Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок математики в 10 классе "Исследование функций"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок математики в 10 классе "Исследование функций"

библиотека
материалов

hello_html_70714d90.gifhello_html_3442017a.gifhello_html_m21731f0a.gifhello_html_27b1dd9f.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_730b104.gifМуниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа

сИвановка Ивантеевского района Саратовской области»




























Тема: Исследование функций и построение их графиков.


Цели:

  • повторить алгоритм исследования непрерывной функции y = f (x) на монотонность и экстремумы;

  • используя общую схему исследования свойств функции и построения ее графика, строить графики функций;

  • способствовать развитию вкуса к исследованиям и поискам закономерностей, умению осуществлять наблюдения, формулировать гипотезы.


Планируемый результат урока:

  • знать необходимые и достаточные условия экстремума;

  • знать схему построения графиков функций;

  • уметь по графику производной и изображению знаков производной находить промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремумов функций.


Девиз урока: «Решай, ищи, твори и мысли».


Ход урока:

I. Организационный момент.

II. Устный счет.

hello_html_654b44b5.gifhello_html_m776b99cb.gifhello_html_55d8f511.gifhello_html_m67bc9d1d.gifhello_html_316e41ec.gifhello_html_m40707245.gif




hello_html_m522dcb22.gifhello_html_26e7298d.gifhello_html_m1822723b.gifhello_html_59749287.gifhello_html_m1cb1c99b.gif



III. Сообщение темы и цели урока.

Активизировать внимание, объявить тему и цель урока.

Вы уже накопили некоторый опыт исследования функций и построения графиков функций. Сегодня мы рассмотрим изученный материал с более общих позиций. Все задачи объединены по сюжетному принципу.

Весьма важно уметь переформулировать задачу и за внешними различиями увидеть общую схему решения.

IV. Изучение нового материала.

Повторение теоретического материала.

  • Как находить экстремумы функции?

Т4 (необходимое и достаточное условие существование экстремума): Если функция y = f (x) имеет экстремум в точке х = х0, то в этой точке производная либо равна нулю, либо не существует.

Если f ´(х) = 0, то х0 – стационарная точка,

если f ´(х) не существует, то х0 – критическая точка.


Т5 (достаточное условие существования экстремума): Пусть функция y = f (x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = х0. Тогда


а) x0 – точка max, если производная меняет знак с плюса на минус.

f '(x) + -

f (x) x0 x


б) x0 – точка min, если производная меняет знак с минуса на плюс.

f ' (x) + -


f (x) x


в) x0 – точка перегиба, если знаки производной слева и справа одинаковые.

f ' (x) - - f '(x) + + _________________ x0 ________________ x ________________ x0 __________________x


f (x) f(x)


V. Физминутка.

Это классическое упражнение. Оно расслабляет затылочную и плечевую мускулатуру и улучшает дыхание. В головной мозг поступает много кислорода, за счет чего улучшается еще и слух и зрение.

  • Положите руки на стол перед собой. Выдохните и позвольте своей голове медленно опуститься вниз. Почувствуйте, мускулы вашего затылка растянулись, полностью расслабьте плечи. Теперь снова медленно поднимите голову и при этом сделайте вдох. Дайте голове полностью откинуться назад, пока вам не покажется, что ваша грудная клетка распахнулась и наполнилась воздухом. Когда вы снова будете выдыхать, делайте это медленно и снова опустите голову вниз, пока подбородок вновь не ляжет на грудь. Подарите себе три таких особенных освежающих вдоха.

Это упражнение активизирует кровообращение ног.

  • Сядьте поудобнее, облокотитесь на спинку стула, вытяните перед собой ноги, вытяните на себя стопы. Почувствуйте, как растягиваются икроножные мышцы.

  • Теперь покрутите стопами сначала в одну сторону, затем в другую.

VI. Закрепление изученного материала.

Исследование функции по графику производной.


Задачи ЕГЭ (группа В)


Функция y = f (x) определена на промежутке [-6; 3]. График производной изображен на рисунке.

у y = f ' (x)


f ' (x) _ + _ + _

_______●______________●__________●______________●______________________

f (x) -5 -2 0 2



Задания для учащихся.

1) Изобразить схематически знаки производной на промежутке области определения:

Как называются точки -5, -2, 0, 2 ? (Стационарные точки)

  1. Ответить на вопросы:

  • Укажите число точек максимума. ( хmax = -2, хmin = 2). Ответ: 2.

  • Найти число точек экстремумов. Ответ: 4.

  • Укажите число точек минимума функции. (xmin = -5, xmin = 0) Ответ: 2.

  • Укажите число промежутков возрастания функции. [-5; -2],[0; 2]. Ответ: 2.

  • Укажите количество точек графика функции, в которых касательная параллельна оси ОХ. hello_html_m58505a38.gif-5; -2; 0; 2hello_html_m43c0e9f8.gif . Ответ: 4.

  • Найдите наибольшую из длин промежутков убывания функции. [-2; 0] Ответ: 2.

  • Укажите количество промежутков убывания функции. Ответ: 3.

  • Найдите суммарную длину промежутков возрастания функции. (3 + 2 = 5) Ответ: 5.

  • Укажите количество интервалов убывания функции. Ответ: 3.


Схема исследования свойств функции и построение графика функции.


Пример 1. а) Построить график функции y = 5x3 – 3x5

1). D (y) = (- ∞; +∞).

2). Функция нечетная.hello_html_6f352454.gif

3). Нули функции: у = 0 х3 (5 – 3х2) = 0,

х = 0, х = ± hello_html_2d0f3837.gif

4). Промежутки монотонности :

у ' = 15х2 – 15 х4 ,

у ' = 0, 15х2 (1 – х2) = 0

х = 0, х = ±1 – стационарные точки.


у '(х) - + + -

______________________________________________

у(х) -1 0 1 х


хmin = -1, xmax = 1, x = 0 –точка перегиба

уmin = у (-1)= - 5 + 3 = - 2

ymax = y (1) = 5 – 3 =2

y (0) = 0

5). Построим график функции:




Задачи централизованного тестирования.


1. Найдите количество точек экстремума функции у = 0,6х5 - 1,5х4 + х3 + 4.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5


у ' = 3х4 – 6х3 + 3х2 Решение:

у ' + + + х

22 – 2х + 1) = 0 __________________________

х2 (х – 1)2 = 0 у 0 1

Нет экстремумов

Ответ: 1


2. Найдите длину промежутка убывания функции у = 3х5 - 5х3 + 1.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5


Решение :

у ' =15х4 – 15х2

15х22 - 1) = 0

х = 0 – корень четной кратности

у ' + - - +

___________________________________

у - 1 0 1



х = ± 1

Промежуток убывания [-1; 1], длина промежутка 2.

Ответ: 3


3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х5 – 15х2.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4

Решение:

у ' =15х4 – 30х

15х ( х3 - 2) = 0 у ' + - +

х = 0, х =hello_html_m7ca101c8.gif - точки экстремумов ___________________________________ х

у

Ответ: 3

hello_html_6f352454.gif

4. Найдите значение функции у = 2х2 - hello_html_da44b8c.gif в точке минимума.

Ответы: 1) -hello_html_27ce2a45.gif 2) -hello_html_m4d3ae95e.gif 3) -hello_html_m7f3c5986.gif 4) -hello_html_m41547016.gif 5) 0

Решение:

у ' = 4х -hello_html_m52a0a64.gif

hello_html_mb8f5283.gif=0, 8х3/2 – 1 =0, х > 0, х = hello_html_m7f3c5986.gif

уmin = у (hello_html_m7f3c5986.gif) = 2 hello_html_m3ae9447d.gif hello_html_76b432df.gif - hello_html_7d122887.gif = hello_html_m41547016.gif - hello_html_7d122887.gif = - hello_html_m4d3ae95e.gif

у ' - +

_________○________________●__________х

у 0 hello_html_m7f3c5986.gif

hello_html_6f352454.gif Ответ: 2

5. Найдите количество точек экстремума функции у = hello_html_6f352454.gifhello_html_38ac3aee.gif.

Ответы: 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 5) 0

Решение:

у = hello_html_m7f3c5986.gif - hello_html_m65db34cd.gif + hello_html_45e83075.gif


у ' = hello_html_m1cdcab8b.gif- hello_html_48caea0a.gif hello_html_7bec3978.gif= 0

х = ± 1 – стационарная точка

х = 0 - критическая точка

у ' + - - +

_______________●______○______●_______ х хmax = -1, хmin = 1

у

-1 0 1


Ответ: 2


6. Найдите точку минимума функции у = (х -1 )2 hello_html_da44b8c.gif.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) hello_html_m653f6885.gif

Решение:

у ' =2 (х -1) hello_html_da44b8c.gif+ hello_html_386bf519.gif ОДЗ. х > 0

hello_html_5060b364.gif=0; hello_html_70c5c1b1.gif = 0;

2 – 6х +1 = 0 х 1= 1, х2 =hello_html_m653f6885.gif - стационарные точки, х = 0 – критическая точка

х > 0

у ' + - +

__________○________●________●________х хmin = 1

у 0 hello_html_m653f6885.gif 1

Ответ: 2


7. Найти количество точек экстремумов функции у = hello_html_4a7c2b99.gif.

Ответы: 1) 2 2) 3 3) 1 4) 0 5) 4

Решение:

у = hello_html_79c9c698.gif- hello_html_m433253a2.gif+ hello_html_m4fd9af62.gif


у ' = hello_html_5d8cb75c.gif- hello_html_m2915d844.gif, hello_html_38437b5f.gif=0

х = ± 3 – стационарные точки

х = 0 - критическая точка четной кратности

у ' + - - +

____________●________○_________●_______ х хmax = -3, xmin = 3

у -3 0 3


Ответ: 1


8. Найдите точку максимума функции у = (х -1)4 hello_html_da44b8c.gif.

Ответы: 1) 0 2) hello_html_27ce2a45.gif 3) hello_html_m8cbbbb7.gif 4) hello_html_525cba14.gif 5) 1


Решение:

у ' =4 (х – 1)3 hello_html_da44b8c.gif + hello_html_5eae55a1.gif; hello_html_242904c5.gif=0; hello_html_2c389882.gif=0

х = 1, х = hello_html_525cba14.gif - стационарные точки

х = 0 – критическая точка (х > 0)

у ' + - +

______○_________●_________●_________х хmax = hello_html_525cba14.gif

у 0 hello_html_525cba14.gif 1

Ответ: 4


VII. Итог урока. Рефлексия.

  • Повторили условия существования экстремума.

  • По графику производной находили промежутки монотонности функции, определяли характер экстремумов.

  • По графику функции, построенному с применением производной, исследовали, сколько решений может иметь уравнение, содержащее параметр.

  • Познакомились с заданиями централизованного тестирования.

  • Продолжи предложение:

  • Я узнал…

  • Я научился…

  • Мне понравилось…

  • Я затруднялся…

  • Моё настроение…

  • Материал урока мне был ….

VIII. Оценка работ.

  • На уроке я работал ….

  • Своей работой на уроке я ….

  • Урок для меня показался ….

  • За урок я ….

IX. Домашнее задание: страница 178 § 30, задания типа В9 (ЕГЭ)



























1. Найдите количество точек экстремума функции у=0,6х5 -1,5х43+4.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5)5

2. Найдите длину промежутка убывания функции у=3х5-5х3+1.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5

3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х5 – 15х2.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4

4. Найдите значение функции у = 2х2 - hello_html_da44b8c.gif в точке минимума.

Ответы: 1) -hello_html_27ce2a45.gif 2) -hello_html_m4d3ae95e.gif 3) -hello_html_m7f3c5986.gif 4) -hello_html_m41547016.gif 5) 0

5. Найдите количество точек экстремума функции у = hello_html_6f352454.gifhello_html_38ac3aee.gif.

Ответы: 1) 1 2)2 3) 3 4) 4 5) 0

6. Найдите точку минимума функции у = (х -1 )2 hello_html_da44b8c.gif.

Ответы: 1)0 2) 1 3) 2 4) 3 5) hello_html_m653f6885.gif

7. Найти количество точек экстремумов функции у = hello_html_4a7c2b99.gif.

Ответы: 1)2 2) 3 3) 1 4) 0 5) 4

8. Найдите точку максимума функции у = (х -1)4 hello_html_da44b8c.gif.

Ответы: 1) 0 2) hello_html_27ce2a45.gif 3) hello_html_m8cbbbb7.gif 4) hello_html_525cba14.gif 5) 1


Автор
Дата добавления 22.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров177
Номер материала ДВ-546727
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх