Урок математики в 11 классе по теме математическое моделирование

Урок математики в 11 классе

Медицинского лицея СГМУ им В.И. Разумовского

Преподаватель : учитель математики

высшей квалификационной категории Карпова Е.Б.

20.02.2014г.( в рамках работы семинара для учителей экологии)

Математическое моделирование экологических процессов

 «В каждой естественной науке

 заключено столько истины,

 сколько в ней математики»

 Иммануил Кант 

Математическое моделирование подразумевает выполнение нескольких  обязательных этапов

1.                  Перевод языка реальной ситуации на язык математики

2.                  Создание математической модели удовлетворяющей всем условиям (уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств)

3.                  Работа с полученной моделью (решение уравнения, неравенства, системы, построение графика функций)

4.                  Анализ полученных результатов.

Сложности, которые возникают при составлении математической модели при описании экологических процессов, как правило, связаны высокой многомерностью любых экологических задач. Т.е. необходимость учитывать большое число зависимых друг от друга параметров.

Кроме того необходимо понимать что, большинство экологических процессов, описываются дифференциальными уравнениями, изучение которых выходит за рамки школьного курса математики. Тем не менее, решения большинства таких задач могут быть представлены графически. А так как анализ графиков функций, как правило, проводится по одной и той же, достаточно простой схеме, то школьных знаний математики, бывает вполне достаточно для того чтобы сделать выводы и прогнозы.

Именно поэтому, говоря о математическом моделировании, мы будем сегодня в основном работать с графическими решениями известных экологических задач.

А для этого нам потребуется вспомнить, что же такое график функции.

 

А также название часто встречающихся графиков

Перечислим наиболее часто встречающиеся функции

                      

                        

Давайте вспомним применение производной к исследованию функций.

·                                 Если производная функции отрицательна

·                                 Если производная функции положительна

·                                 Если производная функции равна нулю

Давайте рассмотрим график

Ответы

1.                              24 часа

2.                              непрерывна, свойствами чётности- нечетности не обладает

3.                              Убывает (12; 15) и (19; 4)

Возрастает (15; 19) и (4; 12)

4.                              Ограничена

5.                              Отрицательна (12; 15) и (19; 4)

Положительна (15; 19) и (4; 12)

6.                              стационарные точки 12, 15, 19

критическая 4

Однако рассмотренный нами график не является единым для каждого человека

По графику видно, что только у людей среднего типа наблюдается четыре точки экстремума функции, у двух других типов их только две -  одна точка минимума и максимума.

Учебная модель: "хищник-жертва" Лотки-Вольтерра

https://batrachos.com/

О существовании биологических ритмов людям известно с древних времен.

Уже в «Ветхом Завете» даны указания о правильном образе жизни, питании, чередовании фаз активности и отдыха. О том же писали ученые древности: Гиппократ, Авиценна и другие.

Основателем хронобиологии — науки о биоритмах, принято считать немецкого врача Христофора Вильяма Гуфелянда, который в 1797 году обратил внимание коллег на универсальность ритмических процессов в биологии: каждый день жизнь повторяется в определенных ритмах, а суточный цикл, связанный с вращением Земли вокруг своей оси регулирует жизнедеятельность всего живого, включая организм человека.

В организме человека.

Диапазон периодов биоритмов широкий: от миллисекунд до нескольких лет. Их можно наблюдать, в отдельных клетках, в целых организмах или популяциях. Для большинства ритмов, которые можно наблюдать в ЦНС или системах кровообращения и дыхания, характерна большая индивидуальная изменчивость.

В последнее время довольно интересна одна теория.

Гипотеза «трех ритмов» предполагает наличие многодневных ритмов, не зависящих как от внешних факторов, так и от возрастных изменений самого организма. Пусковым механизмом этих ритмов является только момент рождения человека, при котором возникают ритмы с периодом в 23, 28 и 33 суток, определяющие уровень его физической, эмоциональной и интеллектуальной активности. Графическим изображением этих ритмов является синусоида.

Однодневные периоды, в которые происходит переключение фаз («нулевые» точки на графике) и которые, якобы, отличаются снижением соответствующего уровня активности, получили название критических дней. Если одну и ту же «нулевую» точку пересекают одновременно две или три синусоиды, то такие «двойные» или «тройные» критические дни особенно опасны

Повсеместно используется формула:

B=(sin(2pi*(t-f)/P))*100 % где P={23,28,33}

B — состояния биоритма в % либо может выражаться как состояние относительно нуля, а также состояния нарастания или спадания.

pi — число π.

t — количество дней относительно нуля единиц измерения до текущего момента.

f — количество дней от нуля единиц измерения времени до даты рождения.

P — фаза биоритма.

Построение графиков биоритмов

Исследовательская задача состоит в том, чтобы с помощью табличного процессора MS Excel составить таблицу вычисления календаря биоритмов и построения графиков биоритмов. Проанализировав входную информацию, можно сделать вывод, что траектория изменения биоритмов может быть описана функцией  SIN(2π(t-to)/Tr),

где t – время, Тr – периоды, r – номер периода.

Началом всех трех кривых является день рождения человека, когда t=to, SIN(0)=0.

Анализ задачи исследования позволяет сформулировать учебную задачу: «по дате рождения построить график биоритмов до конца месяца».

Ход работы:

1. Откройте документ Биоритмы.xsl
2. Введите  в поле «Дата рождения» (ячейка А2) свою дату рождения в формате ДД.ММ.ГГГГ (например, 11.12.1995)
3. Введите в ячейку А6 (под словом дата) формулу =СЕГОДНЯ()

4. Введите в ячейку А7 формулу =А6+1 и протяните вниз до конца месяца (зажать левой кнопкой мыши маркер в правом нижнем углу ячейки и тянуть вниз).

5. Введите в ячейку В6 следующую формулу для построения графика биоритмов:

=SIN(2*ПИ()*(A6-$A$2)/$B$4),

где А6 – текущая дата, $A$2 – абсолютная ссылка на дату вашего рождения, $B$4 – абсолютная ссылка на период графика биоритма.

!!NB!!  Абсолютная ссылка ставится нажатием клавиши F4

6. Аналогично для эмоционального и интеллектуального состояния:

7. Растягиваем значения на все даты (тянем за маркер, либо два раза на него кликаем)

8. По полученным значения строим графики биоритмов:

9. Получаем графики следующего вида: