Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок математике в 11 классе. Применение производной

Урок математике в 11 классе. Применение производной

В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЮ ОТ ПРОЕКТА "ИНФОУРОК":
СКАЧАТЬ ВСЕ ВИДЕОУРОКИ СО СКИДКОЙ 86%

Видеоуроки от проекта "Инфоурок" за Вас изложат любую тему Вашим ученикам, избавив от необходимости искать оптимальные пути для объяснения новых тем или закрепления пройденных. Видеоуроки озвучены профессиональным мужским голосом. При этом во всех видеоуроках используется принцип "без учителя в кадре", поэтому видеоуроки не будут ассоциироваться у учеников с другим учителем, и благодарить за качественную и понятную подачу нового материала они будут только Вас!

МАТЕМАТИКА — 603 видео
НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА — 577 видео
ОБЖ И КЛ. РУКОВОДСТВО — 172 видео
ИНФОРМАТИКА — 201 видео
РУССКИЙ ЯЗЫК И ЛИТ. — 456 видео
ФИЗИКА — 259 видео
ИСТОРИЯ — 434 видео
ХИМИЯ — 164 видео
БИОЛОГИЯ — 305 видео
ГЕОГРАФИЯ — 242 видео

Десятки тысяч учителей уже успели воспользоваться видеоуроками проекта "Инфоурок". Мы делаем все возможное, чтобы выпускать действительно лучшие видеоуроки по общеобразовательным предметам для учителей. Традиционно наши видеоуроки ценят за качество, уникальность и полезность для учителей.

Сразу все видеоуроки по Вашему предмету - СКАЧАТЬ

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m155989aa.gifhello_html_mb552aa.gif


  1. При каких значениях а кривая hello_html_m755615ad.gif касается оси абсцисс?


Решение.

у = 0 (уравнение оси ОХ) – касательная к графику функцииhello_html_m755615ad.gif.
k = 0 – угловой коэффициент прямой у = 0. k = у' (х).

hello_html_22ae955b.gif

2 (x – 2)(x + 2) = 0

x = 2, х = -2 – абсциссы точек касания графика к оси ОХ.

у (2) = 0 и у (-2) = 0

hello_html_4ae67ff9.gif

hello_html_m1a100128.gif

hello_html_71a1dd51.gif

hello_html_68a4c2f1.gif

Ответ: кривая касается оси абсцисс при а = 32 и а = -32.


  1. Постройте график функции hello_html_m3c80e6d5.gif.


Решение.

  1. Область определения функции 1 + х ≥ 0; х ≥ -1.

D (y) = [-1;+∞).

  1. При х = 0, hello_html_m1afdf418.gif - график функции проходит через начало координат.

  2. При у = 0

hello_html_m29db7916.gifhello_html_m42cd4432.gif

x = 0 x = -1

0 и -1 – абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ.

  1. hello_html_498bda69.gif

hello_html_m28d344de.gif

  1. Найдем критические точки: у' (х) = 0.

hello_html_m46c00057.gif

hello_html_6edf2a32.gif

0 и -0,8 – внутренние точки области определения, значит они являются критическими.

-1 – не является критической точкой, т.к. она не является внутренней точкой области определения.

  1. Найдем промежутки возрастания и убывания функции.

Функция возрастает на промежутке, где f '(х) > 0.

hello_html_m5ac2d615.gif


hello_html_m2abe6e96.gif hello_html_6c5c2d88.gif

hello_html_308017d1.gif

hello_html_m6142a11d.gif

hello_html_11d300b8.gif

Функция возрастает на промежутке: (-1; -0,8) и (0; +∞) и убывает на промежутке (-0,8; 0).

-0,8 – точка мах

точки экстремума

0 – точка min

Найдем экстремумы функции

hello_html_m29758cef.gif

hello_html_55bb7c3f.gif

hello_html_m2440e915.gif



hello_html_m3c80e6d5.gif










  1. При каких значениях а уравнение hello_html_61684b16.gif имеет два решения?


Решение.

Решим это уравнение графически. Построим графики функции hello_html_m1192f075.gif и у = а.

D (y) = R – область определения симметричная относительно нуля.

hello_html_6ed310f0.gif

hello_html_66f53907.gif, значит функция ни четная, ни нечетная.

hello_html_m4cfb7c.gif

Найдем критические точки у' (х)=0.

3х2 + 6х – 9 = 0

3(х2 + 2х – 3) = 0

х 2 + 2х – 3 = 0

D = 4 – 4 (-3) = 4 + 12 = 16 > 0

hello_html_m337273b4.gif

Найдем промежутки возрастания и убывания функции. Функция возрастает на промежутках, где у'(х) > 0.

3х2 + 6х – 9 > 0

3(х2 + 2х – 3) > 0

(х – 1) (х + 3) > 0.

Отметим на координатной прямой нули функции

f (x) = (x – 1) (x + 3)

x = 1 x = -3.


hello_html_6fbd5699.gifу' (х) = 3х2 + 6х – 9

Функция возрастает на промежутках (-∞; -3) и (1; + ∞) и убывает на промежутках (-3; 1).

-3 – точка мах, hello_html_42c7e943.gif

1 – точка min hello_html_m5db38a3d.gif


hello_html_m379732dc.gif

Пересекая график функции прямыми у = а, получим следующие результаты:

  1. при а = 24 – два решения;

  2. при -8 < а < 24 – три решения;

  3. при а = -8 – два решения;

  4. при а > 24 – одно решение;

  5. при а < -8 – одно решение.

Ответ: два решения при а = 24 и а = -8.

  1. При каких значениях параметра а, функция у = (а + 2) х3 + 9ах – 2 убывает на R?


Решение

Функция убывает на R, если y' (х) < 0.

hello_html_3eb32a39.gif

hello_html_m78262dfe.gif

hello_html_m57222fc4.gif

hello_html_m57222fc4.gif при а + 2 <0 и D < 0

D = (2a)2 – 4(a + 2) ·3a = 4a2 – 12a2 – 24a = -8a2 – 24a = -8a (a + 3)

Решим систему неравенств:

hello_html_m77c6f246.gif

а (а + 3) > 0

а = 0 а = -3.


hello_html_m68bde7b1.gifhello_html_m6faaaa78.gif

а (-∞; -3).

Ответ: а (-∞; -3).


  1. При каком значении с функция у = х3 – 0,6х2 + сх + 0,8 не имеет экстремума в критической точке?


Решение.

Имеем hello_html_f0e648c.gif

Рассмотрим функцию hello_html_14d1b7f3.gif с областью определения R. Если функция g(x) на R не имеет корней, то функция у(х) не имеет критических точек. Если функция g(x) на этом же промежутке R имеет корень, но двойной кратности, то функция у(х) имеет критическую точку, которая не является точкой экстремума. Понятно, что при ином поведении функции g(x) на R, функция у(х) имеет экстремумы.

Найдем значение с, при котором уравнение 3х2 – 1,2х + с = 0 не имеет корней.

Квадратное уравнение не имеет корней при D < 0.

D = (-1,2)2 – 4·3·c = 1,44 – 12c

1,44 – 12c < 0

c – 0,12 > 0

c > 0,12.

Уравнение не имеет корней при c > 0,12.

Выясним при каком с уравнение 3х2 – 1,2х + с = 0 имеет корень, но двойной кратности.

hello_html_m4382106f.gif

hello_html_mcbb9a73.gif

hello_html_mf1ae153.gif

hello_html_m3ec8899.gif, значит hello_html_m437ffc8.gif, с = 0,12

При с = 0,12 уравнение имеет корень двойной кратности. Объединим полученые значения параметра с в ответ: с ≥ 0,12.

Ответ: с ≥ 0,12.

  1. Докажите, что при х ≥ 1 выполняется неравенство hello_html_m71d74b9a.gif


Решение.

Рассмотри функцию hello_html_m5d92a358.gif

D (y) = (0; +∞).

Найдем наибольшее значение функции hello_html_434dc30a.gif на интервале (0; +∞).

hello_html_m291160ef.gif

Найдем критические точки: у' (х) = 0.

hello_html_m7ef8ce9.gif

hello_html_m267ccdf2.gifhello_html_2b182ae8.gif или hello_html_2aaa4de8.gif

hello_html_m238c393e.gif Пусть hello_html_m62eee6ae.gif

x = 1 t2 + t + 1 = 0

D = 1 – 4 = -3 <0 – корней нет.

x = 1 – внутренняя точка области определения, значит является критической,
0 D (y) – не является критической.

Определим знак производной в каждом из интервалов (0; 1) и (1; +∞).


hello_html_30faddfa.gif

hello_html_m55698278.gif

hello_html_1c3e34b8.gif

x = 1 – точка мах, т.к. при переходе через нее производная поменяла свой знак с «+» на «–».hello_html_m3fa20760.gif

hello_html_m42741695.gif

Так как у = 0 – наибольшее значение функции hello_html_434dc30a.gif на интервале (0; + ∞), то при х ≥ 1 выполняется неравенство hello_html_7ea8257a.gif



  1. Докажите, что уравнение х3 + х2 + х = 1 имеет не более одного действительного корня.


Решение.

Исследуем на монотонность функцию у (х) = х3 + х2 + х.

D (y) = R.

y' (x) = 3х2 + 2х + 1.

Найдем критические точки: 3х2 + 2х + 1 = 0.

D = 4 – 4 ·3·1 = 4 – 12 = -8 < 0. Уравнение корней не имеет, значит нет критических точек.

3х2 + 2х + 1 > 0 при любом х, т.к. а = 3 > 0 и D < 0. Значит функция у (х) = х3 + х2 + х возрастает на всей области определения, поэтому уравнение у (х) = 1 имеет не более одного действительного корня.


  1. Сколько корней имеет уравнение

а) х5 + х3 + 2 = 0

б) hello_html_17ea54a3.gif ?


Решение.

При х = -1 имеем (-1)5 + (-1)3 + 2 = 0; -2 + 2 = 0; 0 = 0 (верно).

а) Решим это уравнение графически х5 + х3 = -2.

Построим графики функций: у (х) = х5 + х3 и у = -2. Область определения у (х) = х5 + х3R

у (х) = х5 + х3; у' (х) = 5х4 + 3х2= х2 (5 х2+ 3).

Найдем критические точки: х2 (5 х2+ 3) = 0

х2 = 0 или 5х2 + 3 = 0

х = 0 5х2 = -3

hello_html_m1b3ca169.gifhello_html_m1dcf967e.gif

корней нет.

у' (х) > 0 при любом у, значит функция возрастает на всей области определения.

у (0) = 0

А т.к. у (х) = х5 + х3 возрастает на R, то прямая у = -2, пересечет график данной функции в одной точке, следовательно уравнение х5 + х3 + 2 = 0 имеет один корень, х = -1.

Ответ: -1.


б) hello_html_17ea54a3.gif

Решение.

При х = 0 имеем

hello_html_708f620c.gif

1 = 1 (верно).

х = 0 – корень уравнения.

Покажем, что этот корень единственный. Построим графики функций у = cos x и hello_html_m5b1076cc.gif в одной системе координат.

hello_html_m5b1076cc.gif

hello_html_m17355179.gif

D (y) = R

hello_html_m3c33123a.gif

Найдем критические точки: у' (х) = 0

hello_html_54e4ccd3.gifhello_html_6b4a29f0.gifhello_html_709af413.gif - корней нет, значит критических точек нет.

hello_html_m3c1b1436.gif при любом х, значит функция возрастает на всей области определения.

Если х = 0, то у(0) = 1.

hello_html_m6ed8665d.gif

hello_html_m2033765d.gif

hello_html_m2728cf2d.gif

hello_html_4abcfa8c.gif

Построим графики функций

y = cos x и hello_html_m5b1076cc.gif в одной системе координат.



Графики пересекаются в одной точке, значит уравнение имеет единственный корень х = 0

Ответ: 0 – единственный корень.


  1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функций на заданных промежутках.

а) hello_html_m7c70c38e.gif

б) hello_html_7a957376.gif

в) hello_html_30d815e7.gif


Решение.

а) hello_html_m7061aa1c.gif

hello_html_889ea71.gif

hello_html_6750d7ba.gif

2x – 1 ≠ 0 ;

2x ≠ 1

hello_html_5f9b339e.gif

hello_html_m63d54507.gifhello_html_677a2f3a.gifhello_html_3ca036e4.gif

Найдем критические точки:

hello_html_m61e9ab10.gif

hello_html_752b53b9.gif или hello_html_m20bb7a58.gif

hello_html_33710c54.gif hello_html_m6d78495.gif

hello_html_57124599.gifhello_html_26d9b82e.gif

hello_html_28e394a1.gif

hello_html_2d9a502d.gif

1 D(y); 0 D(y) hello_html_m434562b5.gif 0 и 1 – критические точки.

hello_html_m4e117f3f.gif

hello_html_m401814a0.gif

hello_html_m61c81a25.gif

hello_html_m3b8f2f0e.gif

Сравним hello_html_m1e93dc6c.gif, поэтому


мах у(х) = у (2)=hello_html_450e64ce.gif ; min y(x) = y (1) = 1

hello_html_m3f573c09.gifhello_html_m3f573c09.gif

Ответ: 1; hello_html_450e64ce.gif


б) hello_html_m44db5355.gif

Решение.

hello_html_mbf97a10.gif. Нет критических точек, принадлежащих отрезку hello_html_3e725ba9.gif.

Найдем значение функции на концах отрезка hello_html_3e725ba9.gif.

hello_html_7b7eb896.gif

hello_html_3dd78f3.gif

мах у(х) = у (3)=hello_html_5f16e9f8.gif ; hello_html_m19e1c5f8.gif

hello_html_m31d3c55e.gifhello_html_3e725ba9.gif

Ответ: hello_html_52e26055.gif


в) hello_html_34769960.gif

Решение.

D (y) = R, [0; π] D (y)

hello_html_m9d2add5.gif

Найдем критические точки у'(х) = 0

hello_html_m7759f070.gifhello_html_7a1a23b8.gif

hello_html_m5a985d3.gif2 sin x = 1

hello_html_m57607330.gif

hello_html_5b81711f.gif

hello_html_2eff0815.gif

при hello_html_m5aa16d97.gif при k = 0 hello_html_m2c89f36.gif

hello_html_5d17ce4d.gifhello_html_m3ba115fc.gif

при hello_html_231beb7a.gif при k = 1 hello_html_4bb07af1.gif

hello_html_5fd4136f.gif hello_html_m1b5e70e0.gif

hello_html_m7f4700af.gif

hello_html_m7c0f9bb7.gif

hello_html_4454e2db.gif

hello_html_7110fa26.gif

hello_html_m7a936998.gif

hello_html_c1291b6.gif

hello_html_7bb2f28d.gif

hello_html_m489fb6ed.gif

[0; π]

hello_html_m24534ab2.gif

[0; π]

Ответ: 1; hello_html_3f363805.gif


  1. Найдите точку графика функции hello_html_m12133a4e.gif, ближайшую к точке А hello_html_445933d9.gif


Решение.

hello_html_18257e7f.gif


А hello_html_m6a749e9c.gif

Пусть точка В (х; у) – ближайшая точка графика функции.

hello_html_m12133a4e.gif к точке А hello_html_m6a749e9c.gif

В (х;у), где hello_html_m12133a4e.gif, тогда hello_html_573dba12.gif

АВ – расстояние между точками А и В.

hello_html_m3359f473.gif

Пусть S (x) = AB2, тогда

hello_html_30e62c98.gif

hello_html_31fd720c.gif

hello_html_m4279dd7c.gif

hello_html_dccfc65.gif

D(S) = R. Найдем наименьшее значение функции S(x).

hello_html_m4001c00.gif

Найдем критические точки из условия S'(x) = 0.

hello_html_2c708cee.gif

hello_html_34b61693.gif

hello_html_m2716b012.gif

Определим знак производной на каждом из промежутков hello_html_m64efb292.gif

hello_html_m462f4c4.gif

hello_html_15e85135.gif

hello_html_1a7458de.gif

hello_html_m2821a595.gif - точка минимума; hello_html_m7ac19348.gif

Значит В hello_html_3e0039a8.gif – ближайшая точка графика к точке hello_html_m6a749e9c.gif.

Ответ: hello_html_3e0039a8.gif


  1. Два корабля плывут с постоянными скоростями V1 = 20км/ч и V2 = 30км/ч по прямым, угол между которыми 60°, в направлении точки пересечения этих прямых. Найдите наименьшее расстояние между кораблями, если в начальный момент времени, расстояния кораблей от точки пересечения прямых были соответственно 10 км и 20 км.


Решение.

hello_html_59ebdfe0.gif

АВ = 20 км, ВС = 10 км, где

А и С – положение кораблей в начальный момент времени.

Пусть Мt – положение второго корабля в момент t, а Nt – положение первого корабля в момент t.

Тогда ВМt = 20 – 30t

ВNt = 10 – 20t

Из Δ ВМtNt по теореме косинусов найдем квадрат расстояния S между кораблями:



hello_html_m353509ad.gif;

hello_html_m6e9028a6.gif

hello_html_f9969.gifhello_html_m41902e21.gif

hello_html_4d27665a.gif

hello_html_6ca6e119.gif

Очевидно, что расстояние между кораблями будет наименьшим, если квадрат расстояния будет наименьшим. Таким образом дело свелось к нахождению аргумента при котором достигает наименьшего значения функция hello_html_m38fac8d7.gif.

у'(t) = 1400t – 900. Найдем критические точки: у'(t) = 0;

1400t – 900 = 0hello_html_761f114f.gif

1400t = 900

hello_html_186faebf.gif


y' (1) = 1400 – 900 = 500 > 0

y' (0) = - 900 < 0

hello_html_17b4ed36.gif – точка минимума.

Значит в момент времени hello_html_17b4ed36.gif расстояние между кораблями будет наименьшим.

hello_html_1680fac4.gif

hello_html_mcb5b54b.gif

Ответ: hello_html_17b4ed36.gif


  1. Населенный пункт А расположен на расстоянии 3 км от автомагистрали и 5 км от города В, через который проходит эта магистраль. Под каким углом к автомагистрали нужно построить подъездную дорогу, чтобы затраты времени на перевозку грузов из А в В были наименьшими, если допустимая скорость движения автомобилей по магистрали – 90 км/ч, а по подъездной дороге – 45 км/ч?


Решение.


hello_html_4f982d7b.gif

Пусть hello_html_616441ec.gif

АК КВ, значит в ΔАКС hello_html_5d62e976.gif АКС = 90°. Тогда

hello_html_7e29d0b3.gif

Из ΔАВС по теореме косинусов имеем:

hello_html_69bfa1fc.gifhello_html_m2afbe5ea.gifhello_html_578c8761.gif

hello_html_5c18d145.gif

Пусть ВС = у, у > 0

y2 – 6 ctg α·y + 9 ctg2α – 16 = 0

a = 1; b = -6 ctg α; c = 9 ctg2 α – 16.

D = b2 – 4 ac = (-6 ctg α)2 – 4 ·1· (9 ctg2 α-16)=36 ctg2 α – 36 ctg2 α + 64 = 64 > 0

hello_html_m7686bde8.gif

  1. BC = 3 ctg α + 4

Расстояние АС по подъездной дороге автомобиль, двигаясь со скоростью 45 км/ч, поедет за время

hello_html_m418f8812.gif

а расстояние ВС, автомобиль проедет со скоростью 90 км/ч за время

hello_html_m4cbaf51.gif

Тогда время, затраченное на перевозку груза из А в В будет равно t (α) = t1 + t2, значит

hello_html_mf342197.gif

Время будет функцией от α, для которой нужно выяснить под каким углом α к автомагистрали нужно построить подъездную дорогу, чтобы затраты времени были наименьшими.

hello_html_m7720229d.gif

hello_html_m1992aa7c.gif

Найдем критические точки:

hello_html_m6365c948.gif

hello_html_m58e9e7b0.gif ни при каких α, при условии sin α ≠ 0, α ≠ π n, n z.

Значит hello_html_2cf00767.gif

hello_html_5e65282c.gif

hello_html_m5b9e3ec8.gifhello_html_m5a0dca.gif

hello_html_m10df3418.gif

hello_html_67bf4f8f.gif - точка минимума. Значит при hello_html_67bf4f8f.gif затраты времени будут наименьшими.

б) Аналогично, если ВС = hello_html_m76e9324e.gif, то

hello_html_m47eb5452.gif тогда hello_html_m1e5f134a.gif

hello_html_180816b3.gif

Ответ: hello_html_m2dc5eea0.gif



  1. В окружность радиуса R вписан равнобедренный треугольник. При каком значении α при вершине треугольника, высота, проведенная к боковой стороне, имеет наибольшую длину? Найдите эту длину.


Решение.

Δ ABC (AB= BC) вписан в окружность радиуса R.hello_html_m1389cc73.gif

hello_html_486aa66b.gif

(следствие из теоремы синусов)

hello_html_5bec9c10.gif

hello_html_40f6f506.gif






hello_html_1640e97a.gif

AF есть функция от α, т.е. hello_html_m5e1eb908.gif, для которой нужно найти наибольшее значение.

hello_html_3866db0b.gifhello_html_m3b292864.gifhello_html_51662139.gifhello_html_m626376d2.gifhello_html_m6b199e49.gifhello_html_m65493e02.gif

Найдем критические точки: f '(α) = 0.

hello_html_23160924.gif

hello_html_47c607ac.gif hello_html_m68d5edc8.gif

hello_html_5a3f8f4a.gif hello_html_12f5202b.gif

hello_html_26907779.gif hello_html_m7bb0e96d.gif

hello_html_68be0c82.gif hello_html_m2bde482e.gif hello_html_66a207bf.gif

hello_html_7c12da87.gif hello_html_4e9bdc7c.gif

hello_html_m10ceaf8d.gif

Ответ:hello_html_26907779.gif, hello_html_7c12da87.gif, hello_html_m10ceaf8d.gif.

  1. В равнобочной трапеции нижнее основание равно а, угол при основании равен α. Диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне. При каком значении α площадь трапеции будет наибольшей? Найдите наибольшую площадь.


Решение.

Трапеция АBCD – равнобокаяhello_html_m54f0f37.gif

АВ = CD, АD = а, hello_html_125dcfdc.gif

AC CD

В Δ ACD hello_html_5d62e976.gifACD = 90°.

CD = AD ·cos hello_html_5d62e976.gifD = a cos α.

Проведем BF AD и CK AD.

ΔAFB= ΔDKC (по гипотенузе и катету),

значит AF = KD.


Из ΔCKD hello_html_5d62e976.gifCKD = 90°

KD = CD cos hello_html_5d62e976.gifD = a cos α ·cos α = a cos2 α.

BC = AD – 2 KD = a – 2 a cos2 α = a (1 – 2cos2 α)

CK = CD ·sin hello_html_5d62e976.gifD = a cos α·sinα.

hello_html_m304f3501.gifhello_html_70be55b7.gif

hello_html_m62bdd11a.gif

hello_html_m60c109b6.gif

hello_html_1c8859fd.gif

hello_html_m3afca02f.gif

Найдем критические точки: S'(α) = 0

hello_html_m5db429f7.gif

hello_html_6c46f2a.gif

Найдем критические точки: S'(α) = 0

hello_html_m2f879b8d.gif

hello_html_m168aef2e.gif hello_html_23c9f874.gif = 0

hello_html_2e87be2a.gifhello_html_mad0f515.gif = 0

α = π n, n z hello_html_2f8f71ed.gif

α = π, что не удовлетворяет условию. hello_html_7452946d.gifhello_html_7d2ee585.gif

hello_html_m1657dbca.gif hello_html_m1657dbca.gif

hello_html_db1ed41.gifhello_html_67bf4f8f.gif не удовлетворяет

условию.

hello_html_m7178607d.gif

hello_html_418aae43.gif=

hello_html_m48c8cf67.gif

hello_html_m20688201.gif

hello_html_db1ed41.gif – точка максимума, значит при hello_html_db1ed41.gif площадь трапеции наибольшая.

hello_html_m3e2f1ea1.gif

Ответ: hello_html_m457218c5.gif.


  1. Найти все р, чтобы к графику функции hello_html_704840e1.gif, можно было провести касательную, которая пересекает ось ОХ в точке А такой, что hello_html_15315e3d.gif.


Решение.


Напишем уравнение касательной в т. х0hello_html_m539c5177.gif

y = f (x0) + f ' (x0) · (xx0)

hello_html_737ffb2a.gif

hello_html_2471f828.gifhello_html_129f212c.gif

hello_html_30956658.gif

Найдем координаты точки А – точки пересечения касательной с осью ОХ: у = 0

hello_html_93927d8.gif

hello_html_m5926c060.gif

hello_html_me65329b.gif

hello_html_m2af07909.gif

hello_html_5466c70c.gif

hello_html_2249ec8a.gif

hello_html_d8bccd5.gif

x0 ≠ 0 =>

hello_html_6a2094b4.gif

Квадратное неравенство имеет решение, если D1 ≥ 0

hello_html_10e685de.gif

hello_html_m1ead5b05.gif

hello_html_m20989.gif

hello_html_m5b139911.gif

hello_html_10ec5d22.gif

Пусть 3p = t, t > 0. Получим -2t2 + 3t + 9 ≥ 0

hello_html_4698b5f2.gif

D = 9 – 4·2 (-9) = 9 + 72 = 81.

hello_html_194cd6ed.gif

hello_html_m70a89776.gif t (0; 3]

0 < t ≤3

hello_html_m68bde7b1.gif 0 < 3p ≤3

hello_html_5fbb9ff9.gif hello_html_4fa3af59.gif

p ≤ 1

Ответ: р ∊ (-∞; 1]


  1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку с координатами hello_html_m5deccdc1.gif, касающейся графика функции hello_html_m6fa96d11.gif и пересекающей в двух различных точках графики функции hello_html_m7142e06d.gif.


Решение.


Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

y = f (x0) + f ' (x0) · (xx0).

Точка касания принадлежит касательной и параболе. Найдем

hello_html_m15ad10e.gif

hello_html_m3e007b4b.gif

hello_html_5969236f.gif

hello_html_10cac3db.gif – уравнение касательной.

Координаты точки hello_html_m5deccdc1.gif удовлетворяют уравнению касательной, поэтому подставив их в общее уравнение касательной, получим уравнение для нахождения точки касания.

hello_html_m66ea1a49.gif

hello_html_m4bc7e8f2.gif

hello_html_2bf59e3a.gif

х02х0 = 0 х0(х0 – 1) = 0

х0 > 0 и х0 – 1 = 0

х0 = 1

Получим абсциссы двух точек касания, то которым и составим уравнения двух касательных.

х0 = 0х0 = 1

f '(0) = 0 f '(1) = -1

hello_html_7f603fcb.gif hello_html_71405394.gif

y = 2 + 0 (x – 0) y = 1,5 – 1(x – 1)

y = 2 y = 1,5 – x + 1

y = 2,5 – x

Выясним какая из этих касательных пересекает график функции hello_html_m7142e06d.gif в двух точках

4 – х2 ≥ 0 -(х2 – 4) ≥ 0hello_html_2d969eef.gif

(х – 2)(х + 2) ≤ 0

D (y) = [-2; 2 ]

hello_html_m3c88bf9c.gif hello_html_m1c06963f.gif

hello_html_m5b217612.gif hello_html_52e9d6b0.gif

hello_html_63b5b105.gif hello_html_m7be23f4e.gif

4 – 4 = x2 2x2 – 5x + 2,25 = 0

x2 = 0 D = 25 - 4· 2 ·2,25=25-18=7

x = 0; y = 2 hello_html_m71359c5e.gif hello_html_m101923b5.gif

Одна точка пересечения Две точки пересечения.

Ответ: у = 2,5 – х



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Автор
Дата добавления 26.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров135
Номер материала ДВ-486799
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх