Урок математики в 8 классе. Несколько способов решения квадратных уравнений.

МБОУ «Ленинская средняя общеобразовательная школа»

Ленинского района Тульской области

Образовательная область - математика

Несколько способов решения квадратных уравнений

Класс 8

Елена Анатольевна Кусачева, учитель

математики

п. Ленинский

2013г.

Тема урока: «Несколько способов решения квадратных уравнений»

Тип урока: комбинированный

Цель урока: дать конкретные представления о решении квадратных уравнений и рассмотреть несколько новых способов решения этих уравнений.

Задачи урока:

образовательные: систематизировать, обобщить и углубить знания, умения и навыки учащихся по теме решения квадратных уравнений, рассмотреть различные способы решения, провести диагностику усвоения системы знаний и умений и ее применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.

Воспитательные: продолжить формирование научного мировоззрения учащихся, воспитывать умения организовывать свой учебный труд, соблюдать правила работы в коллективе.

Развивающие: развивать познавательный интерес школьников, память, воображение, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность; выработать самооценку в выборе пути, критерии оценки своей работы и работы товарища; повысить интерес учащихся к нестандартным формам решения квадратных уравнений, сформировать у них положительный мотив учения.

Оборудование: доска, компьютер, методические пособия.

Ход урока.

1.     Организационный момент.

Учитель приветствует учеников, фиксирует отсутствующих. Затем сообщает тему и цель урока. Учащиеся записывают тему урока в тетрадь.

2.     Введение.

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств. Вы все умеете решать квадратные уравнения. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Разберем подробно каждый способ. Повторим те способы, которые мы изучили и разберем новые.

3.     Повторение изученных способов решения квадратных уравнений.

На компьютере записано квадратное уравнение, предложенное на едином государственном экзамене. Каким из изученных способов решения можно быстро и рационально решить это уравнение?

63х² – 43х – 20 = 0.

Повторим эти способы.

·        Способ разложения на множители:

Решим уравнение х² +10х – 24 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители:

X² +10х – 24 = х² +12х – 2х – 24 =x(x + 12) – 2 (x +12) = (x + 12)(x – 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так: (x +12)(x – 2) = 0.

Левая часть уравнения обращается в нуль при x = 2, а также при x = -12. Это означает, что числа 2 и -12 являются корнями уравнения x² + 10x – 24 = 0.

Ответ: -12; 2.

·        Метод выделения полного квадрата:

Решим уравнение х² + 6х – 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат, для этого прибавим к ней и вычтем 3², получаем

Х² + 6х + 3² – 3² – 7 = 0,

(х +3)² – 16 = 0, таким образом, данное уравнение можно записать так:

( х + 3)² = 16. Следовательно,

Х + 3 = 4,  х = 1, или х + 3 = -4,  х = -7.

Ответ: -7; 1.

·        Графический способ решения:

Решим уравнение х² – 3х – 4 = 0.

Рассмотрим функцию у = х² – 3х – 4, квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы.

х₀=-b/2а,   х₀ =1,5.

                    у₀ =1,5² – 4,5 – 4 = -6,25,       (1,5; -6,25) – координаты вершины параболы.

х	-1	0	1	1,5	2	3	4
у	0	-4	-6	-6,25	-6	-4	0

                                                           у

                                           -1       0                                          4                                     Х

Точки пересечения с осью Х и являются решением данного уравнения.

Ответ: -1; 4.

·        Решение квадратных уравнений по формулам:

Решим уравнение    4х² + 7х +3 = 0,

а=4,    b=7,    c=3,  D = b² -  4ac = 49-48=1, 1>0 уравнение имеет 2 различных действительных корня.

х₁=-1,  х₂=-0,75.

Ответ:-1; -0,75

Решим уравнение  4х² – 4х +1 = 0,

a= 4,    b=-4,   c=1,  D = b² – 4ac = 16 – 16 = 0, D=0, уравнение имеет один корень.

х = 0,5.

Ответ:0,5.

Решим уравнение    3х² -14х + 16 = 0.

a=3,     b=-14- четное число,   с=16,    D/4= (b/2)² – ac = 49 – 48 = 1, 1>0, уравнение имеет два различных действительных корня .

х₁=2,   х₂=8/3.

Ответ:2; 8/3.

·        Решение уравнений с использованием формул Виета.

Решим уравнение    x² + 4x – 5 = 0.

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а=1 имеет вид

х₁ + х₂ = -4,

х₁х₂ = -5.

Отсюда можно сделать следующие выводы: х₁ = -5, х₂ = 1.

Ответ: -5; 1.

4.     Рассмотрение новых способов решения.

Всеми этими способами можно решить уравнение, предложенное в начале урока, но будет сложно и долго. Рассмотрим еще несколько способов решения квадратных уравнений, которые в школьной программе не изучаются, но с помощью, которых быстро и рационально можно решить, например, данное уравнение.

·        Свойства коэффициентов квадратного уравнения:

ax² + bx + c = 0,

если   а + b + с = 0, то     х₁ = 1, х₂ = с/а       и

если   а - b +с = 0, то      х₁ = -1, х₂ = -с/а.

Решим данное уравнение, пользуясь этим свойством.

63х² – 43х – 20 = 0,

63 + (-43) + (-20) = 0, то х₁ = 1, х₂ = -20/63.

Ответ: -20/63; 1.

Чтобы закрепить это свойство, решим следующие уравнения:

     а) 5х² - 7х + 2 = 0;

     б) 3х² + 5х – 8 = 0;

     в) 11х² + 25х – 36 = 0;

     г) 11х² + 27х + 16 = 0;

    д) 839х² – 448х – 391 = 0.

·        Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное  уравнение   ax² + bx + c = 0, где  а ≠0.

Умножая его обе части на а, получаем уравнение а²х² + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению

у² + by + аc = 0, равносильного данному. Его корни  у₁ и у₂ находим с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х₁ = у₁/а  и х₂ = у₂/а.

 При этом способе, коэффициент  а  умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют  способом «переброски».

Решим уравнение 2х² – 11х + 15 = 0.

«Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, получим уравнение:

У² – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета у₁ = 5,  у₂ = 6. Далее  х₁ = 5/2 =2,5;  х₂ = 6/2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

Решите уравнения, используя метод «переброски»:

  а)  23х² + 12х – 35 = 0,

  б)  2х² – 9х + 9 = 0,

   в)  3х² + х – 4 = 0,

   г)  4х² + 12х + 5 = 0,

   д) 6х² + 5х – 6 = 0.

5. Итог занятия.

Подвести итог занятия. Какие способы изучили на уроках,  и какие рассмотрели на сегодняшнем занятии? Являются ли они быстрыми и рациональными способами  решения? Теперь и на уроках при решении квадратных уравнений можно применять эти способы решения.

Спасибо за урок.