства:

hello_html_m3062ab27.gif

hello_html_m1cd185f4.gif

4). Построить график функции, найти её область определения и множество значений:

hello_html_7d01e9a8.gif


Вариант 2.

1). Найти область определения функции:

hello_html_m613099c7.gif

2). Сравнить числа:

hello_html_m4e2de799.gifи hello_html_m7e4ef08a.gif

hello_html_4290f360.gifи hello_html_4bfd597e.gif

3). Решить неравенства:

hello_html_m12b93eb.gif

hello_html_m4a98a231.gif

4). Построить график функции, найти её область определения и множество значений:

hello_html_m726d1d4e.gif


Вариант 3.

1). Найти область определения функции:

hello_html_m3b0565d.gif

2). Сравните числа:

hello_html_62cf419e.gifи hello_html_5dda42cf.gif

hello_html_12c91910.gifhello_html_m1bda5ff4.gif

3). Решить неравенства:

hello_html_m33b21862.gif

hello_html_5a699887.gif

4). Построить график функции, найти её область определения и множество значений:

hello_html_1da4e4a6.gif


Вариант 4.

1). Найти область определения функции:

hello_html_m299592bc.gif

2). Сравните числа:

lg 4 и lg 6

hello_html_2506f18b.gifи hello_html_3d912a1c.gif

3). Решить неравенства:

hello_html_m1fb68dbb.gif

hello_html_290a1723.gif

4). Построить график функции, найти её область определения и множество значений:

hello_html_55496d70.gif

Краткое описание документа:

Учебная задача урока: сформировать у школьников представления о логарифмической функции как модели процессов реальной действительности, выявить ее свойства, вид графика.

Диагностируемые цели: в результате урока ученик:

знаетопределение логарифмической функции, свойства логарифмической функции, основу доказательств свойств, вид графика в зависимости от основания логарифмической функции;

понимаетсвязь между логарифмической и показательной функцией;

умеетдоказывать свойства логарифмической функции; применять определение логарифмической функции, свойства логарифмической функции при решении практических заданий; выполнять задания на чтение графика логарифмической функции.

Методы обучения: метод эвристической беседы, частично-поисковый.

Средства обучения: мел, доска, учебник, ручки, тетради, канва-таблица.

Форма работы: фронтальная.

Структура урока: I. Мотивационно-ориентировочный этап (10 мин);

II. Операционально-познавательный этап (30 мин);

 

III. Рефлексивно-оценочный этап (5 мин).

Автор
Дата добавления 14.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров510
Номер материала 297413
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх