Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок-лекция по теме "Логарифмические уравнения. Основные методы их решения"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок-лекция по теме "Логарифмические уравнения. Основные методы их решения"

Выбранный для просмотра документ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ уравнения.doc

библиотека
материалов

Урок-лекция по теме «Логарифмические уравнения.

Основные методы их решения»



Работу выполнила учитель математики высшей категории Курылева Э. Р.

МОУ «СОШ № 42» г. Воркуты Республики Коми.





В моём календарно-тематическом планировании на тему «Логарифмические уравнения» отводится 3 часа. Я их разбиваю следующим образом:

1 возможный вариант:

1урок - лекция «Логарифмические уравнения. Основные методы их решения». В конце лекции задаю блок уравнений обязательного уровня.

2 урок – решение уравнений различного типа и сложности (это зависит от уровня математической подготовки класса, использую индивидуальный подход).

3 урок – решение уравнений и зачётная работа с само- и взаимопроверкой, а также проверкой учителем.

2 возможный вариант:

1урок - лекция «Логарифмические уравнения. Основные методы их решения», но только два метода – на основании определения и потенцирования. Решение уравнений на применение этих методов.

2 урок – лекция «Логарифмические уравнения. Основные методы их решения», два других метода – подстановки и логарифмирования. Решение уравнений на применение этих методов.

3 урок – решение уравнений и зачётная работа с само- и взаимопроверкой, а также проверкой учителем.

Вариант подачи темы зависит от подготовленности класса.





1 урок.

Лекция «Логарифмические уравнения. Основные методы их решения».

Слайд 1.

hello_html_m61cff41d.png



Эпиграфом своей сегодняшней лекции я привожу слова Ричарда Олдингтона (1892 – 1962гг., английский поэт, прозаик, критик): «Ничему тому, что важно знать, научить нельзя, - всё, что может сделать учитель, это указать дорожки».

Слайд 2.

hello_html_m7ff4e454.png

А так же – русскую народную пословицу: «Кто говорит – тот сеет, кто слушает – тот собирает».

В самом начале моей лекции я хотела бы обратить ваше внимание на следующее. При решении логарифмических уравнений применяют преобразования, которые не приводят к потере корней, но могут привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней обязательна, если нет уверенности в равносильности уравнений. Здесь возможны два подхода:

  1. Проверка путём подстановки полученных решений в исходное уравнение.

  2. Нахождение области допустимых значений уравнения (ОДЗ). Тогда корнями могут быть только те числа, которые принадлежат этой области.

В своей лекции я буду использовать оба этих подхода, а ваше право уже самим выбирать, какой лично вам больше нравится. Следует отметить, что при решении логарифмических неравенств возможен только один из них: ОДЗ!



Основные методы решения логарифмических уравнений.

Слайд 3.

hello_html_m578ce315.png

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

  1. Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма.

Определение логарифма: Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b. Т. е. hello_html_4c92fa77.gif

Таким образом, применяя его к нашей теме, мы получим следующее:

hello_html_739bef21.gifпри этом hello_html_mdb45b89.gif

Пример 1: hello_html_72947119.gif

hello_html_m191f2744.gif

hello_html_m1b864d0f.gif

hello_html_d399472.gif

Число 16 удовлетворяет ОДЗ,

значит 16 – корень исходного уравнения.

Ответ: 16.

Слайд 4.

hello_html_m7315b5e8.png

Пример 2: hello_html_40afafc2.gif

hello_html_m4d6e7b53.gif

hello_html_m25852c6b.gif

hello_html_54df4cb1.gif

Проверка: hello_html_1965c2.gifhello_html_13f15531.gifhello_html_20edd7fe.gif- верно, значит число 4 – корень исходного уравнения.

Ответ: 4.


Пример 3: hello_html_m4763b936.gif

По определению логарифма hello_html_297e1bc7.gif значит hello_html_7ad1d93.gif

Ответ: hello_html_ma018c41.gif

Слайд 5.

hello_html_m57d5675c.png

hello_html_m53d4ecad.gifА сейчас мы рассмотрим пример, в котором в основании логарифма уже не число, а выражение, содержащее переменную. Т. е. уравнение будет иметь вид hello_html_9775a78.gifпри этомhello_html_7db5c87a.gif Хочу отметить особо, что рассуждения НЕ ИЗМЕНИЛИСЬ!

Пример 4: hello_html_m6ac04096.gif

ОДЗ:hello_html_7f450833.gifhello_html_m272b9a6f.gifhello_html_3c4f4e73.gif.

hello_html_m6ac04096.gif

hello_html_m6b3f3c19.gif

hello_html_m151aac79.gif

hello_html_m7eb04ebf.gif

hello_html_2ac80fc5.gif

hello_html_mc63f357.gif

С учётом ОДЗ получим, что решением данного уравнения является число 2.

Ответ: 2.

Как мы видим, наличие выражения с переменной в основании влияет лишь на ОДЗ, а не на ход рассуждений. Кроме того, данное уравнение можно решать, не прибегая к нахождению ОДЗ, а просто в конце выполнить проверку.



  1. Метод потенцирования.



Слайд 6.

hello_html_17d67d10.png

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их.

hello_html_3d7342fd.gifhello_html_m272b9a6f.gifhello_html_m4201ff9c.gif, где hello_html_m15d26e9e.gif

Пример 5: hello_html_m74e01882.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_60a1246f.gif

hello_html_m600362ca.gif

hello_html_4dd46ee0.gif

Проверка:

hello_html_5f7eabfb.gifhello_html_m272b9a6f.gifhello_html_m3ba1d61c.gifhello_html_m272b9a6f.gifhello_html_48a184.gif- верно.

hello_html_m65d5f2a.gifhello_html_m272b9a6f.gifhello_html_6790ed24.gifhello_html_m272b9a6f.gifhello_html_2aa2da16.gif- не верно.

Значит, только число 1 является решением исходного уравнения.

Ответ:1.

Слайд 7.

hello_html_m572e8710.png

Если же в основании – выражение с переменной, то рассуждения не меняем! В этом случае уравнение будет иметь вид

hello_html_m946daea.gifhello_html_m272b9a6f.gifhello_html_m4201ff9c.gif, где hello_html_5e1089fb.gif

И пример такого уравнения можно разобрать на предыдущем примере 5.

Пример 6: hello_html_m5e226759.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_60a1246f.gif

hello_html_m600362ca.gif

hello_html_4dd46ee0.gif

Проверка:

hello_html_5f7eabfb.gifhello_html_m272b9a6f.gifhello_html_m6239fe43.gifhello_html_m272b9a6f.gifhello_html_54250d5b.gifhello_html_m272b9a6f.gifhello_html_46d69d0b.gif- верно.

hello_html_m65d5f2a.gifhello_html_m272b9a6f.gifhello_html_m1de36048.gifhello_html_m272b9a6f.gifhello_html_m69a9d35b.gif- не верно.

Значит, только число 1 является решением исходного уравнения.

Ответ:1.

ОДЗ для данного уравнения выглядит следующим образом:

hello_html_m7d637206.gif

Мы видим, что в этом уравнении рациональнее выполнить проверку, а не искать ОДЗ. Но ещё раз повторюсь, что при решении неравенств ОДЗ находить придётся ОБЯЗАТЕЛЬНО.

Рассмотрим пример, который, на первый взгляд, не может относиться к данному типу уравнений.

Слайд 8.

hello_html_m5097a129.png



Пример7: hello_html_71a1b206.gif

Сделаем замену hello_html_5fe65c1d.gif, получим hello_html_1751d43d.gif

воспользовавшись свойством логарифма (сумма логарифмов равна логарифму произведения подлогарифмических выражений: hello_html_m420d2972.gif), получим уравнение hello_html_m73a6364.gifкоторое в свою очередь замечательно решается методом потенцирования, т. е.

hello_html_4d1f594.gifА это линейное уравнение, решив которое, получим hello_html_5760e244.gif

Проверка: hello_html_m58a0e6af.gifhello_html_1b75ac16.gifhello_html_7043ea66.gif - верно.

Ответ: 0.

Замечу, что часто перед применением какого-либо метода решений, необходимо преобразовать уравнение, применив различные свойства логарифмов. Предыдущий пример, тому подтверждение.



  1. Метод подстановки.



Слайд 9.

hello_html_4806d1e1.png

Данный метод мы достаточно часто встречаем в математике, вспомните тригонометрические или показательные уравнения. Поэтому применение его при решении логарифмических уравнений я вам покажу на примере.

Пример 8: hello_html_6381fb63.gif.

В этом уравнении рациональней найти ОДЗ: hello_html_m76f770e1.gif

Пусть hello_html_7c3ce397.gif, тогда уравнение примет вид

hello_html_m6bf399d7.gif,

hello_html_m543ae5bf.gif

hello_html_1dda38ac.gif

Значит hello_html_7ae2f00b.gif или hello_html_m573445a8.gif. А это уравнения, которые мы решим, используя определение: 1) hello_html_7ae2f00b.gifhello_html_m272b9a6f.gifhello_html_m4d17f2d6.gifhello_html_m272b9a6f.gifhello_html_8370358.gif

2) hello_html_m573445a8.gifhello_html_m272b9a6f.gifhello_html_mc9ac5e4.gifhello_html_m272b9a6f.gifhello_html_3124bd8b.gif

Мы видим, что оба корня удовлетворяют ОДЗ, значит оба числа являются решениями исходного уравнения.

Ответ: hello_html_m56235c98.gif

Слайд 10.

hello_html_7a2fab3.png

Если в основании логарифма лежит выражение с переменной, то уравнение в общем виде будет выглядеть следующим образом:

hello_html_41767d8c.gif, где hello_html_587c2de6.gif

И опять, вы сами выбираете: ОДЗ или проверка.

Пример 9: hello_html_m42f248e6.gif.

ОДЗ:hello_html_67ec7dd7.gif

Приведём логарифмы к одному основанию – 7, пользуясь свойством перехода к новому основанию hello_html_m6d7bc845.gif, получим:

hello_html_7fbe3f82.gif, выполним подстановку hello_html_m7fd750da.gif, получим уравнение

hello_html_4c5680b9.gif,

hello_html_3711c402.gif

hello_html_66233ccb.gif

Значит, hello_html_11a55f76.gif или hello_html_23cb3c6b.gif.

hello_html_28b8a2a4.gifhello_html_60f341cc.gif

hello_html_1c2e70ca.gifhello_html_m25aa0c29.gif

Оба числа удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: hello_html_m6353c1d.gif



  1. Метод логарифмирования.



Слайд 11.

hello_html_38531fa9.png

Данный метод является «обратным» методу потенцирования, т. е. мы от уравнения без логарифмов переходим к уравнению, их содержащему.

hello_html_35744767.gif, при этомhello_html_5e1089fb.gif

Этот метод обычно используется, если в уравнении есть показательные функции, логарифмы – в показателе. Рассмотрим этот метод на примере.

Пример 10: hello_html_m6156c9e8.gif

ОДЗ: hello_html_67ec7dd7.gif

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

hello_html_32ffb3a8.gifа теперь воспользуемся свойством логарифмов hello_html_286456b2.gif, получим

hello_html_m40922b6e.gif

Выполним подстановку hello_html_5d977c62.gif, получим уравнение

hello_html_m75e78d40.gif

hello_html_6489d889.gif

hello_html_m51bc6757.gif

Значит, hello_html_f9a4eee.gif или hello_html_6a495d4f.gif.

hello_html_m1cae9d32.gifhello_html_m6cf233b6.gif

hello_html_m6e40248d.gifhello_html_m1c0e506f.gif

Оба числа удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 3, 27.

Этот пример показывает, что при решении логарифмических уравнений, возможна комбинация нескольких методов. А значит необходимо уметь пользоваться каждым из них. Научиться этому – теперь ваша задача.

Слайд 12.

hello_html_2fc765b3.png

Итак, сегодня мы с вами рассмотрели основные методы решения логарифмических уравнений:

  1. На основании определения логарифма.

  2. Метод потенцирования.

  3. Метод постановки.

  4. Метод логарифмирования.

Главным, по моему мнению, является метод, основанный на определении логарифма. Практически в каждом их других методов происходит «выход» на него. Кроме того, на примерах мы увидели, что все методы взаимосвязаны, в «чистом» виде при решении уравнений не используется ни один из них. Поэтому вам необходимо уметь пользоваться КАЖДЫМ!

Для отработки навыков решения логарифмических уравнений, я вам предлагаю следующее домашнее задание. Уравнения являются базовыми, т. е. решать их должен уметь решать каждый. Отмечу, что подборка сделана из открытого банка заданий для экзамена по математике ЕГЭ http://mathege.ru .

п/п

Уравнения

Комментарии

(даётся для слабых учащихся)

1

hello_html_2f588997.gif

Пользуясь определением

2

hello_html_m665ebeea.gif

Пользуясь определением

3

hello_html_1b8f7a68.gif

Потенциирование

4

hello_html_e0db524.gif

Потенциирование

5

hello_html_m378c89fe.gif

Потенциирование

6

hello_html_m7b6f9d.gif

Потенциирование

7

hello_html_21b78b31.gif

Применить свойства логарифмов и затем потенциировать

8

hello_html_m1ee12118.gif

Применить свойства логарифмов и затем потенциировать

9

hello_html_5441de27.gif

Пользуясь определением

10

hello_html_m4c91685a.gif

Пользуясь определением, выход на показательное уравнение

11

hello_html_40a0bbd0.gif

Показательное уравнение, выход на логарифмическое



Замечание: домашнее задание распечатано на листах для каждого ученика.

Слайд 13.

hello_html_m6c5bb255.png



2, 3 урок

Решение задач по теме «Логарифмические уравнения». Зачёт.

Уравнения (примерные, зависит от математической подготовки учащихся).

Обязательный уровень

Повышенный уровень

1

hello_html_338d77fa.gif

1

hello_html_m2e57fea6.gif

2

hello_html_m40395867.gif

2

hello_html_mc788d49.gif

3

hello_html_m6f94888f.gif

3

hello_html_3ef7e73d.gif

4

hello_html_md5e0d67.gif

4

hello_html_18c12f28.gif

5

hello_html_67ee7ed6.gif

5

hello_html_m8996874.gif

6

hello_html_m2ed237c4.gif

6

hello_html_m419cadf3.gif

7

hello_html_m70c33f6e.gif

7

hello_html_m50c78030.gif

8

hello_html_3e67dea8.gif

8

hello_html_m46143a9a.gif

9

hello_html_m376cee16.gif

9

hello_html_m64fff93b.gif. Найти все корни, принадлежащие отрезку hello_html_3a4e9984.gif. ЕГЭ, 2013

10

hello_html_m22e8a2bc.gif

10

hello_html_3101a536.gif. Найти все корни, принадлежащие отрезку hello_html_m6f55d821.gif. ЕГЭ, 2012.

11

hello_html_720e4062.gif

11

hello_html_28c597a3.gif

12

hello_html_m29513d85.gif

12

hello_html_m1f3c86f4.gif



Подборка уравнений к уроку, зачёту проводится на сайтах www.fipi.ru , http://mathege.ru , http://mathus.ru/ , http://reshuege.ru/ , http://www.math.md/school/praktikum/logr/logr.html (Виртуальная школа юного математика).



Тест к зачёту.

п/п

Задание

Ответ

1

Обязательный уровень

Найдите корень уравнения hello_html_18808d24.gif.


2

Найдите корень уравнения hello_html_59e14548.gif.


3

Найдите корень уравнения hello_html_m17dcc522.gif.


4

Найдите корень уравнения hello_html_m2cee983b.gif.


5

Найдите корень уравнения hello_html_m2c93f728.gif.


6

Найдите корень уравнения hello_html_761116e4.gif.


7

Найдите корень уравнения hello_html_m3abd6571.gif.


8

Найдите корень уравнения hello_html_65690b77.gif. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.


9

Найдите корень уравненияhello_html_m29aaa8e6.gif.


10

Найдите корень уравненияhello_html_32e612f5.gif 


11

Повышенный уровень

(решать по выбору)

Решить уравнение  log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3.

Развёрнутое решение

12

Решить уравнение log2x + 1(2x2 - 8x + 15) = 2.

13

Решить уравнение 16log4(1 - 2x) = 5x2 - 5.

14

Решить уравнение 2log3(x - 2) + log3(x - 4)2 = 0.

15

Решить уравнение log2x + log3x = 1.

16

Решить уравнение hello_html_m7f7682f7.gif

17

Решить уравнение hello_html_542be904.gif.

18

Решить уравнение hello_html_6085b133.gifНайти произведение корней.













Литература.

  1. А.Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбурд Алгебра и начала анализа 10-11 класс. - М.: Просвещение, 2005.

  2. Математика. Тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и другим формам выпускного и вступительного экзаменов/сост. Г. И. Ковалёва, Т. И. Бузулина, О. Л. Безрукова, Ю. А., Ю. А. Розка –Волгоград:Учитель, 2007.

  3. С. А. Шестакова, П. И. Захаров. ЕГЭ 2013. Математика. Задача С1. Уравнения и системы уравнений. Под редакцией А. Л. Семёнова и И. В. Ященко - Москва, изд. МЦНМО, 2013.

  4. Открытый банк заданий по математике http://mathege.ru.

  5. Образовательный портал для подготовки к экзаменам Дмитрия Гущина: РЕШУ ЕГЭ по математике http://reshuege.ru/.

  6. Сайт ФИПИ www.fipi.ru.

  7. Сайт Виртуальная школа юного математика http://www.math.md/school/praktikum/logr/logr.html.















Выбранный для просмотра документ Презентация к лекции.ppt

библиотека
материалов
Логарифмические уравнения. Основные методы их решения. Работу выполнила Курыл...
Ричард Олдингтон (1892 – 1962гг..) - английский поэт, прозаик, критик «Ничему...
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основани...
Проверка: Ответ: 4. Пример 3: Ответ: Пример 2:
Пример 4: ОДЗ: Ответ: 2.
2. Метод потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства,...
Пример 6: Проверка: верно. не верно Ответ: 1. ОДЗ:
 Пример 7: получим Проверка: Ответ: 0. верно
3. Метод подстановки. Пример 8: Ответ: ОДЗ: Пусть тогда Значит, или
Пример 9: Ответ: ОДЗ: Приведём логарифмы к одному основанию – 7: Подстановка:...
4. Метод логарифмирования. Пример 10: Ответ: 3; 27. ОДЗ: Пусть тогда Значит,...
Выводы: На основании определения логарифма. Метод потенцирования. Метод поста...
Спасибо за внимание! Удачи ! Успехов!
13 1

"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Логарифмические уравнения. Основные методы их решения. Работу выполнила Курыл
Описание слайда:

Логарифмические уравнения. Основные методы их решения. Работу выполнила Курылева Э. Р., учитель математики МОУ «СОШ № 42» г. Воркуты

№ слайда 2 Ричард Олдингтон (1892 – 1962гг..) - английский поэт, прозаик, критик «Ничему
Описание слайда:

Ричард Олдингтон (1892 – 1962гг..) - английский поэт, прозаик, критик «Ничему тому, что важно знать, научить нельзя, - всё, что может сделать учитель, это указать дорожки» «Кто говорит – тот сеет, кто слушает – тот собирает». Русская народная пословица

№ слайда 3 Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основани
Описание слайда:

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма. Определение логарифма: Пример 1: Ответ: 16.

№ слайда 4 Проверка: Ответ: 4. Пример 3: Ответ: Пример 2:
Описание слайда:

Проверка: Ответ: 4. Пример 3: Ответ: Пример 2:

№ слайда 5 Пример 4: ОДЗ: Ответ: 2.
Описание слайда:

Пример 4: ОДЗ: Ответ: 2.

№ слайда 6 2. Метод потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства,
Описание слайда:

2. Метод потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их. где Пример 5: Проверка: Ответ: 1. - верно - не верно

№ слайда 7 Пример 6: Проверка: верно. не верно Ответ: 1. ОДЗ:
Описание слайда:

Пример 6: Проверка: верно. не верно Ответ: 1. ОДЗ:

№ слайда 8  Пример 7: получим Проверка: Ответ: 0. верно
Описание слайда:

Пример 7: получим Проверка: Ответ: 0. верно

№ слайда 9 3. Метод подстановки. Пример 8: Ответ: ОДЗ: Пусть тогда Значит, или
Описание слайда:

3. Метод подстановки. Пример 8: Ответ: ОДЗ: Пусть тогда Значит, или

№ слайда 10 Пример 9: Ответ: ОДЗ: Приведём логарифмы к одному основанию – 7: Подстановка:
Описание слайда:

Пример 9: Ответ: ОДЗ: Приведём логарифмы к одному основанию – 7: Подстановка: Уравнение примет вид: Значит, или

№ слайда 11 4. Метод логарифмирования. Пример 10: Ответ: 3; 27. ОДЗ: Пусть тогда Значит,
Описание слайда:

4. Метод логарифмирования. Пример 10: Ответ: 3; 27. ОДЗ: Пусть тогда Значит, или

№ слайда 12 Выводы: На основании определения логарифма. Метод потенцирования. Метод поста
Описание слайда:

Выводы: На основании определения логарифма. Метод потенцирования. Метод постановки. Метод логарифмирования.

№ слайда 13 Спасибо за внимание! Удачи ! Успехов!
Описание слайда:

Спасибо за внимание! Удачи ! Успехов!

Краткое описание документа:

Данная разработка содержит конспект урока-лекции по математике в 11 классе, презентацию к нему и набор тематических заданий для отработки основных умений и навыков по теме. Лекция охватывает основные методы решения логарифмических уравнений:  на основании определения,  методы подстановки и потенциирования, метод логарифмирования. Она построена так, что возможна корреция её с учётом уровня математической подготовки  класса. Задания для классной и домашней работы разбиты на группы по уровню сложности (от базового до повышенного). Базовый уровень составлен на основе Открытого банка заданий для экзамена по математике. Разработка содержит тест для контроля усвоения знаний по теме.

Автор
Дата добавления 17.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров752
Номер материала 125844
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх