Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок математики в 9-м классе по теме "Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок математики в 9-м классе по теме "Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия"

библиотека
материалов


Урок математики в 9-м классе по теме "Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия"



Цели урока:

  1. ознакомление учащихся с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией;

  2. знакомство с ещё одним способом обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания.

1) Проверка основных формул, связанных с арифметической и геометрической прогрессиями. Учащиеся получают тест на печатной основе


ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

__________________________

Имя, фамилия


  1. Множество чисел, следующих одно за другим, образованное по какому-нибудь правилу (закономерности), называется ……………………………………………………………..


  1. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа, называют

    1. арифметической прогрессией

    2. геометрической прогрессией

    3. алгебраической прогрессией

    4. последовательностью


  1. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называют

    1. арифметической прогрессией

    2. геометрической прогрессией

    3. алгебраической прогрессией

    4. последовательностью

  2. Последовательность задана формулой . Напишите первые пять членов данной последовательности.

  3. 4; 8; 16; 32; и т.д. ……………………………………………. прогрессия

  4. Впишите пропущенные члены последовательности:

    1. 13; _____; 11; _____ ; 9; ____ ; 7;……...

    2. _____; ____ ; 10 ; 100 ; ______; 10000.

  5. Напишите третий и четвёртый члены последовательности, а также определите разность/ знаменатель последовательности, если это последовательность является:

    1. арифметической

    2. геометрической

  • 2 ; 12; … ….

  • 3,2 ; 0,8 ; …….

  • -2 ; 8 ; …….


Затем обмениваются тестами, отмечают «+» и «- » верные и неверные ответы.

А как представить бесконечную десятичную дробь в виде обыкновенной 0, (03)? Возникла проблема : КАК и с помощью чего. Выход на новую тему



2. Изучение новой темы. (демонстрация презентации. Приложение 1)

1) Слайд №2.



Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.

В результате, мы получили последовательность сторон квадратов hello_html_m47560a13.pngобразующих геометрическую прогрессию со знаменателем hello_html_3ca53247.png.

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,

hello_html_4848420d.png

Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность. Например, последовательность площадей квадратов:

hello_html_m49d29921.png. И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.

2) Слайд №3.

Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.

hello_html_m95e7ca1.png

Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.

hello_html_m5bc53402.png

То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.

Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.

Фронтальная работа.

Записать определение: геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.

Задача №1.

Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:

а)hello_html_67e8477a.png

Решение:

а) (фронтальная работа, запись на доске)

hello_html_m30678ce0.png

hello_html_m3ffb3344.png данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

б) (самостоятельно)

hello_html_190f501a.pngданная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Продолжить работу с презентацией.

3) Слайд №4.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

hello_html_70a518e7.png

Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.

 hello_html_m5901010e.png

Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.

Рассмотрим сумму n первых слагаемых.hello_html_2b051a54.png

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна hello_html_49b3a16a.png.

Если n неограниченно возрастает, то hello_html_9b0754d.png

4) Слайд №5.

Записать определение. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому стремится сумма её первых n членов при n →hello_html_ec226f1.png. Теперь получим формулу, с помощью которой будем вычислять сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Рассмотрим формулу n первых членов геометрической прогрессии.

hello_html_m777977de.png

Тренировочные упражнения.

Задача №2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 3,вторым 0,3.

Решение:

hello_html_137c981a.png

Задача №3стр 103 , № 237 (а)Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: hello_html_m421618c5.png

Решение:

hello_html_a5acd96.png

Задача №4. 236(а)

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если hello_html_m14c7bd48.png

Решение:

hello_html_m7077502d.png

Пользуясь формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, можно записывать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.

Задача №4. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(5) в виде обыкновенной дроби.

1-й способ. Пусть х=0,(5)= 0,555… /•10         2-й способ. 0,(5)=0,555…=

hello_html_m56da17ea.png

Задача №5. Стр 103 239

Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(12) в виде обыкновенной дроби.

hello_html_40e1055d.png

Ответ: 0,(12)= 4/33.

Подведение итогов.

  1. С какой последовательностью сегодня познакомились?

  2. Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

  3. Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей?

  4. Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Самостоятельная работаЗадания (слайд №6):

  1. Является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: b7= -30; b6= 15?

  2. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: -25; -5; -1;…

  3. Записать бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(9) в виде обыкновенной дроби.

Самопроверка (слайд №7).

hello_html_m4dd71f9a.png


Домашнее задание. Стр104 , №426

Рефлексия, Уч-ся заполняют полученную ранее рефлексивную карточку. Учитель комментирует оценки.

Ученика(цы) «___»б класса _____________________________________

  • Сегодня я узнал… ______________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • Было интересно… ______________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • Было трудно… ______________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • Полезным было… ______________________________________________________________________________________________________________________________________________

  • Я выполнял(а) задания… ________________________________________________________________________________________________________________________

  • Я понял(а), что… ______________



Автор
Дата добавления 16.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров91
Номер материала ДБ-083859
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх