Урок по теме: «Геометрический и физический смысл производной».
Цели
урока:
-
обобщить теоретические знания по теме производная, геометрический и физический
смысл производной
-
закрепить умение находить производные функций,
-
решать задачи на геометрический и физический смысл производной,
-
готовиться к ЕГЭ
Развивающие задачи:
·
развивать творческую сторону мышления;
·
развивать уверенность в себе, интерес к предмету.
Воспитательные задачи:
·
воспитывать потребность в знаниях;
·
формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей
решения, самообразования, самовоспитания;
·
воспитывать культуру общения, взаимопомощь, умение слушать
товарища.
Оборудование: карточки,
компьютер.
Ход
урока.
1. 1
этап – Организационный (1 мин).
Учитель
сообщает тему урока, цель и поясняет, что во время урока будет использоваться
раздаточный материал, который лежит на партах, и будет проведена разноуровневая
самостоятельная работа, а также имеется шкала оценок. (Такая же табличка висит
на доске).
Девиз
урока – на доске: «Все отвлеченные понятия пояснять, как только можно, и
примерами, и задачами, и приложениями…» М.В.Остроградский.
2. 2
этап- Повторение теоретического материала по теме производная. (10 мин).
Учитель
приглашает к доске ученика написать таблицу производных элементарных функций.
Функция y=f
(x)
Производная y′= f′(x)
|
|
C
|
0
|
xЄR
|
x-1
|
ax
|
ax lnx
|
ex
|
ex
|
log x
|
|
lnx
|
|
sinx
|
cosx
|
cosx
|
- sinx
|
tg x
|
|
ctgx
|
-
|
(Все
теоретические и практические вопросы урока демонстрируются на экране).
Учитель: Сформулируйте
определение производной функции в точке.
Ученик: Производной
функции f в точке x0 называется число, к которому стремится
разностное отношение при .
Учитель: Сформулируйте
правила вычисления производных.
Ученики. 1. Если
функция y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке x, то и их
сумма имеет производную в точке x ,причем производная суммы равна
сумме производных.
(f(x)+g(x))′= f′(x)+g′(x)
2. Если функция y=f(x) имеет производную в точке x, то и
функция y=k f(x) имеет производную в точке x, причем
(k (f(x))′=k f′(x)
Постоянный
множитель можно выносить за знак производной.
3.Если функция y=f(x) и y=g(x) имеют производную в
точке x, то и их произведение имеет производную в точке x
(f(x) ∙ g(x))′= f′(x) g(x)+f(x)g′(x)
Производная
произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть
произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое
есть произведение первой функции на производную второй функции.
4.
Если функция y=f(x) и y= g(x) имеют производную в
точке x и в этой точке g(x)≠0, то и частное имеет
производную в точке x , причем
Учитель. Что
называется касательной к графику функции?
Ученик. Касательной к графику
дифференцируемой в точке x0 функции f- называется
прямая, проходящая через точку (x0 ;f(x0) ) и
имеющая угловой коэффициент f′(x0).
Учитель:
В чем состоит геометрический смысл производной?
Ученик. Геометрический
смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно
угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.
Учитель. Назовите уравнение
касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0.
Ученик.y= f(x0)+ f′(x0)
( x-x0).
Учитель. В
чем состоит физический смысл производной?
Ученик. Если
материальная точка движется прямолинейно по закону S(t), то производная
функции y= S(t) выражает мгновенную скорость материальной точки в
момент времени t0, т.е. v= S′(t). Производная от координаты
по времени есть скорость. Производная от скорости по времени есть ускорение.
3
этап – Устный счет ( на экране ) – 5 минут.
(Вопросы
устного счета на экране).
Найти
производные функции:
2ex
;2x
x4
x8
x6
2x3
2x5-3x2+2
7x6+3x3+5x2
2x-4
( 3x-6)2
(8+7x)2
log2x;
sin 2x; cos(3x+4)
ln x;
sin2x; sin ( 3-2x)
cos 2x
Учитель. Решим
у доски несколько задач на применение этих правил.
Задача№1. Найти
угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(x)= 2-x2+3x4 в
его точке с абсциссой x0=-1. (-10)
Задача
№2. Через точку графика функции y(x)= -0,5x2+4x+7 с
абсциссой x0=2 проведена касательная. Найдите тангенс угла
наклона этой касательной к оси абсцисс. (2)
Задача
№ 3. Составьте уравнение касательной к графику функции y= x2-2x в
точке x0=-1 (у=-4х-1).
Задача
№4. При движении тела по прямой расстояние S( в метрах) от
начальной точки изменяется по закону S(t)=t3-t2+5t+1( t-
время движения в секундах). Найти скорость в (м/с) тела через 3 секунды после
начала движения.(26)
Физминутка.
(Слайд)
4
этап урока- Разноуровневая самостоятельная работа. (20 минут).
Для
работы Мудреновой Дарье:(сдает экзамен на профильном уровне)
Задача
1. На рисунке изображен график функции
у
= ах2 + вх +с и четыре прямые. Одна из
прямых - график производной. Укажите номер этой прямой.
Решение.
1. По
рисунку определяем вершину параболы,
это
точка (4; -5).
2. Тогда
уравнение параболы имеет вид: y
= a(x-4)2
- 5
3. По
рисунку х=1 – корень уравнения a(x-4)2
-5 =0, отсюда a
= .
4. Получим
уравнение параболы у = (х – 4)2 -5.
5. Производная
y’
= ∙2 ∙(x-4)
= x
- = x
- 4
6. При
х = 0, y’ = -4 , при х = 4, y’
= 0.
7. Значит,
графиком производной данной функции является прямая № 3
Задача 2.
При каком значении а прямая у = -10х +а является касательной
к параболе f(x)
= 3x2
–4x-2 ?
Решение.
1. Пусть
х0 – абсцисса точки касания, составим уравнение касательной
в этой точке.
2.
у = 3х2 - 4х -2
3.
у0 = 3х 02 -
4х0 -2
4.
y’
= 6х - 4
5.
y0
’
= 6х0 - 4
6.
Получим уравнение касательной
у = 3х 02 - 4х0 -2 +
(6х0
– 4)(х – х0) ,
у = (6х0
– 4)х - 3х02 -2.
7.
Чтобы прямая у = -10х +а
являлась касательной к параболе f(x)
= 3x2
–4x-2, необходимо,
чтобы
6х0 - 4 = -10, отсюда
х0 = -1, тогда
а = - 3х02
-2 = -3-2 = -5
Содержание
разноуровневой самостоятельной работы
Уровень 1
Вариант 1
Задача
№1.
Тело движется по
прямой так, что расстояние S (в м) от
него до точки М этой прямой изменяется по закону S(t)=5t2-3t+6.
Через сколько секунд после начала движения произойдет остановка?
1) 2)
3) 4) 6
Задача №2
Определите
абсциссу точки, в которой касательная к графику функции у(х)=4х2-8х+4
параллельна оси абсцисс.
1) -8 2) 1 3) 0 4) 4
Задача№3
Определите угол,
который образует касательная, проведенная к графику функции у=2х2+4х-3
с осью ОХ, в точке с абсциссой .
1) 450 2) 300
3) 600 4) 1350
Задача
№4
На кривой у=х2-х+1
найдите точку, в которой касательная параллельна прямой у=3х-1.
1) -2 2) 1 3) 2 4) 3
Задача №5.
Найдите угловой коэффициент касательной,
проведенной к графику функции у=-2х4+3х+5 в его точке с абсциссой .
1) 67 2) -61 3) 19 4) 72
Уровень
2 Вариант 1
(Задания
2,3,5 –дополнительно для уровня 1).
1.
Найдите
угловой коэффициент касательной к графику функции
у = х6 — 2х5
+ Зх4 + х2 + 4х + 5 в точке х0 =
- 1.
2. Функция у = f(x) определена на промежутке
(- 4; 6]. На рисунке изображен график ее
производной. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции
имеет наибольший угловой коэффициент.
3.Функция у = f(x)
задана своим графиком на промежутке [- 8;4] Укажите
абсциссу точки графика (или сумму абсцисс, если их несколько), в которой
тангенс угла наклона касательной равен 0.
4.Найдите сумму тангенсов углов наклона
касательных к параболе у = х2 - 2х - 3 в точках пересечения
параболы с осью абсцисс.
5.На рисунке изображены прямые, которые являются
касательными к графику
функции
у =f(x) в точках с абсциссами x1, х2, х3,
х4. Определите количество неотрицательных чисел среди значений
производной у = f'(x) в этих точках.
Уровень
2 Вариант 2 (для Даши)
1.
Найдите
угловой коэффициент касательной к графику функции у = х5+ 2х4
+ х3, + 12 в точке х0 = 1.
2.
Функция у = f(х)
определена на промежутке (-5; 3). На рисунке изображен
график ее производной. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции
имеет наименьший угловой коэффициент.
3. Функция у = f(x) задана своим графиком на промежутке [а;в] Укажите абсциссу точки
графика (или сумму абсцисс, если их несколько),
в которой тангенс угла наклона касательной равен нулю.
4.Найдите сумму тангенсов углов наклона касательных к
параболе у =х2 - 9 в точках пересечения параболы с осью
абсцисс.
5.На рисунке изображены прямые, которые являются
касательными к графику
функции у =f(x) в точках с абсциссами x1, х2, х3,
х4. Определите количество неотрицательных чисел среди значений
производной у = f'(x) в этих точках.
Домашнее задание
(Для «3»
- 3задачи решить, для «4»- 4, для «5» - 5, с последующей защитой своего способа
решения.)
1.
Функция определена на
промежутке . На рисунке изображен график производной
этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наибольший угловой коэффициент.
2.
Функция определена на
промежутке . На рисунке изображен график производной
этой функции.
К графику функции
провели касательные во всех точках, абсциссы которых ‑ целые числа.
Укажите количество точек графика функции, в которых проведенные касательные
имеют отрицательный угловой коэффициент.
3 Прямая пересекает ось
абсцисс при , касается графика функции в точке .
Найдите .
4. Функция
определена на промежутке . Используя изображенный на рисунке график
производной , определите количество касательных к
графику функции , которые составляют угол с положительным направлением оси Ox.
5. Функция определена на
промежутке . На рисунке изображен график производной . Определите число касательных к графику
функции , тангенс угла наклона которых к
положительному направлению оси Ox
равен 3.
6. Прямая пересекает ось
ординат при , касается графика функции в точке .
Найдите .
7.
Функция определена на
промежутке . На рисунке изображен график производной
этой функции.
К графику функции
провели касательные во всех точках, абсциссы которых ‑ целые числа.
Укажите количество точек графика функции, в которых проведенные касательные
имеют отрицательный угловой коэффициент.
8. Прямая
пересекает ось ординат при , касается графика функции в точке . Найдите .
9. Функция
определена на промежутке . Используя изображенный на рисунке график
производной , определите количество касательных к
графику функции , которые составляют угол с положительным направлением оси Ox.
10
Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график производной
этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наибольший угловой
коэффициент.
5 этап – Подведение итога урока.( 4 минуты)
Учитель
подводит итог урока, называет наиболее активных учеников, выставляет оценки.
Оценки
выставляются по шкале :
Шкала оценок.
1.Теоретический материал –
2.Устный счет –
3.Решение опорных задач –
4. Самостоятельная работа –
Итоговая оценка –( в журнал – среднее арифметическое 1-4)
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.