Урок математики в 9-м классе по теме "Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия"

Урок математики в 9-м классе по теме "Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия"

Цели урока:

1.      ознакомление учащихся с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией;

2.      знакомство с ещё одним способом обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Ход урока

1. Проверка домашнего задания.

1) Проверка основных формул, связанных с арифметической и геометрической прогрессиями. Учащиеся получают  тест на печатной основе

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

__________________________

Имя, фамилия

1. Множество чисел, следующих одно за другим, образованное по какому-нибудь правилу (закономерности), называется ……………………………………………………………..

2.  Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа,  называют

a)      арифметической прогрессией

b)      геометрической прогрессией

c)      алгебраической прогрессией

d)      последовательностью

3.  Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число,  называют

a)      арифметической прогрессией

b)      геометрической прогрессией

c)      алгебраической прогрессией

d)      последовательностью

4.  Последовательность задана формулой . Напишите первые пять членов данной последовательности.
5.    4; 8; 16; 32; и т.д. ……………………………………………. прогрессия      
6.  Впишите пропущенные члены последовательности:

a)      13; _____; 11; _____ ; 9; ____ ; 7;……...

b)      _____; ____ ; 10 ; 100 ; ______; 10000.

7.  Напишите третий и четвёртый члены последовательности, а также определите  разность/ знаменатель последовательности, если это последовательность является:

a)      арифметической

b)      геометрической

§  2 ; 12; … ….

§  3,2 ; 0,8 ; …….

§  -2 ; 8 ; …….

Затем обмениваются тестами, отмечают «+» и «- » верные и неверные ответы.

А как представить бесконечную десятичную дробь в виде обыкновенной  0, (03)? Возникла проблема : КАК и с помощью чего. Выход на новую тему

 

2. Изучение новой темы. (демонстрация презентации. Приложение 1)

1) Слайд №2.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.

В результате, мы получили последовательность сторон квадратов образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,

Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность. Например, последовательность площадей квадратов:

. И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.

2) Слайд №3.

Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.

Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.

То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.

Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.

Фронтальная работа.

Записать определение: геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.

Задача №1.

Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:

а)

Решение:

а) (фронтальная работа, запись на доске)

 данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

б) (самостоятельно)

данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Продолжить работу с презентацией.

3) Слайд №4.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.

 

Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.

Рассмотрим сумму n первых слагаемых.

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна .

Если n неограниченно возрастает, то 

4) Слайд №5.

Записать определение. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому стремится сумма её первых n членов при n →. Теперь получим формулу, с помощью которой будем вычислять сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Рассмотрим формулу n первых членов геометрической прогрессии.

Тренировочные упражнения.

Задача №2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 3,вторым 0,3.

Решение:

Задача №3стр 103 , № 237 (а)Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 

Решение:

Задача №4. 236(а)

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если 

Решение:

Пользуясь формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, можно записывать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.

Задача №4. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(5) в виде обыкновенной дроби.

1-й способ. Пусть х=0,(5)= 0,555… /•10         2-й способ. 0,(5)=0,555…=

Задача №5. Стр 103 239

Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(12) в виде обыкновенной дроби.

Ответ: 0,(12)= 4/33.

Подведение итогов.

1.      С какой последовательностью сегодня познакомились?

2.      Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

3.      Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей?

4.      Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Самостоятельная работаЗадания (слайд №6):

1.      Является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: b₇= -30; b₆= 15?

2.      Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: -25; -5; -1;…

3.      Записать бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(9) в виде обыкновенной дроби.

Самопроверка (слайд №7).

Домашнее задание. Стр104 , №426 

 Рефлексия, Уч-ся заполняют   полученную ранее рефлексивную карточку. Учитель комментирует оценки.

Ученика(цы) «___»б класса _____________________________________ ·        Сегодня я узнал… ______________________________________________________________________________________________________________________________________________ ·        Было интересно… ______________________________________________________________________________________________________________________________________________ ·        Было трудно… ______________________________________________________________________________________________________________________________________________ ·        Полезным было… ______________________________________________________________________________________________________________________________________________ ·        Я выполнял(а) задания… ________________________________________________________________________________________________________________________ ·        Я понял(а), что… ______________