Урок математики в 10-м(профильном) классе по теме: «Иррациональные уравнения»

МБОУ «Актабанская средняя общеобразовательная школа»

Общеобразовательная область «Естествознание»

2015г

                                            Пояснительная записка.

1.Направление работы : математика , углубленное изучение математики

2.Тема урока : Иррациональные уравнения.

3.Класс 10,количество учеников-15

4.Программа : Математика 5-11кл., авт.-сост.И.И.Зубарева,А.Г.Мордкович.-М.:Мнемозина,2007г.

5.Учебник : Алгебра и начала анализа 10кл. в 2 частях .А.Г.Мордкович,П.В Семенов  профильный уровень М:Мнемозина2010г.

6.Количество часов в неделю: Модуль «Алгебра и начала анализа»-4 часа в неделю

7.тема и номер урока в теме:Урок №3 Иррациональные уравнения

8.Цель урока: Отработать навыки решения иррациональных уравнений
- обучающие: Систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся      применять различные методы при решении иррациональных уравнений. Обобщить и закрепить методы решения иррациональных уравнений. Познакомить с новым нестандартным методом решения иррациональных уравнений - мажоранта
-развивающие: Развитие операций мышления (обобщение, анализа, выделение существенного). Развитие внимания.  Способствовать развитию самоанализа своей деятельности, развивать умение работать по алгоритму
-воспитательные: способствовать развитию коммуникативных способностей работе в группе, способствовать развитию умения слушать и слышать товарища в индивидуальной и групповой работе. 9.Тип урока: урок -практикум
10.Методы: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный
11.Формы работы учащихся: индивидуальная, работа в группе, фронтальная
12.Необходимое техническое оборудование - интерактивная доска, компьютер,
13.Тип урока: закрепление изученного материала
14.Планируемые результаты: научиться на практике находить оптимальное решение иррациональных уравнений

15. Необходимость разработки данного урока было продиктовано рядом объективных причин.Во первых    

иррациональным уравнением выражаются формулы, описывающие многие физические процессы:
1.равноускоренное движение
2.1 и 2 космические скорости
3.среднее значение скорости теплового движения молекул
4.период радиоактивного полураспада и другие.
5. иррациональные уравнения использует статистика                                       

Во-вторых изучению этой темы в программе средней школы отводится минимум часов, что не соответствует объему необходимого для усвоения материала, иррациональные неравенства же изучаются только в ознакомительном порядке. Однако каждый вариант заданий  ГИА и ЕГЭ содержит не менее 2-х заданий по данной теме, что составляет от 5,4% до 14% всей работы, и они довольно часто становятся "камнем преткновения". Так как при решении иррациональных уравнений и неравенств в школе применяются тождественные преобразования, то чаще всего возникают ошибки, которые обычно связаны с потерей или приобретением посторонних корней в процессе решения. Поэтому необходимо рассмотреть такие ситуации, показать, как их распознавать и как с ними можно бороться.      Цель данной работы: разработать методику обучения решению иррациональных уравнений и неравенств в школе, а также выявить возможности использования общих методов решения уравнений при решении иррациональных уравнений и неравенств.  

Урок математики в 10-м классе по теме: «Иррациональные уравнения»

Цель урока: систематизация и актуализация знаний, умений и навыков, полученных в процессе решения всех типов иррациональных уравнений с использованием свойств уравнений и общих методов решений. Познакомить с новым нестандартным методом решения иррациональных уравнений - мажоранта. Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ.

Задачи:
- обучающие:  Систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся      применять различные методы при решении иррациональных уравнений. Познакомить с новым нестандартным методом решения иррациональных     уравнений -    мажоранта. Подготовиться к тесту по теме «Обобщение понятия корня n- й степени»
-развивающие: способствовать развитию самоанализа своей деятельности, развивать умение работать по алгоритму Продолжить учиться самостоятельной работе с разными источниками информации, отбору необходимого, сравнению и установлению связей между известными фактами и явлениями., Продолжить формирование навыков анализа полученной информации.
-воспитательные: способствовать развитию коммуникативных способностей работе в группе, способствовать развитию умения слушать и слышать товарища в индивидуальной и групповой работе .

   Оборудование:    ПК, тесты, карточки с заданиями, документкамера,

интерактивная доска, мультимедиа, электронный диск  «Интерактивная математика10-11кл»,

                                            План урока

I   этап.   Мотивационно – ориентировочный

Организационный момент

II  этап.   Актуализация знаний учащихся

                    1.Задачи на внимание

                     2.Теоретическая разминка

                   3.Проверка домашнего задания(документкамера)

    III этап.  Основной

                         1.Электронный диск «Интерактивная математика10-11класс»

                         2.Решение иррациональных уравнений

                         3. Познакомить с новым нестандартным методом решения иррациональных

                     уравнений -    мажоранта

                        4. задачи в «картинках»

                        5. Работа по таблицам

                        6. Решение задач из части С по книге «Единый государственный экзамен

IV этап.   Тестирование

                               1.Тест

V этап.  Заключительный

                          1.Подведение итогов урока

                          2.Домашнее задание

                          3.Рефлексия

                               Ход урока

    «Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.

                                                                                                                                                          Эйнштейн

 I   этап.   Мотивационно – ориентировочный.

                     Организационный момент

Приветствие, психологический настрой на работу, постановка целей и задач урока. Запись даты и темы урока в тетрадях.

II  этап.   Актуализация знаний учащихся.

I. Для того, чтобы хорошо работать на уроке, нужен настрой. Начнем, как всегда, с задачи на внимание. Смотрим и запоминаем.

Учитель несколько секунд показывает карточку с заданием классу, а затем убирает её и задаёт вопросы:

Перечислите все корни, которые вы видели.

В какой геометрической фигуре расположен ?

Какого цвета эта окружность?

Квадратный корень из какого числа находится в квадрате?

Какого цвета этот квадрат?

Каким цветом записан ?

В какой геометрической фигуре он расположен?

2.  Устная работа (Теоретическая разминка)

-Как называется уравнение, содержащее неизвестную под знаком корня?
Что требуется для полученных значений переменной при решении иррациональных уравнений? (проверка)

 
-Способ, которым проводится проверка решений иррациональных уравнений. (подстановка)

 
-Как называется знак корня?( радикал)

 
-Сколько решений имеет уравнение х² = а, если а < 0? (ноль)

-Как называется корень второй степени? (квадратный)

 
-Сколько решений имеет уравнение х²=0. (одно)

-Корень какой степени существует из любого числа? (нечетной )

 
-Как называется корень третей степени? (кубический)

-Сколько решений имеет уравнение х²=а, если а >0 ? (два)

-Как называется корень уравнения, который получается в результате неравносильных преобразований? (постороннний)

 
-Как называется равенство двух алгебраических выражений? (уравнение)

 
-Как называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство (корень)

-Какая черта личности поможет при решении иррациональных уравнений? (трудолюбие)

-Какой должен быть взгляд на уравнения, что бы не вычисляя сказать ответ? (пристальный)

 
-Как называют уравнения, если они имеют одни и те же корни или не имеют корней вообще? (равносильные)

 
-Как называется иррациональное выражение, содержащее противоположное арифметическое действие? (сопряженное)

3 .Проверка домашнего задания через документкамеру (работа в парах-взаимопроверка)

Задание В-5(ЕГЭ). Иррациональные уравнения.

1. Найдите корень уравнения  (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

2. Найдите корень уравнения (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).

3. Найдите корень уравнения  (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь). 4. Найдите корень уравнения   (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).   5. Найдите корень уравнения  (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь). 6. Найдите корень уравнения  (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь). 7. Найдите корень уравнения  (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь). 8. Найдите корень уравнения  . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь). 9. Найдите  корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней (в текстовое поле запишите целое число или десятичную дробь).                                 III этап.  Основной. 1.Электронный диск «Интерактивная математика10-11класс» .Из предложенных уравнений назовите номера тех, которые являются иррациональными. 1) =10; 2) 3); 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 2.Решим данные иррациональные уравнения. Ход решения объясняют у доски ученики. 1-ый ученик: Возведём обе части уравнения в квадрат, получим: ; ; , Проверка. Если , то , Если, то , 10=10-верно. 10=10-верно. Значит, корень уравнения. Значит,корень уравнения. Ответ. -3;3. 2-ой ученик: 1-ый способ решения. , , Возведём обе части уравнения в квадрат, получим: , , , Проверка. Если , то , Если , то , 5 = 1 - неверно. 8 = 8 - верно. Значит, посторонний корень. Значит, корень уравнения. Ответ. . 2-ой способ решения (объясняет учитель). , Может ли выражение в правой части быть отрицательным? Перейдём к смешанной системе: Ответ. Уравнение 8) решаем самостоятельно (ученик за доской) с последующей проверкой. Ответ. Вывод. 1) Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путём возведения в степень обеих частей уравнения. 2) При возведении обеих частей уравнения в чётную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение

            2..Работа по таблицам (у каждого ученика имеется таблица, по которой они решают устно названное учителем уравнение, проговаривая ход решения).

3. Решение задач из части С по книге «Единый государственный экзамен»
Решение подготовлено сильной ученицей дома .

С₁₇.
(Умножим обе части уравнения на выражение , т.к. x = 2 не является корнем данного уравнения.)

      4.Задания по карточкам

        На карточках написаны иррациональные уравнения 12 типов. Устно объяснить методы решения этих уравнений (см. приложение)

Методы решения:  возведение обеих частей в одинаковую степень (в квадрат) ;. общий множитель вынести за скобки и используя условие равенства нулю произведения, решить уравнения, конечно, учитывая ОДЗ.; : введение новой переменной; умножение обеих части уравнения на некоторое не обращающееся в нуль сопряженное выражение. метод оценки.;
5. Знакомство с методом мажорант.

Звучит музыка. Вы, конечно, узнали, что прозвучал музыкальный фрагмент к песне “День Победы” Давида Тухманова на слова Николая Харитонова. Эта песня посвящена Дню Победы в ВОВ нашего народа. Прозвучавшая музыка носит торжественный, жизнеутверждающий, “мажорный” характер.
В математике есть метод решения иррациональных уравнений, который называется метод мажорант. (словарь)
Слайд:
Мажоранта и миноранта – (от франц.), две функции, значение первой из которых не меньше, а второй не больше соответствующих значений данной функции.
^ Мажорирование – нахождение точек ограничения функции (словарь).
Метод мажорант – метод оценки левой и правой части уравнения.
Метод мажорант используется для решения уравнений повышенной сложности, которые соответствуют 3 части ЕГЭ.
Ведем запись в тетради. Пример решения иррационального уравнения методом мажорант.
слайд:
М – мажоранта.
Если f(х) = g(х)
и f(х) ≤ М и g(х) ≥ М,
то М = f(х) и М = g(х).
Пример: (объяснение у доски)
Решить уравнение: =х2 – 6х + 11.
Решение:
О Д З: х – 2 ≥ 0 и 4 – х ≥ 0, т.е. х ≥ 2 и х ≤ 4. Значит 2 ≤ х ≤ 4.
Рассмотрим правую часть уравнения. Введём функцию у = х2 – 6х + 11.
Графиком функции является парабола с вершиной А(3;2).Наименьшее значение функции у(3) = 2.
Рассмотрим левую часть уравнения. Введём функцию g = . С помощью производной найдём max функции, которая дифференцируема на (2;4).
g' = .
g' = 0, если= 0,

2х = 6,
х = 3.



Имеем g = ≤2.
В результате у (3) ≥2, g (3) ≤ 2, отсюда у (3) = 2 и g (3) = 2. Из этих условий составим систему уравнений:

Решение этой системы х = 3. Это подтверждает проверка.
И так, по какому алгоритму решаются уравнения методом мажорант?

Слайд :
Метод мажорант
- Оценим левую часть
- Оценим правую часть
- Составим систему уравнений
- Сделаем вывод
- Проверка

IV этап.   Тестирование

1.Тест

2.Задачи в картинках

  V этап.  Заключительный.            

 Подведение итога урока. На сегодняшнем уроке повторили все об иррациональных  уравнениях: определения, основные свойства,методы решения,познакомились с новым методом решения –мажорант,  рассмотрели решения некоторых уравнений, включенных  во 2часть заданий ЕГЭ.

 Активными на уроке были  …

Немного поработать еще придется  …

Домашнее задание.

1)     № 599 (3),  № 614 (2)

2)     Повторить решение систем уравнений с двумя неизвестными.

3)     Решение заданий из книги для подготовки к ЕГЭ,варианты 1-10,№3,8.

                                                        «Да, мир познания не гладок.      

                                                                       И знаем мы со школьных лет                                                      

                                                                        Загадок больше, чем разгадок

                                                                            И поискам предела нет!»                                             

. Задания по карточкам


На карточках написаны иррациональные уравнения 12 типов. Устно объяснить методы решения этих уравнений.

I тип. Уравнения, содержащие одинаковые радикалы.

1. 
   
2. 
   
3. 
   

Метод решения: возведение обеих частей в одинаковую степень (в квадрат).


II тип. В левой части уравнения – произведение корней, а в правой – выражение с переменной или положительное число.

1.

2.

3.

Метод решения: возведение обеих частей уравнения в квадрат при условии, что правая часть положительна.


III тип. Обе части уравнения содержат одинаковые множители.

1. 
   
2. 
   
3. 
   

Метод решения: общий множитель вынести за скобки и используя условие равенства нулю произведения, решить уравнения, конечно, учитывая ОДЗ.


IV тип.

1. 
   
2. 
   
3. 
   

Метод решения: введение новой переменной.


V тип.

1. 
   
2. 
   

Метод решения: выделение полного квадрата в подкоренном выражении.


VI тип.



Метод решения: возведение в квадрат, учитывая ОДЗ.


VII тип.



Метод решения: возведение в квадрат, учитывая, что правая часть неотрицательна.


VIII тип.

1. 
   
2. 
   

Метод решения: введение новой переменной или применение формулы сокращенного умножения.


IX тип.



Метод решения: иррациональное уравнение можно упростить, умножив обе части уравнения на некоторое не обращающееся в нуль сопряженное выражение.


X тип.



Метод решения: делим данное уравнение на , т.к. x = 0 не является корнем данного уравнения, затем введем новую переменную.


XI тип.



Метод решения: подкоренное выражение разлагаем на множители, причем один из множителей у них общий.


XII тип.



Метод решения: метод оценки.


III. Решение задач из части С по книге «Единый государственный экзамен»


Решим следующие уравнения.

С₁₇.

Указание. Умножим обе части уравнения на выражение , т.к. x = 2 не является корнем данного уравнения.


С₁₈.

Указание. Используем формулу




С₂₉.

Указание. Умножим числитель и знаменатель левой части на .


С₅₈.

Указание. Привести уравнение к виду: