Урок математики в 9 классе "Геометрическая прогрессия"

Тема урока: «Геометрическая прогрессия»

Тип урока: обобщения и систематизации знаний

Цель: создание условий для обобщения и систематизации знаний, отработки умений и навыков применять формулы

Задачи:

Образовательные: повторить определение арифметической и геометрической прогрессий, формулы n-члена, формулы суммы первых n - членов арифметической и геометрической прогрессий, характеристическое свойство;

Развивающие: развивать самостоятельность учащихся; критическое мышление, грамотную речь.

Воспитательные: воспитывать познавательную активность, культуру общения.

Планируемые результаты:

предметные:

-       Знать определения арифметической и геометрической прогрессий, характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий, формулы п -го члена арифметической и геометрической прогрессий, формулы для нахождения суммы п первых членов арифметической и геометрической прогрессий,

-       Уметь применять теоретические знания для решения основных типов заданий по теме.

личностные:

-       стремление к саморазвитию,

-       формирование самооценки

метапредметные:

-       освоение обучающимися компонентов учебной деятельности,

-       умение учиться в общении со сверстниками

Учебное оборудование: учебник, индивидуальные карточки, карточки проверки знаний теоретического материала

Форма работы: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Ход урока

1. Организационный момент. Мотивация к деятельности

 У большинства настроение по - деловому серьёзное, предлагаю наш урок провести под девизом: «Математику нельзя изучать наблюдая». Давайте, ребята, все будем активно работать, чтобы урок не прошёл даром.

2. Актуализация опорных знаний

Заполнить таблицу «Справочные материалы» (проверка теоретического материала)

3.Устная работа.

1. Упростить выражение:

а) ;            б) ;            в) 3^{п + 1} – 3^{п – 1}.

2.. Является ли последовательность (вп) геометрической прогрессией? Чему равен знаменатель прогрессии?

а) 1, 1/3, 1/9, …     (да, q = ⅓),

б) 60; -30; 15; …   (да, q = -½),

в) 3; 3; 3; 3; 3; …   (да. q =1),

г) 2; 0; 0; 0; 0; …   (нет, b_n+1 =b_n · q, где b_n ≠ 0, q ≠ 0).

3. Существуют ли три числа, которые составляют одновременно арифметическую и геометрическую  прогрессию?  (Да, любые три равных числа.)

4. Найдите шестой член геометрической прогрессии 2; 6; …

4. Формирование умений и навыков.

1) Проверочная работа. Расшифровать слово

№1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии:  -6; 3; … .  (-2)

№2. Запишите четвёртый член геометрической прогрессии:  3; 9; 27; … . (81)

№3. B геометрической прогрессии b₁=2, b₃= 32. Найдите  q. (±4).

№4. В геометрической прогрессии (вп) известны в1=3 и q = -2. Найти в5.

(48).

№5. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Записать колонию, рождённую одной бактерией через 7 минут. (64)                                                                    

№6. Найдите знаменатель геометрической прогрессии √5; 5; … . (√5).

81	48	-½	4	√5	128	√3/3	64	± 4	-2
П	Р	С	И	Д	О	Л	Ё	Е	В

Проверка: «ВПЕРЁД». Как вы думаете, почему зашифровано именно это слово?

 «Прогрессио – движение вперед!»

2) Решение упражнений.

Задача №1.                                          Задача №3.

в₁= 2                                                      в₁ = 12                                                              

q = 4                                                      S₃ = 372

S_n = 682                                                Найти: q - ?

Найти:  п - ?

Задача №2.                                           Задача №4.

в₁= 2                                                      q = 3

q = 4                                                      S₅ = 484

S_n = 682                                                Найти: в₁ - ?

     Найти:  в_п - ?

Задача из учебника

Р е ш е н и е

(х_п) – геометрическая прогрессия.

(х_п): 2; а; b; ;

;

;

.

О т в е т: а = 1; b = .

5. Физкультминутка

6 . Работа в группах. Предлагаются исторические задачи и задачи с интересными фактами.

1 группа

      Если дать бактериям размножаться свободно, без ограничений, то численность любой из них росла бы в геометрической прогрессии. На графике дан рост численности бактерий при неограниченном делении клеток. По  графику найдите в₁ и  q. Сколько бактерий будет после 6 делений? после 10 делений? Найдите сумму 10 членов образовавшейся геометрической прогрессии, с помощью двух формул (через в₁ и  q,  в_п и  q).

Решение:

в₁ = 2,   q =2 , при   п = 6,  в_п = 2⁶ = 64;

                        при   п = 10,   в_п = 2¹⁰ = 1024

S_п = ;      S_n = =2*1023 = 2046

S_п =;  S_п =   = = 2046

Ответ: S_п = 2046.

Справка.    Бактериальная клетка делится пополам каждые 20 минут. В течение суток  из 1 бактерии могло бы образоваться  13 трлн. других. Так, например, 1 бактерия кишечной палочки в течение суток могла бы дать потомство, общего объема которого хватило бы для постройки пирамиды площадью 1 кв.км и высотой 1 км. При благоприятных условиях за 48 часов один холерный вибрион дал бы потомство массой 22*10²⁴ т., что в 4 раза больше массы земного шара. К счастью, выживает лишь очень незначительное количество бактерий.

Группа 2

Однажды незнакомец повстречал богатого купца и предложил ему такую сделку:

Незнакомец: «Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 000 руб. а ты мне в первый день за 100 000 дашь 1 коп., во второй день – за 100 000 руб. – 2 коп. и так каждый день будешь предыдущее число денег в 2 раза. Если тебе сделка выгодна, то с завтрашнего дня начнём».

Купец (обрадовался такой удаче): «Я подсчитал, что за 30 дней получу от незнакомца 3 000 000 рублей. Конечно, я согласен на сделку!»

 На  следующий день они пошли к нотариусу и узаконили сделку. Кто в этой ситуации проиграл: купец или незнакомец?

    Решение: Составим последовательность чисел 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; … . Убеждаемся, что эти числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q =2, первым членом 1 и количеством членов п=30. Найти  сумму 30 первых членов геометрической прогрессии. Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна

.

S30=1∙(2³⁰-1): (2-1) =1073740000-1=1073739999.

Итак, купец отдал незнакомцу 10 737 399, 99 руб.

Группа 3. Покупка лошади.

         Эта задача из старинного учебника арифметики  Магницкого.

 Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель раздумал ее купить из-за того, что считал лошадь таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: «Купи только подковные гвозди, а лошадь получишь бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего1∕4 копейки, за второй-1∕2 копейки, за третий-1 копейку и т.д.»

Покупатель, соблазненный низкой ценой, принял условия продавца. На сколько покупатель проторговался?

Решение: в₁=1∕4,в₂=1∕2,в₃=1.

Если в каждой подкове по 6 гвоздей, то всего их 24. Значит, нужно найти S₂₄.

q=в_2∕в₁=2, S=0,25 (2²⁴-1)=0,25 (1024 1024 4 -1)=4194303,75=42тыс рублей.

При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

 7. Домашнее задание

стр. 191,  № 684, 689 (2).

8.  Подведение итогов урока.

   Составить сиквейн  к слову  «Прогрессия»

9.Рефлексия

• Какие знания понадобились тебе на уроке?
• Что понравилось на уроке больше всего?
• Где во время урока у тебя всё получалось хорошо?
• Какими словами можешь выразить своё настроение как результат работы на уроке?

Справочные материалы

Название
Определение	Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем числом	Последовательность, отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число
Рекуррентная формула
Формула                  n- го члена
Характеристическое   свойство
Формула суммы n первых членов

Краткое описание документа:

Урок обобщения и систематизации знаний по теме "Геометрическая прогрессия".

Цель: создание условий для обобщения и систематизации знаний, отработки умений и навыков применять формулы

Задачи:

Образовательные: повторить определение арифметической и геометрической прогрессий, формулы n-члена, формулы суммы первых n - членов арифметической и геометрической прогрессий, характеристическое свойство;

Развивающие: развивать самостоятельность учащихся; критическое мышление, грамотную речь.

Воспитательные: воспитывать познавательную активность, культуру общения.

Планируемые результаты:

предметные:

• Знать определения арифметической и геометрической прогрессий, характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий, формулы п -го члена арифметической и геометрической прогрессий, формулы для нахождения суммы п первых членов арифметической и геометрической прогрессий,
• Уметь применять теоретические знания для решения основных типов заданий по теме.
• личностные:стремление к саморазвитию, формирование самооценки
• метапредметные: освоение обучающимися компонентов учебной деятельности,
• умение учиться в общении со сверстниками

Учебное оборудование: учебник, индивидуальные карточки, карточки проверки знаний теоретического материала

Форма работы: фронтальная, индивидуальная, групповая.