Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок математики в 10-м(профильном) классе по теме: «Иррациональные уравнения»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок математики в 10-м(профильном) классе по теме: «Иррациональные уравнения»

библиотека
материалов


Урок математики в профильном классе

hello_html_16740151.gifhello_html_16740151.gifhello_html_16740151.gifhello_html_16740151.gifhello_html_16740151.gifhello_html_16740151.gifhello_html_16740151.gifhello_html_16740151.gifhello_html_16740151.gifМБОУ «Актабанская средняя общеобразовательная школа»









61006591.jpg





Общеобразовательная область «Естествознание»





2015г

Пояснительная записка.

1.Направление работы : математика , углубленное изучение математики

2.Тема урока : Иррациональные уравнения.

3.Класс 10,количество учеников-15

4.Программа : Математика 5-11кл., авт.-сост.И.И.Зубарева,А.Г.Мордкович.-М.:Мнемозина,2007г.

5.Учебник : Алгебра и начала анализа 10кл. в 2 частях .А.Г.Мордкович,П.В Семенов профильный уровень М:Мнемозина2010г.

6.Количество часов в неделю: Модуль «Алгебра и начала анализа»-4 часа в неделю

7.тема и номер урока в теме:Урок №3 Иррациональные уравнения

8.Цель урока: Отработать навыки решения иррациональных уравнений
- обучающие: Систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся      применять различные методы при решении иррациональных уравнений. Обобщить и закрепить методы решения иррациональных уравнений. Познакомить с новым нестандартным методом решения иррациональных уравнений - мажоранта
-развивающие: Развитие операций мышления (обобщение, анализа, выделение существенного). Развитие внимания. Способствовать развитию самоанализа своей деятельности, развивать умение работать по алгоритму
-воспитательные: способствовать развитию коммуникативных способностей работе в группе, способствовать развитию умения слушать и слышать товарища в индивидуальной и групповой работе. 9.Тип урока: урок -практикум
10.Методы: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
11.Формы работы учащихся: индивидуальная, работа в группе, фронтальная
12.Необходимое техническое оборудование - интерактивная доска, компьютер,
13.Тип урока: закрепление изученного материала
14.Планируемые результаты: научиться на практике находить оптимальное решение иррациональных уравнений

15. Необходимость разработки данного урока было продиктовано рядом объективных причин.Во первых

иррациональным уравнением выражаются формулы, описывающие многие физические процессы:
1.равноускоренное движение
2.1 и 2 космические скорости
3.среднее значение скорости теплового движения молекул
4.период радиоактивного полураспада и другие.
5. иррациональные уравнения использует статистика                                       

Во-вторых изучению этой темы в программе средней школы отводится минимум часов, что не соответствует объему необходимого для усвоения материала, иррациональные неравенства же изучаются только в ознакомительном порядке. Однако каждый вариант заданий  ГИА и ЕГЭ содержит не менее 2-х заданий по данной теме, что составляет от 5,4% до 14% всей работы, и они довольно часто становятся "камнем преткновения". Так как при решении иррациональных уравнений и неравенств в школе применяются тождественные преобразования, то чаще всего возникают ошибки, которые обычно связаны с потерей или приобретением посторонних корней в процессе решения. Поэтому необходимо рассмотреть такие ситуации, показать, как их распознавать и как с ними можно бороться.     Цель данной работы: разработать методику обучения решению иррациональных уравнений и неравенств в школе, а также выявить возможности использования общих методов решения уравнений при решении иррациональных уравнений и неравенств.  





Урок математики в 10-м классе по теме: «Иррациональные уравнения»

Цель урока: систематизация и актуализация знаний, умений и навыков, полученных в процессе решения всех типов иррациональных уравнений с использованием свойств уравнений и общих методов решений. Познакомить с новым нестандартным методом решения иррациональных уравнений - мажоранта. Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ.

Задачи:
- обучающие: Систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся      применять различные методы при решении иррациональных уравнений. Познакомить с новым нестандартным методом решения иррациональных уравнений - мажоранта. Подготовиться к тесту по теме «Обобщение понятия корня n- й степени»
-развивающие: способствовать развитию самоанализа своей деятельности, развивать умение работать по алгоритму Продолжить учиться самостоятельной работе с разными источниками информации, отбору необходимого, сравнению и установлению связей между известными фактами и явлениями., Продолжить формирование навыков анализа полученной информации.
-воспитательные: способствовать развитию коммуникативных способностей работе в группе, способствовать развитию умения слушать и слышать товарища в индивидуальной и групповой работе .

Оборудование: ПК, тесты, карточки с заданиями, документкамера,

интерактивная доска, мультимедиа, электронный диск «Интерактивная математика10-11кл»,

План урока

I этап. Мотивационно – ориентировочный

Организационный момент

II этап. Актуализация знаний учащихся

1.Задачи на внимание

2.Теоретическая разминка

3.Проверка домашнего задания(документкамера)

III этап. Основной

1.Электронный диск «Интерактивная математика10-11класс»

2.Решение иррациональных уравнений

3. Познакомить с новым нестандартным методом решения иррациональных

уравнений - мажоранта

4. задачи в «картинках»

5. Работа по таблицам

6. Решение задач из части С по книге «Единый государственный экзамен

IV этап. Тестирование

1.Тест

V этап. Заключительный

1.Подведение итогов урока

2.Домашнее задание

3.Рефлексия







Ход урока

«Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.

Эйнштейн

I этап. Мотивационно – ориентировочный.

Организационный момент

Приветствие, психологический настрой на работу, постановка целей и задач урока. Запись даты и темы урока в тетрадях.

II этап. Актуализация знаний учащихся.

I. Для того, чтобы хорошо работать на уроке, нужен настрой. Начнем, как всегда, с задачи на внимание. Смотрим и запоминаем.

Карточка с заданием

Учитель несколько секунд показывает карточку с заданием классу, а затем убирает её и задаёт вопросы:

Перечислите все корни, которые вы видели.

В какой геометрической фигуре расположен img2.gif (94 bytes)?

Какого цвета эта окружность?

Квадратный корень из какого числа находится в квадрате?

Какого цвета этот квадрат?

Каким цветом записан http://festival.1september.ru/articles/211614/Image7.gif?

В какой геометрической фигуре он расположен?

2. Устная работа (Теоретическая разминка)

-Как называется уравнение, содержащее неизвестную под знаком корня?
Что требуется для полученных значений переменной при решении иррациональных уравнений? (проверка)


-Способ, которым проводится проверка решений иррациональных уравнений. (подстановка)


-Как называется знак корня?( радикал)


-Сколько решений имеет уравнение х2 = а, если а < 0? (ноль)


-Как называется корень второй степени? (квадратный)


-Сколько решений имеет уравнение х2=0. (одно)


-Корень какой степени существует из любого числа? (нечетной )


-Как называется корень третей степени? (кубический)


-Сколько решений имеет уравнение х2=а, если а >0 ? (два)


-Как называется корень уравнения, который получается в результате неравносильных преобразований? (постороннний)


-Как называется равенство двух алгебраических выражений? (уравнение)


-Как называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство (корень)


-Какая черта личности поможет при решении иррациональных уравнений? (трудолюбие)


-Какой должен быть взгляд на уравнения, что бы не вычисляя сказать ответ? (пристальный)


-Как называют уравнения, если они имеют одни и те же корни или не имеют корней вообще? (равносильные)


-Как называется иррациональное выражение, содержащее противоположное арифметическое действие? (сопряженное)

3 .Проверка домашнего задания через документкамеру (работа в парах-взаимопроверка)

Задание В-5(ЕГЭ). Иррациональные уравнения.


1.

Найдите корень уравнения http://le-savchen.ucoz.ru/test/B10/B5_1.png (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

 





2.

Найдите корень уравнения http://le-savchen.ucoz.ru/test/B10/B5_2.png(в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

 





3.

Найдите корень уравнения http://le-savchen.ucoz.ru/test/B10/B5_3.png (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

 




4.

Найдите корень уравнения http://le-savchen.ucoz.ru/test/B10/B5_4.png  (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

 

 





5.

Найдите корень уравнения http://le-savchen.ucoz.ru/test/B10/B5_5.png (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

 


 





6.

Найдите корень уравнения http://le-savchen.ucoz.ru/test/B10/B5_6.png (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

 


 





7.

Найдите корень уравнения http://le-savchen.ucoz.ru/test/B10/B5_7.png (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

 


 





8.

Найдите корень уравнения http://le-savchen.ucoz.ru/test/B10/B5_8.png . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

 


 





9.

Найдите  корень уравнения http://le-savchen.ucoz.ru/test/B10/B5_9.png. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

 


 


III этап. Основной.


1.Электронный диск «Интерактивная математика10-11класс»

.Из предложенных уравнений назовите номера тех, которые являются иррациональными.

1) http://festival.1september.ru/articles/211614/Image170.gif=10;

2) http://festival.1september.ru/articles/211614/Image171.gif

3)http://festival.1september.ru/articles/211614/Image172.gif;

4) http://festival.1september.ru/articles/211614/Image173.gif;

5) http://festival.1september.ru/articles/211614/Image174.gif;

6) http://festival.1september.ru/articles/211614/Image175.gif;

7) http://festival.1september.ru/articles/211614/Image176.gif;

8) http://festival.1september.ru/articles/211614/Image177.gif;

2.Решим данные иррациональные уравнения. Ход решения объясняют у доски ученики.

1-ый ученик:

http://festival.1september.ru/articles/211614/Image178.gif

Возведём обе части уравнения в квадрат, получим:

http://festival.1september.ru/articles/211614/Image179.gif;

http://festival.1september.ru/articles/211614/Image180.gif;

http://festival.1september.ru/articles/211614/Image181.gif, http://festival.1september.ru/articles/211614/Image182.gif

Проверка.

Если http://festival.1september.ru/articles/211614/Image183.gif, то http://festival.1september.ru/articles/211614/Image184.gif, Еслиhttp://festival.1september.ru/articles/211614/Image185.gif, то http://festival.1september.ru/articles/211614/Image186.gif,

10=10-верно. 10=10-верно.

Значит, http://festival.1september.ru/articles/211614/Image187.gifкорень уравнения. Значит,http://festival.1september.ru/articles/211614/Image188.gifкорень уравнения.

Ответ. -3;3.

2-ой ученик:

1-ый способ решения.

http://festival.1september.ru/articles/211614/Image189.gif,

http://festival.1september.ru/articles/211614/Image190.gif,

Возведём обе части уравнения в квадрат, получим:

http://festival.1september.ru/articles/211614/Image191.gif,

http://festival.1september.ru/articles/211614/Image192.gif,

http://festival.1september.ru/articles/211614/Image193.gif, http://festival.1september.ru/articles/211614/Image194.gif

Проверка.

Если http://festival.1september.ru/articles/211614/Image195.gif, то http://festival.1september.ru/articles/211614/Image196.gif, Если http://festival.1september.ru/articles/211614/Image197.gif, то http://festival.1september.ru/articles/211614/Image198.gif,

5 = 1 - неверно. 8 = 8 - верно.

Значит, http://festival.1september.ru/articles/211614/Image199.gifпосторонний корень. Значит, http://festival.1september.ru/articles/211614/Image200.gifкорень уравнения.

Ответ. http://festival.1september.ru/articles/211614/Image201.gif.

2-ой способ решения (объясняет учитель).

http://festival.1september.ru/articles/211614/Image202.gif,http://festival.1september.ru/articles/211614/Image203.gif

http://festival.1september.ru/articles/211614/Image204.gif

Может ли выражение в правой части быть отрицательным? Перейдём к смешанной системе:

http://festival.1september.ru/articles/211614/Image203.gifhttp://festival.1september.ru/articles/211614/Image205.gifhttp://festival.1september.ru/articles/211614/Image206.gifhttp://festival.1september.ru/articles/211614/Image203.gifhttp://festival.1september.ru/articles/211614/Image207.gifhttp://festival.1september.ru/articles/211614/Image208.gif

Ответ. http://festival.1september.ru/articles/211614/Image209.gif

Уравнение 8) решаем самостоятельно (ученик за доской) с последующей проверкой.

http://festival.1september.ru/articles/211614/Image210.gif

http://festival.1september.ru/articles/211614/Image211.gifhttp://festival.1september.ru/articles/211614/Image212.gifhttp://festival.1september.ru/articles/211614/Image213.gif

Ответ. http://festival.1september.ru/articles/211614/Image214.gif

Вывод. 1) Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путём возведения в степень обеих частей уравнения.

2) При возведении обеих частей уравнения в чётную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение




2..Работа по таблицам (у каждого ученика имеется таблица, по которой они решают устно названное учителем уравнение, проговаривая ход решения).

http://festival.1september.ru/articles/211614/Image304.gif

3. Решение задач из части С по книге «Единый государственный экзамен»
Решение подготовлено сильной ученицей дома .

С
17. http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_m664e2a5b.gif
(Умножим обе части уравнения на выражение
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_m423295cd.gif, т.к. x = 2 не является корнем данного уравнения.)

4.Задания по карточкам

На карточках написаны иррациональные уравнения 12 типов. Устно объяснить методы решения этих уравнений (см. приложение)

Методы решения: возведение обеих частей в одинаковую степень (в квадрат) ;. общий множитель вынести за скобки и используя условие равенства нулю произведения, решить уравнения, конечно, учитывая ОДЗ.; : введение новой переменной; умножение обеих части уравнения на некоторое не обращающееся в нуль сопряженное выражение. метод оценки.;
5. Знакомство с методом мажорант.

Звучит музыка. Вы, конечно, узнали, что прозвучал музыкальный фрагмент к песне “День Победы” Давида Тухманова на слова Николая Харитонова. Эта песня посвящена Дню Победы в ВОВ нашего народа. Прозвучавшая музыка носит торжественный, жизнеутверждающий, “мажорный” характер.
В математике есть метод решения иррациональных уравнений, который называется метод мажорант. (словарь)
Слайд:
Мажоранта и миноранта – (от франц.), две функции, значение первой из которых не меньше, а второй не больше соответствующих значений данной функции.
^ Мажорирование – нахождение точек ограничения функции (словарь).
Метод мажорант – метод оценки левой и правой части уравнения.
Метод мажорант используется для решения уравнений повышенной сложности, которые соответствуют 3 части ЕГЭ.
Ведем запись в тетради. Пример решения иррационального уравнения методом мажорант.
слайд:
М – мажоранта.
Если f(х) = g(х)
и f(х) ≤ М и g(х) ≥ М,
то М = f(х) и М = g(х).
Пример: (объяснение у доски)
Решить уравнение: http://do.gendocs.ru/pars_docs/tw_refs/322/321833/321833_html_m2d69098d.gif=х2 – 6х + 11.
Решение:
О Д З: х – 2 ≥ 0 и 4 – х ≥ 0, т.е. х ≥ 2 и х ≤ 4. Значит 2 ≤ х ≤ 4.
Рассмотрим правую часть уравнения. Введём функцию у = х2 – 6х + 11.
Графиком функции является парабола с вершиной А(3;2).Наименьшее значение функции у(3) = 2.
Рассмотрим левую часть уравнения. Введём функцию g = http://do.gendocs.ru/pars_docs/tw_refs/322/321833/321833_html_m2d69098d.gif. С помощью производной найдём max функции, которая дифференцируема на (2;4).
g' = .http://do.gendocs.ru/pars_docs/tw_refs/322/321833/321833_html_m1528d49a.gif
g' = 0, еслиhttp://do.gendocs.ru/pars_docs/tw_refs/322/321833/321833_html_m2d69098d.gif= 0,
http://do.gendocs.ru/pars_docs/tw_refs/322/321833/321833_html_m4c94d6fc.gif
2х = 6,
х = 3.

http://do.gendocs.ru/pars_docs/tw_refs/322/321833/321833_html_12be600.gif

Имеем g = http://do.gendocs.ru/pars_docs/tw_refs/322/321833/321833_html_m2d69098d.gif≤2.
В результате у (3) ≥2, g (3) ≤ 2, отсюда у (3) = 2 и g (3) = 2. Из этих условий составим систему уравнений:
http://do.gendocs.ru/pars_docs/tw_refs/322/321833/321833_html_m4f35a072.gif
Решение этой системы х = 3. Это подтверждает проверка.
И так, по какому алгоритму решаются уравнения методом мажорант?

Слайд :
Метод мажорант
- Оценим левую часть
- Оценим правую часть
- Составим систему уравнений
- Сделаем вывод
- Проверка

IV этап. Тестирование

1.Тест

img1.jpg








img2.jpg



2.Задачи в картинках



 


img8.jpg



V этап. Заключительный.

Подведение итога урока. На сегодняшнем уроке повторили все об иррациональных уравнениях: определения, основные свойства,методы решения,познакомились с новым методом решения –мажорант, рассмотрели решения некоторых уравнений, включенных во 2часть заданий ЕГЭ.

Активными на уроке были …

Немного поработать еще придется …

Домашнее задание.

  1. 599 (3), № 614 (2)

  2. Повторить решение систем уравнений с двумя неизвестными.

  3. Решение заданий из книги для подготовки к ЕГЭ,варианты 1-10,№3,8.

«Да, мир познания не гладок.

И знаем мы со школьных лет

Загадок больше, чем разгадок

И поискам предела нет!»

. Задания по карточкам


На карточках написаны иррациональные уравнения 12 типов. Устно объяснить методы решения этих уравнений.

I тип. Уравнения, содержащие одинаковые радикалы.


  1. http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_1ce11104.gif


  2. http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_m96adcfb.gif


  3. http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_m1667e43c.gif


Метод решения: возведение обеих частей в одинаковую степень (в квадрат).


II тип. В левой части уравнения – произведение корней, а в правой – выражение с переменной или положительное число.

1.http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_561a0afa.gif

2.
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_33e64744.gif

3.
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_m10ef9420.gif


Метод решения: возведение обеих частей уравнения в квадрат при условии, что правая часть положительна.


III тип. Обе части уравнения содержат одинаковые множители.


      1. http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_m7541c7d4.gif


      2. http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_c866e58.gif


      3. http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_m4f73cfd4.gif


Метод решения: общий множитель вынести за скобки и используя условие равенства нулю произведения, решить уравнения, конечно, учитывая ОДЗ.


IV тип.


        1. http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_2597ed6e.gif


        2. http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_1316f93c.gif


        3. http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_311c6ced.gif


Метод решения: введение новой переменной.


V тип.


          1. http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_4c4f1638.gif


          2. http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_m6436b906.gif


Метод решения: выделение полного квадрата в подкоренном выражении.


VI тип.

http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_m414bc8bb.gif

Метод решения: возведение в квадрат, учитывая ОДЗ.


VII тип.

http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_6ef5a777.gif

Метод решения: возведение в квадрат, учитывая, что правая часть неотрицательна.


VIII тип.


              1. http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_m56072545.gif


              2. http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_m64542a4a.gif


Метод решения: введение новой переменной или применение формулы сокращенного умножения.


IX тип.

http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_m86d7efc.gif

Метод решения: иррациональное уравнение можно упростить, умножив обе части уравнения на некоторое не обращающееся в нуль сопряженное выражение.


X тип.

http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_6ca6b9be.gif

Метод решения: делим данное уравнение на http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_757fc597.gif, т.к. x = 0 не является корнем данного уравнения, затем введем новую переменную.


XI тип.

http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_79a71542.gif

Метод решения: подкоренное выражение разлагаем на множители, причем один из множителей у них общий.


XII тип.

http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_m5196d107.gif

Метод решения: метод оценки.


III. Решение задач из части С по книге «Единый государственный экзамен»


Решим следующие уравнения.

С
17. http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_m664e2a5b.gif

Указание. Умножим обе части уравнения на выражение
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_m423295cd.gif, т.к. x = 2 не является корнем данного уравнения.


С
18. http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_m5db241fd.gif

Указание. Используем формулу

http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_26ec0941.gif


С
29. http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_65420a31.gif

Указание. Умножим числитель и знаменатель левой части на
http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_m625bf422.gif.


С
58. http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_2d2b3861.gif

Указание. Привести уравнение к виду:

http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/60/59781/59781_html_m691ace24.gif




























Автор
Дата добавления 30.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров429
Номер материала ДВ-213255
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх