Урок-лекция по теме «Логарифмические уравнения.

 Основные методы их решения»

Работу выполнила учитель математики высшей категории Курылева Э. Р.

МОУ «СОШ № 42» г. Воркуты Республики Коми.

             В моём календарно-тематическом планировании на тему «Логарифмические уравнения» отводится 3 часа. Я их разбиваю следующим образом:

1 возможный вариант:

1урок - лекция «Логарифмические уравнения. Основные методы их решения». В конце лекции задаю блок уравнений обязательного уровня.

2 урок – решение уравнений различного типа и сложности (это зависит от уровня математической подготовки класса, использую индивидуальный подход).

3 урок – решение уравнений и  зачётная работа с само- и взаимопроверкой, а также проверкой учителем.

2 возможный вариант:

1урок - лекция «Логарифмические уравнения. Основные методы их решения», но только два метода – на основании определения и потенцирования. Решение уравнений на применение этих методов.

2 урок – лекция «Логарифмические уравнения. Основные методы их решения», два других метода – подстановки и логарифмирования. Решение уравнений на применение этих методов.

3 урок – решение уравнений и  зачётная работа с само- и взаимопроверкой, а также проверкой учителем.

Вариант подачи темы зависит от подготовленности класса.

1 урок.

Лекция «Логарифмические уравнения. Основные методы их решения». 

Слайд 1.

            Эпиграфом  своей сегодняшней лекции я привожу слова Ричарда Олдингтона (1892 – 1962гг., английский поэт, прозаик, критик): «Ничему тому, что важно знать, научить нельзя, - всё, что может сделать учитель, это указать дорожки».

Слайд 2.

А так же – русскую народную пословицу: «Кто говорит – тот сеет, кто слушает – тот собирает».

            В самом начале моей лекции я хотела бы обратить ваше внимание на следующее. При решении логарифмических уравнений применяют преобразования, которые не приводят к потере корней, но могут привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней обязательна, если нет уверенности в равносильности уравнений. Здесь возможны два подхода:

1.      Проверка путём подстановки полученных решений в исходное уравнение.

2.      Нахождение области допустимых значений уравнения (ОДЗ). Тогда корнями могут быть только те числа, которые принадлежат этой области.

В своей лекции я буду использовать оба этих подхода, а ваше право уже самим выбирать, какой лично вам больше нравится. Следует отметить, что при решении логарифмических неравенств возможен только один из них: ОДЗ!

Основные методы решения логарифмических уравнений.

Слайд 3.

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.  

1.      Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма.

Определение логарифма: Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b. Т. е.

Таким образом, применяя его к нашей теме, мы получим следующее:

при этом

Пример 1:

Число 16 удовлетворяет ОДЗ,

значит 16 – корень исходного уравнения.

Ответ: 16.

Слайд 4.

Пример 2:

Проверка:    - верно, значит число 4 – корень исходного уравнения.

Ответ: 4.

Пример 3: 

По определению логарифма  значит

Ответ:

Слайд 5.

А сейчас мы рассмотрим пример, в котором в основании логарифма уже не число, а выражение, содержащее переменную. Т. е. уравнение будет иметь вид при этом  Хочу отметить особо, что рассуждения НЕ ИЗМЕНИЛИСЬ!

Пример 4:

                  ОДЗ:.

С учётом ОДЗ получим, что решением данного уравнения является число 2.

Ответ: 2.

            Как мы видим, наличие выражения с переменной  в основании влияет лишь на ОДЗ, а не на ход рассуждений. Кроме того, данное уравнение можно решать,  не прибегая к нахождению ОДЗ, а просто в конце выполнить проверку.

2.      Метод потенцирования.

Слайд 6.

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их.

, где

Пример 5:

Проверка:

 - верно.

 - не верно.

Значит, только число 1 является решением исходного уравнения.

Ответ:1.

Слайд 7.

Если же в основании – выражение с переменной, то рассуждения не меняем! В этом случае уравнение будет иметь вид

, где         

И пример такого уравнения можно разобрать на предыдущем примере 5.

Пример 6:

 Проверка:

 - верно.

 - не верно.

Значит, только число 1 является решением исходного уравнения.

Ответ:1.

ОДЗ для данного уравнения выглядит следующим образом:

            Мы видим, что в этом уравнении рациональнее выполнить проверку, а не искать ОДЗ. Но ещё раз повторюсь, что при решении неравенств ОДЗ находить придётся ОБЯЗАТЕЛЬНО.

            Рассмотрим пример, который, на первый взгляд, не может относиться к данному типу уравнений.

Слайд 8.

Пример7: 

Сделаем замену , получим

воспользовавшись свойством логарифма (сумма логарифмов равна логарифму произведения подлогарифмических выражений: ), получим уравнение которое в свою очередь замечательно решается методом потенцирования, т. е.

 А это линейное  уравнение, решив которое, получим

Проверка:  - верно.

Ответ: 0.

Замечу, что часто перед применением какого-либо метода решений, необходимо преобразовать уравнение, применив различные свойства логарифмов. Предыдущий пример, тому подтверждение.

3.      Метод подстановки.

Слайд 9.

Данный метод мы достаточно часто встречаем в математике, вспомните тригонометрические или показательные уравнения. Поэтому применение его при решении логарифмических уравнений я вам покажу на примере.

Пример 8: .

В этом уравнении рациональней найти ОДЗ:

Пусть , тогда уравнение примет вид

,

Значит    или . А это уравнения, которые мы решим, используя определение: 1)

2)

Мы видим, что оба корня удовлетворяют ОДЗ, значит оба числа являются решениями исходного уравнения.

Ответ:

Слайд 10.

Если в основании логарифма лежит выражение с переменной, то уравнение в общем виде будет выглядеть следующим образом:

, где

И опять, вы сами выбираете: ОДЗ или проверка.

Пример 9:  .

ОДЗ:

Приведём логарифмы к одному основанию – 7, пользуясь свойством перехода к новому основанию ,  получим:

, выполним подстановку , получим уравнение

,

Значит,                   или                            .

Оба числа удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

4.      Метод логарифмирования.

Слайд 11.

Данный метод является «обратным» методу потенцирования, т. е. мы от уравнения без логарифмов переходим к уравнению, их содержащему.

, при этом

Этот метод обычно используется, если в уравнении есть показательные функции, логарифмы – в показателе. Рассмотрим этот метод на примере.

Пример 10: 

ОДЗ:

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

 а теперь воспользуемся свойством логарифмов , получим

Выполним подстановку , получим уравнение

Значит,                   или                            .

Оба числа удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 3, 27.

Этот пример показывает, что при решении логарифмических уравнений, возможна комбинация нескольких методов. А значит необходимо уметь пользоваться каждым из них. Научиться этому – теперь ваша задача.

Слайд 12.

Итак, сегодня мы с вами рассмотрели основные методы решения логарифмических уравнений:

1.      На основании определения логарифма.

2.      Метод потенцирования.

3.      Метод постановки.

4.      Метод логарифмирования.

Главным, по моему мнению,  является метод, основанный на определении логарифма. Практически в каждом их других методов происходит «выход» на него. Кроме того, на примерах мы увидели, что все методы взаимосвязаны, в «чистом» виде при решении уравнений не используется ни один из них. Поэтому вам необходимо уметь пользоваться КАЖДЫМ!

Для отработки навыков решения логарифмических уравнений, я вам предлагаю следующее домашнее задание. Уравнения являются базовыми, т. е. решать их должен уметь решать каждый. Отмечу, что подборка сделана из открытого банка заданий для экзамена по математике ЕГЭ http://mathege.ru .

Замечание: домашнее задание распечатано на листах для каждого ученика.

Слайд  13.

2, 3 урок

Решение задач по теме «Логарифмические уравнения». Зачёт.

Уравнения (примерные, зависит от математической подготовки учащихся).

Подборка уравнений к уроку, зачёту проводится на сайтах www.fipi.ru , http://mathege.ru , http://mathus.ru/ , http://reshuege.ru/ ,  http://www.math.md/school/praktikum/logr/logr.html (Виртуальная школа юного математика).

Тест к зачёту.

Литература.

1.      А.Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбурд  Алгебра и начала анализа 10-11 класс. -  М.: Просвещение, 2005.

2.      Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и другим формам выпускного и вступительного экзаменов/сост. Г. И. Ковалёва, Т. И. Бузулина, О. Л. Безрукова, Ю. А., Ю. А. Розка –Волгоград:Учитель, 2007.

3.      С. А. Шестакова, П. И. Захаров. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С1. Уравнения и системы уравнений. Под редакцией А. Л. Семёнова и И. В. Ященко - Москва,  изд. МЦНМО, 2013.

4.      Открытый банк заданий по математике  http://mathege.ru.

5.      Образовательный портал для подготовки к экзаменам Дмитрия Гущина:  РЕШУ ЕГЭ по математике  http://reshuege.ru/.

6.      Сайт ФИПИ  www.fipi.ru.

7.      Сайт Виртуальная школа юного математика http://www.math.md/school/praktikum/logr/logr.html.