Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок математики по теме "Геометрический и физический смысл производной" (11 класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок математики по теме "Геометрический и физический смысл производной" (11 класс)

библиотека
материалов

hello_html_m6feef33.gifhello_html_28582b3d.gifhello_html_m78bbf73c.gifhello_html_7c70fb16.gifhello_html_b782be2.gifhello_html_4967d0b8.gifhello_html_m51c22746.gifhello_html_m560ad774.gif

Урок по теме: «Геометрический и физический смысл производной».


Цели урока:

- обобщить теоретические знания по теме производная, геометрический и физический смысл производной

- закрепить умение находить производные функций,

- решать задачи на геометрический и физический смысл производной,

- готовиться к ЕГЭ

Развивающие задачи:

  • развивать творческую сторону мышления;

  • развивать уверенность в себе, интерес к предмету.

Воспитательные задачи:

  • воспитывать потребность в знаниях;

  • формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей решения, самообразования, самовоспитания;

  • воспитывать культуру общения, взаимопомощь, умение слушать товарища.


Оборудование: карточки, компьютер.


Ход урока.

  1. 1 этап – Организационный (1 мин).

Учитель сообщает тему урока, цель и поясняет, что во время урока будет использоваться раздаточный материал, который лежит на партах, и будет проведена разноуровневая самостоятельная работа, а также имеется шкала оценок. (Такая же табличка висит на доске).

Девиз урока – на доске: «Все отвлеченные понятия пояснять, как только можно, и примерами, и задачами, и приложениями…» М.В.Остроградский.

  1. 2 этап- Повторение теоретического материала по теме производная. (10 мин).

Учитель приглашает к доске ученика написать таблицу производных элементарных функций.

Функция y=f (x)

Производная y′= f′(x)

C

0

xhttp://doc4web.ru/uploads/files/70/70569/hello_html_me8bb8cc.gifhttp://doc4web.ru/uploads/files/70/70569/hello_html_2e28ff68.gifЄR

http://doc4web.ru/uploads/files/70/70569/hello_html_2e28ff68.gifxhttp://doc4web.ru/uploads/files/70/70569/hello_html_me8bb8cc.gif-1

ax

ax lnx

ex

ex

log x

http://doc4web.ru/uploads/files/70/70569/hello_html_m6cbca044.gif

lnx

http://doc4web.ru/uploads/files/70/70569/hello_html_m311eb8c3.gif

sinx

cosx

cosx

- sinx

tg x

http://doc4web.ru/uploads/files/70/70569/hello_html_m5a06e08.gif

ctgx

-http://doc4web.ru/uploads/files/70/70569/hello_html_2b067d37.gif

(Все теоретические и практические вопросы урока демонстрируются на экране).


Учитель: Сформулируйте определение производной функции в точке.


Ученик: Производной функции f в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение http://doc4web.ru/uploads/files/70/70569/hello_html_68dfa785.gifhttp://doc4web.ru/uploads/files/70/70569/hello_html_m53d4ecad.gif при http://doc4web.ru/uploads/files/70/70569/hello_html_632023b4.gifhttp://doc4web.ru/uploads/files/70/70569/hello_html_m4ca7ed50.gif.


Учитель: Сформулируйте правила вычисления производных.


Ученики. 1. Если функция y=f(x)  и y=g(x) имеют производную в точке x, то и их сумма имеет производную в точке x ,причем производная суммы равна сумме производных.

(f(x)+g(x))′= f′(x)+g′(x)

2. Если функция y=f(x) имеет производную в точке x, то и функция y=k f(x) имеет производную в точке x, причем (k (f(x))′=k f′(x)

Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

3.Если функция y=f(x) и y=g(x) имеют производную в точке x, то и их произведение имеет производную в точке x

(f(x) ∙ g(x))′= f′(x) g(x)+f(x)g′(x)

Производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции.

4. Если функция y=f(x) и y= g(x) имеют производную в точке x и в этой точке g(x)≠0, то и частноеhttp://doc4web.ru/uploads/files/70/70569/hello_html_m6f190abc.gif имеет производную в точке x , причем

  • http://doc4web.ru/uploads/files/70/70569/hello_html_3d547402.gif

Учитель. Что называется касательной к графику функции?


Ученик. Касательной к графику дифференцируемой в точке xфункции f- называется прямая, проходящая через точку (x0 ;f(x0) ) и имеющая угловой коэффициент f′(x0).


Учитель: В чем состоит геометрический смысл производной?


Ученик. Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Учитель. Назовите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0.


Ученик.y= f(x0)+ f′(x0) ( x-x0).


Учитель. В чем состоит физический смысл производной?


Ученик. Если материальная точка движется прямолинейно по закону S(t), то производная функции y= S(t) выражает мгновенную скорость материальной точки в момент времени t0, т.е. v= S′(t). Производная от координаты по времени есть скорость. Производная от скорости по времени есть ускорение.


3 этап – Устный счет ( на экране ) – 5 минут.

(Вопросы устного счета на экране).

Найти производные функции:

2ex ;2x

x4

x8

x6

2x3

2x5-3x2+2

7x6+3x3+5x2

2x-4

( 3x-6)2

(8+7x)2

log2x; sin 2x; cos(3x+4)

ln x; sin2x; sin ( 3-2x)

cos 2x


Учитель. Решим у доски несколько задач на применение этих правил.


Задача№1. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(x)= 2-x2+3x4 в его точке с абсциссой x0=-1. (-10)


Задача №2. Через точку графика функции y(x)= -0,5x2+4x+7 с абсциссой x0=2 проведена касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к оси абсцисс. (2)

Задача № 3. Составьте уравнение касательной к графику функции y= x2-2x в точке x0=-1 (у=-4х-1).


Задача №4. При движении тела по прямой расстояние S( в метрах) от начальной точки изменяется по закону S(t)=t3-t2+5t+1( t- время движения в секундах). Найти скорость в (м/с) тела через 3 секунды после начала движения.(26)


Физминутка. (Слайд)


4 этап урока- Разноуровневая самостоятельная работа. (20 минут).


Для работы Мудреновой Дарье:(сдает экзамен на профильном уровне)

Задача 1. На рисунке изображен график функции

у = ах2 + вх +с и четыре прямые. Одна из прямых - график производной. Укажите номер этой прямой.



hello_html_m8c82faf.png



Решение.



  1. По рисунку определяем вершину параболы,

это точка (4; -5).

  1. Тогда уравнение параболы имеет вид: y = a(x-4)2 - 5

  2. По рисунку х=1 – корень уравнения a(x-4)2 -5 =0, отсюда a = hello_html_138d6a3a.gif .

  3. Получим уравнение параболы у = hello_html_138d6a3a.gif(х – 4)2 -5.

  4. Производная y’ = hello_html_138d6a3a.gif∙2 ∙(x-4) = hello_html_53023d2d.gifx - hello_html_m3d298b76.gif = hello_html_53023d2d.gifx - 4hello_html_m1ae3d52d.gif

  5. При х = 0, y’ = -4 hello_html_m1ae3d52d.gif , при х = 4, y’ = 0.

  6. Значит, графиком производной данной функции является прямая № 3

Задача 2. При каком значении а прямая у = -10х +а является касательной к параболе f(x) = 3x2 –4x-2 ?

Решение.

  1. Пусть х0 – абсцисса точки касания, составим уравнение касательной в этой точке.

  2. у = 3х2 - 4х -2

  3. у0 = 3х 02 - 4х0 -2

  4. y’ = 6х - 4

  5. y0 ’ = 6х0 - 4

  6. Получим уравнение касательной

у = 3х 02 - 4х0 -2 + (6х0 – 4)(х – х0) ,

у = (6х0 – 4)х - 3х02 -2.

  1. Чтобы прямая у = -10х +а являлась касательной к параболе f(x) = 3x2 –4x-2, необходимо, чтобы

0 - 4 = -10, отсюда

х0 = -1, тогда

а = - 3х02 -2 = -3-2 = -5

Содержание разноуровневой самостоятельной работы

Уровень 1

Вариант 1

Задача №1.

Тело движется по прямой так, что расстояние S (в м) от него до точки М этой прямой изменяется по закону S(t)=5t2-3t+6. Через сколько секунд после начала движения произойдет остановка?

1) hello_html_4ea41ea0.gif 2) hello_html_md7388ff.gif 3) hello_html_39f82440.gif 4) 6

Задача №2

Определите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции у(х)=4х2-8х+4 параллельна оси абсцисс.

1) -8 2) 1 3) 0 4) 4

Задача№3

Определите угол, который образует касательная, проведенная к графику функции у=2х2+4х-3 с осью ОХ, в точке с абсциссой hello_html_7380c19d.gif.

1) 450 2) 300 3) 600 4) 1350

Задача №4

На кривой у=х2-х+1 найдите точку, в которой касательная параллельна прямой у=3х-1.

1) -2 2) 1 3) 2 4) 3

Задача №5.

Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у=-2х4+3х+5 в его точке с абсциссой hello_html_7d9593df.gif.

1) 67 2) -61 3) 19 4) 72

Уровень 2 Вариант 1

(Задания 2,3,5 –дополнительно для уровня 1).

  1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

у = х65 + Зх4 + х2 + 4х + 5 в точке х0 = - 1.

  1. Функция у = f(x) определена на промежутке (- 4; 6]. На рисунке изображен график ее производной. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наибольший угловой коэффициент.

hello_html_137da072.png


3.Функция у = f(x) задана своим графиком на промежутке [- 8;4] Укажите абсциссу точки графика (или сумму абсцисс, если их несколько), в которой тангенс угла наклона касательной равен 0.


hello_html_239b4a35.png




4.Найдите сумму тангенсов углов наклона касательных к параболе у = х2 - - 3 в точках пересечения параболы с осью абсцисс.


5.На рисунке изображены прямые, которые являются касательными к графику функции

у =f(x) в точках с абсциссами x1, х2, х3, х4. Определите количество неотрицательных чисел среди значений производной у = f'(x) в этих точках.



У

х

hello_html_6b021937.gif

Уровень 2 Вариант 2 (для Даши)

  1. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = х5+ 4 + х3, + 12 в точке х0 = 1.

  2. Функция у = f(х) определена на промежутке (-5; 3). На рисунке изображен график ее производной. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции имеет наименьший угловой коэффициент.

hello_html_m7adfb5f6.png

3. Функция у = f(x) задана своим графиком на промежутке [а;в] Укажите абсциссу точки графика (или сумму абсцисс, если их несколько), в которой тангенс угла наклона касательной равен нулю.



hello_html_462d8d12.png



4.Найдите сумму тангенсов углов наклона касательных к параболе у =х2 - 9 в точках пересечения параболы с осью абсцисс.

5.На рисунке изображены прямые, которые являются касательными к графику функции у =f(x) в точках с абсциссами x1, х2, х3, х4. Определите количество неотрицательных чисел среди значений производной у = f'(x) в этих точках.



y

х

hello_html_6b021937.gif















Домашнее задание

(Для «3» - 3задачи решить, для «4»- 4, для «5» - 5, с последующей защитой своего способа решения.)


hello_html_m3c2f35c1.gif

1. Функция hello_html_m36c1655b.gif определена на промежутке hello_html_m22904f78.gif. На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции hello_html_m36c1655b.gif имеет наибольший угловой коэффициент.

hello_html_2e81c281.gif

2. Функция hello_html_m36c1655b.gif определена на промежутке hello_html_m2597b85f.gif. На рисунке изображен график производной этой функции.

К графику функции провели касательные во всех точках, абсциссы которых целые числа. Укажите количество точек графика функции, в которых проведенные касательные имеют отрицательный угловой коэффициент.

3 Прямая пересекает ось абсцисс при hello_html_2ec7842d.gif, касается графика функции hello_html_m6453e570.gif в точке hello_html_1fb66b74.gif. Найдите hello_html_6ee253f8.gif.

hello_html_m744e7f2d.gif

4. Функция hello_html_m6453e570.gif определена на промежутке hello_html_cac9bc9.gif. Используя изображенный на рисунке график производной hello_html_m59ab8c34.gif, определите количество касательных к графику функции hello_html_m6453e570.gif, которые составляют угол hello_html_5dc5076d.gif с положительным направлением оси Ox.




hello_html_mf7f1984.gif

5. Функция hello_html_m6453e570.gif определена на промежутке hello_html_m11c10505.gif. На рисунке изображен график производной hello_html_m59ab8c34.gif. Определите число касательных к графику функции hello_html_m6453e570.gif, тангенс угла наклона которых к положительному направлению оси Ox равен 3.



6. Прямая пересекает ось ординат при hello_html_7b1cf311.gif, касается графика функции hello_html_m6453e570.gif в точке hello_html_3c1e673.gif. Найдите hello_html_m112cf00a.gif.

hello_html_34bc074.gif



7. Функция hello_html_m36c1655b.gif определена на промежутке hello_html_m134a838.gif. На рисунке изображен график производной этой функции.

К графику функции провели касательные во всех точках, абсциссы которых целые числа. Укажите количество точек графика функции, в которых проведенные касательные имеют отрицательный угловой коэффициент.



8. Прямая пересекает ось ординат при hello_html_32acc8fa.gif, касается графика функции hello_html_m6453e570.gif в точке hello_html_m54bc119f.gif. Найдите hello_html_4573ec0d.gif.



hello_html_m5c81faa4.gif9. Функция hello_html_m6453e570.gif определена на промежутке hello_html_72a9bb6f.gif. Используя изображенный на рисунке график производной hello_html_m59ab8c34.gif, определите количество касательных к графику функции hello_html_m6453e570.gif, которые составляют угол hello_html_m29952bb8.gif с положительным направлением оси Ox.

10 Функция hello_html_m36c1655b.gif определена на промежутке hello_html_m22904f78.gif. На рисунке изображен график производной этой функции. Укажите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции hello_html_m36c1655b.gif имеет наибольший угловой коэффициент. hello_html_76d191f1.gif

5 этап – Подведение итога урока.( 4 минуты)

Учитель подводит итог урока, называет наиболее активных учеников, выставляет оценки.


Оценки выставляются по шкале :


Шкала оценок.

1.Теоретический материал –

2.Устный счет –

3.Решение опорных задач –

4. Самостоятельная работа –

Итоговая оценка –( в журнал – среднее арифметическое 1-4)


Краткое описание документа:

Цели урока:

- обобщить теоретические знания по теме производная, геометрический и физический смысл производной

- закрепить умение находить производные функций,

- решать задачи на геометрический и физический смысл производной,

- готовиться к ЕГЭ

Развивающие задачи:

развивать творческую сторону мышления;

развивать уверенность в себе, интерес к предмету.

Воспитательные задачи:

воспитывать потребность в знаниях;

формировать навыки умственного труда – поиск рациональных путей решения, самообразования, самовоспитания;

воспитывать культуру общения, взаимопомощь, умение слушать товарища.

Автор
Дата добавления 13.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров690
Номер материала 278448
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх