Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок на дидактической основе

Урок на дидактической основе

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«средняя общеобразовательная школа № 4» с.Прохоры




Урок на дидактической основе:

«Решение неравенств методом интервалов»

9 класс



Составила: учитель математики

МБОУ «СОШ №4»

Дудко Ю.А.





г.о. Спасск – Дальний

2016 год


Оглавление.



  1. Пояснительная записка 3 - 6

  2. Конспект урока 7 - 14

  3. Приложения 15 - 21

  4. Список литературы 22







Пояснительная записка.

Математическое образование в системе основного общего образования занимает одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.

Актуальным остается вопрос дифференциации обучения математике, позволяющей, с одной стороны, обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой – удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.

Учебная деятельность должна доставлять радость новых открытий, способствовать реализации потребности в творчестве всем участникам образовательного процесса. В современном образовательном процессе личностно-ориентированное образование выступает на первый план. Для того чтобы реализовать на уроке личностно-ориентированный подход к обучению, необходимо особое конструирование учебного текста, контроль над развитием ученика на каждом этапе урока, постоянная смена деятельности, применение разнообразных форм (работа в парах, группах, система индивидуальных заданий) и методов обучения (исследовательский, метод проблемного изложения), большое количество дидактического материала и руководства по работе с ним для учащихся.

Конспект урока «Решение неравенств методом интервалов» составлен на основе личностно-ориентированного подхода к обучению с использованием различных методов деятельности учащихся, соответствует возрастным особенностям учащихся. Разработку урока целесообразно применять по теме «Метод интервалов» в курсе алгебры 9 класса, на которую отводится 4 учебных часа. Методом интервалов (иногда его называют также методом промежутков), называется метод решения неравенств, основанный на исследовании смены знаков функции. Эта тема актуальна, так как данный метод находит применение в широком круге задач, в частности, при решении линейных неравенств, квадратных неравенств, рациональных неравенств. Данный урок позволяет сделать достаточный обзор не только изученных типов неравенств, а также неравенств более высокого уровня сложности. Решение таких задач будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы с заданием более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, формированию математической культуры учащихся.

Это третий урок по теме. Перед данной темой изучается способ решения квадратных неравенств графическим способом. Уже через несколько уроков графический способ решения квадратных неравенств отходит на второй план, так как в дальнейшем рассматривается решение рациональных неравенств методом интервалов. Разработка урока соответствует современным достижениям педагогики.



Цель урока:


формирование умений применять метод интервалов для решения неравенств высоких степеней.

Задачи урока:

Образовательная:

  • способствовать сформировать умение пользоваться опорными знаниями в новой ситуации;

  • формированию умений решать методом интервалов неравенства высоких степеней.

Воспитательная:

  • развивать рациональное общение;

  • развивать личностные качества (забота, поддержка, помощь ближнему, сопереживание);

воспитывать компетентность в сфере самостоятельной познавательной деятельности учащихся


Развивающая:

  • развивать самостоятельность учащихся; умения делать выводы;

  • развивать математическую логику, математическую речь, кругозор, познавательный интерес к предмету.

Тип урока: комбинированный.

Формы организации работы детей: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Формы организации работы учителя:

  • словесно-иллюстративный, репродуктивный, проблемный;

  • организация восприятия новой информации;

  • обобщение изучаемого материала на уроке.



Оборудование: образец решения домашнего задания (Приложение 1), карточки с алгоритмом решения неравенств методом интервалов (Приложение 2), презентация (Приложение 3), карточки с заданиями для самостоятельной работы (Приложение 4), лесенка успеха(Приложение 5), оценочный лист (приложении 6), проектор, экран.

Предварительная подготовка: за день класс разбивается на группы, в каждой назначается консультант.

Эффективность урока: повышается плотность урока (информативная, деятельностная). Осуществляется активизация учебной деятельности. Осуществляется организация по развитию устной и письменной математической речи. Проведение урока в данной форме позволяет привлечь внимание максимально возможного числа учащихся к теме урока, добиться более высокого уровня качественной успеваемости по предмету, приводит ЗУН в систему и вносит элементы новизны в ранее изученный материал.

Технические указания: при проведении урока в такой форме оптимально сочетаются фронтальные, индивидуальные, групповые формы работы. На уроке такого типа обеспечена смена деятельности учащихся, что не дает им уставать, реализуется принцип взаимопомощи детей при обсуждении прошлого материала и при изучении нового, создается эмоциональный положительный настрой. Диагностика осуществляется на каждом этапе урока через самоконтроль, взаимоконтроль, контроль и коррекцию учителем деятельности учеников. За урок все учащиеся получат оценки.

Критерии оценки:

Оценка за урок складывается из:

  • оценки за ответы на теоретические вопросы

  • оценки за выполнение заданий устного счета

  • оценки за тренировочную самостоятельную работу

  • оценки за тест.

Оценка 5 ставится, если ученик справился со всеми заданиями опроса, принимал активное участие в работе группы, отлично справился с самостоятельной работой и тестом.

Оценка 4 ставится, если ученик справился со всеми заданиями опроса, принимал активное участие в работе группы, допустил ошибку в самостоятельной работе и хорошо или отлично справился с тестом.

Оценка 3 ставится, если ученик справился со всеми заданиями опроса, был малоактивен в работе группы, допустил ошибку в самостоятельной работе и в тесте.

Результативность урока: опыт проведения таких уроков показывает, что

- задействовано учащихся на уроке 85-90%;

- успевающих – 90-95%;

- успевающих на «4» и «5» - 65-70%.

Предполагаемый результат: учащиеся учатся применять изученный метод в новой ситуации, овладевают способом решения неравенств высоких степеней методом интервалов, развивают навыки применения своих знаний в новых ситуациях, продолжают развивать умения проводить тождественные преобразования алгебраических выражений, свободно оперировать аппаратом алгебры при решении задач, творческие способности.









Урок по теме: «Решение неравенств методом интервалов», 9 класс.

Учебник: Алгебра.9 класс. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, М.: Просвещение, 2011.

Этап урока, время.

Цель этапа.

Деятельность учителя.

Деятельность ученика.

Универсальные учебные действия.

1.Организационный

момент.

2 мин.

Мобилизация учеников для активной работы на уроке. Мотивация учебной деятельности и формулирование цели и задачи урока.

Взаимное приветствие учащихся, фиксация отсутствующих.

- Добрый день, ребята. Какое настроение у вас? Давайте поделимся друг с другом своим хорошим настроением. Повернитесь к своему соседу по парте, улыбнитесь ему. Пожелаем друг другу успехов

Сегодня у нас урок по теме “ Решение неравенств методом интервалов ” (слайд 1). Повторяем, обобщаем, знакомимся с новым.

Перед вами стоит задача – показать свои знания и умения по решению неравенств методом интервалов и применение их в новой ситуации.


Слушают учителя, настраиваются на учебную деятельность. Записывают в тетрадях число и тему урока.


2.Актуализация знаний учащихся:

10 мин.




личностные: умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи


а) проверка домашнего задания;

Установление правильности и осознанности выполнения домашнего задания. Устранение обнаруженных пробелов.

Образец выполненного домашнего задания вывешивается на доске перед уроком на перемене (приложение 1).

- Поднимите руки те, у кого возникли вопросы по домашнему заданию.

Проверяют домашнюю работу по образцу, исправляют ошибки на перемене, в начале урока задают вопросы, которые возникли при проверке.


б) устный счет.

Воспроизведение и коррекция опорных знаний.

  1. Предлагает повторить вопросы теории в парах. Вопросы теории (слайд 2).



В это время 2 ученикам дает задание у доски по карточке (приложение 2). собрать этапы решения неравенств методом интервалов в единый алгоритм.

Предлагает проверить полученные результаты (приложение 2),

2)Выполнение устных упражнений (слайд 3):

  • Найдите нули функции: а) y2+ 7х +10;

б) у=х2(х-2)(х+4);

в) у=х3- 64;

г) у=hello_html_m2cd45d46.gif



  • Решите неравенство методом интервалов:

а) (х+3)(х-4)≥0; б) х2- 4≤0; в) hello_html_m23a05fe3.gif≥0.

Подводит итоги устного счета, выставление оценок (приложение 6).

Взаимопроверка в парах, отвечают на теоретические вопросы по очереди. Выставляют оценки (приложение 6).



2 человека у доски работают индивидуально. Коллективное обсуждение выполненного задания.

Выполняют устные упражнения и по просьбе учителя сигналят ответы, записывая их в тетрадях для устного счета.


3.Изучение нового материала.

15 мин.

Постановка проблемы и поиск путей ее решения.

Обобщение и систематизация раннее известного приема решения для его унифицирования и записи этого решения в виде алгоритма.

- Метод интервалов - наиболее удобный и универсальный способ решения любых неравенств. Он позволяет решать более сложные неравенства, у которых левая часть - многочлен любой степени, представляемый в виде простых множителей, или дробь, у которой числитель и знаменатель также многочлены, разлагаемые на множите. Профессор Копенгагенского университета, специалист по истории математики Г. Цейтен говорил, что "Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на разнообразных примерах".

Предлагает каждой группе, состоящей из 4 человек, попробовать решить неравенство, используя алгоритм (приложение 2).

Пример 1. Решим неравенство (х+5)6(х+2)3х(х-1)2(х-3)5≥0(слайд4).

Решение:

Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель (х-х0), то говорят, что х0- корень многочлена кратности k.

Рассмотрим функцию f(x)=(х+5)6(х+2)3х(х-1)2(х-3)5 .D(f)=R.

Нули функции: х1= -5 кратности 6; х2= - 2 кратности 3; х3=0 кратности 1; х4= 1 кратности 2; х5=3 кратности 5.

Отметим нули функции на координатной прямой. Корни четной кратности подчеркнем двумя черточками, нечетной кратности - одной чертой.

D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\img2.gif

Определим знак функции на каждом из полученных промежутков.

img1.gif (1934 bytes)

Выберем промежутки, в которых функция f(x) ≥ 0.

D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\img1.gif

Из рисунка видно, что решением неравенства являются D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\Image139.gif

Ответ: D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\Image139.gif.



- Внимательно посмотрите на рисунок, что можно заметить?







- Давайте проверим, подтвердится ли данное наблюдение при решении следующих неравенств. (Коллективная работа у доски над неравенствами (слайд 5)).



- Чтобы ускорить процедуру расстановки знаков функции на промежутках предлагаю приводить начальное неравенство к стандартному виду.

- Итак, еще раз повторим, что происходит со знаком в таких неравенствах.

- Чтобы не менять алгоритм решения будем подрисовывать “ушко” и проставлять знаки так же справа налево, учитывая “ушко”.



Пример 2. решить неравенство ( х2+2)(3-х)2(7-х)(х+5)3≥0(слайд5).

























Предлагает каждой группе, состоящей из 4 человек, попробовать решить неравенство, используя алгоритм.

Пример 3. Решить неравенство hello_html_m1a577f17.gif

Решение:

Введем функцию f(x)=hello_html_1b35bf5a.gif.

Найдем D(f).

,hello_html_7ebeedba.gif = х(5-х)(х+2) 0,откуда х0, х5, х -2.

Разложим в числителе квадратный трехчлен на множители, получим hello_html_161eedee.gif.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули функции и определим их кратность: х =1 (четная кратность), остальные корни 3, -1, 0, 5, -2 (нечетной кратности). Отмечаем нули функции на координатной прямой с учетом области определения неравенства и определим знаки на промежутках с учетом кратности корней.

D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\Image153.gif.

Ответ: D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\Image153.gif.












Каждая группа высказывает предположения о ходе решения неравенства, опираясь на изученный алгоритм. Всем классом обсуждают план решения, затем вместе с учителем на доске и в тетрадях записывают решение.











































Делают вывод:

- При переходе через точки четной кратности смена знаков не произошла, при переходе через точки нечетной кратности - знак меняется.











-Если множитель в четной степени, то знак функции слева и справа от данного нуля функции будет одинаковым.



Коллективная работа. Выполняют решение неравенства в тетради, 1 ученик у доски комментирует решение.

Решение: приведем неравенство к стандартному виду ( х2+2)(х-3)2(х-7)(х+5)3≤0 . Разделили левую и правую часть на выражение х2 + 2 > 0. Далее решаем по алгоритму. 1) Вводим функцию:

f(x)= (х-3)2(х-7)(х+5)3
D(f):R

2). Нули функции: x=3, x=7, x=-5



D:\уроки открытые\Решение рациональных неравенств методом интервалов Начни сначала Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\img07.gif





Высказывают предположения о ходе решения неравенства, опираясь на изученный алгоритм. Обсуждают план решения, затем вместе с учителем на доске и в тетрадях записывают решение.






личностные: проявление инициативы, находчивости при решении заданий

метапредметные: умение применять знания в нестандартной ситуации















































личностные: умение грамотно излагать свои мысли в письменной речи

предметные: овладение умениями решения квадратных неравенств высшей степени методом интервалов




4.Динамическая пауза.

2 мин.


Расслабимся, не отходя от математики:

1. Покажите направление ветвей параболы, если старший коэффициент квадратичной функции, а>0 ,а<0

2. Покажите направление оси абсцисс левой рукой, а оси ординат правой рукой. Теперь покажите это быстро.


Выполняют упражнения, не вставая со своих мест.


5.Закрепление изученного материала.

5

Усвоение ведущей идеи урока на основе систематизации знаний полученных на предыдущих этапах урока, устранение пробелов в понимании изученного.

Предлагает учащимся решить неравенства (слайд 6) по вариантам, используя полученные знания. В это же время 2 ученикам-консультантам предлагает решать неравенства на закрытой доске.

Консультирует, корректирует деятельность учащихся.

- Давайте проверим решение неравенств.

- Поднимите руки те, кто выполнил работу без ошибок. Молодцы. Спасибо тем, кто работал у доски.

- Как же решить неравенство высшей степени?

Выполняют задания. Два ученика работают на закрытых досках.



Проверяют решения по образцу, выполненному консультантами на доске; задают вопросы, возникшие в ходе решения. Фиксируют результат работы знаком «+» или « - » в оценочных листах.



Делают вывод:

  1. Для решения неравенства важно определить кратность нулей функции.

  2. При переходе через точку четной кратности знак функции не меняется.

  3. При переходе через точку нечетной кратности знак функции меняется.

личностные: проявление активности при решении заданий, умение ясно излагать свои мысли

метапредметные: умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом




6.Самостоятельная работа.

Проверка усвоения способа решения неравенств высшей степени.

- Предлагаю вам выполнить самостоятельно тест (приложение3), который состоит из трех заданий. Ваша задача обвести правильный ответ. На работу отводится 10 мин.

- Предлагаю выполнить взаимопроверку результатов, используя коды верных ответов и критерии (слайд 7)





- Сколько «5», «4», «3»?

Самостоятельное выполнение теста.

Меняются работой со своим соседом по варианту, проверяют ее в соответствии с критериями, выставляют оценку за работу.


личностные: умение грамотно излагать свои мысли в письменной речи, умение оценить свою деятельность

предметные: умение применять изученные методы при решении заданий


7.Итог урока.

Домашнее задание





















































Рефлексия.

Обеспечение учащихся информацией о содержании и способах выполнения домашнего задания.



















Рефлексия учащимися своей деятельности, самооценка работы на уроке.

Предлагает учащимся передать тесты с выставленными оценками. Подводит итоги урока по результатам работы учеников, выясняет, какие возникли трудности и как их можно корректировать. Дает домашнее задание, которое состоит из 2-х частей: I- репродуктивного характера, для учащихся, имеющих репродуктивный уровень обучения, II- предполагает использование и закрепление различных ЗУН, проявление творческих способностей.

- Наш урок подошел к концу. Вы все хорошо потрудились. На каких этапах урока у вас возникли трудности? Достигли мы цели урока? Я тоже весь урок наблюдала за вашей работой и оценила ваши старания следующим образом …(объявляет оценки за урок и комментирует их).

- Теперь запишите домашнее задание, которое состоит из 2-х частей. Первая часть – для всех обязательна, вторая – для тех, кто желает знать больше.

Домашнее задание:hello_html_36a9682a.gif

I -№ 390 стр.102.

II№1. Решите неравенство:

а) hello_html_480434eb.gif

б) hello_html_m631e6cfe.gif



Мобилизует учащихся на рефлексию своей деятельности.

- Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, - это быть точным, второе - быть ясным и, насколько можно, простым. (Л. Карно)

Оцените свою работу на уроке (лесенка успеха). (Приложение 5).





1

Многое не понял (а) и остались вопросы

2

Во время работы было много трудностей

3

Многое понял (а), но были ошибки

4

Трудности преодолены



- Урок закончен. Всем спасибо за работу.



Осмысливают полученную информацию, записывают домашнее задание.

























Осмысливают свою деятельность на уроке, производят самооценку, выясняют что удалось, какие возникли сложности в ходе выполнения заданий.

личностные: умение контролировать результат учебной деятельности

предметные: умение применять изученные методы при решении заданий









Приложение 1.

329. № 334 (а, в).

а) (х+9)(х-2)(х-15)<0. у=(х+9)(х-2)(х-15). а)(х-5)/(х+6)<0. у=(х-5)/(х+6).

D (у) = R. D (y): х≠-6.

Нули функции: х=-9, х=2, х=15. Нули функции: х=5.



Ответ:(-∞;-9)(2;15). Ответ:(-6;5).

б) х(х-5)(х+6)>0. у= х(х-5)(х+6). в) 2х/(х-1,6)>0. у= 2х/(х-1,6).

D (у) = R. D (y): х≠1,6.

Нули функции: х=0, х=5, х=-6. Нули функции: х=0.



Ответ:(-6;0)(5;+∞). Ответ:(-∞;0)(1,6;+∞).

в) (х-1)(х-4)(х-8)(х-16)<0. у=(х-1)(х-4)(х-8)(х-16).

D (у) = R.

Нули функции: х=1, х=4, х=8, х=16.



Ответ:(1;4)(8;16).



Для тех, кто хочет знать больше.

Найдите среднее арифметическое целых решений неравенства ((х-6)(х+6))/(х(х+6)) <0.

у=((х-6)(х+6))/(х(х+6)) . D (y): х≠0, х≠-6.

Нули функции: х=6, х=-6. Среднее арифметическое : (1+2+3+4+5):5=3.

х(0;6).

Ответ: 3.















Приложение 2.



Алгоритм решения неравенства методом интервалов.





  1. Привести неравенство к виду f (x)> (<) 0. Выделить функцию у = f (x).



  1. Найти область определения функции.



  1. Найти нули функции, решив уравнение f (x)=0.



  1. Отметить нули функции на координатной прямой с учетом области определения и определить знак каждого промежутка.





Приложение 3.

hello_html_388047ad.gifhello_html_m2a5dcbf6.gifhello_html_2cd2cdee.gif

hello_html_m5637185a.gifhello_html_31911a45.gifhello_html_ma6876bc.gif

hello_html_m3be92e01.gifhello_html_mb80b85a.gif



Приложение 4.

Тест

I вариант.

Задание

Ответы

а

б

в

1.Решите неравенство (х – 1)2(х + 1)7(7 – х)21 <0

(-hello_html_m28628755.gif; -1) (7; +hello_html_m28628755.gif)

(-1;7)

(-1;1) (1;7)

2.Решите неравенствоD:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\Image158.gif

D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\Image159.gif

D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\Image160.gif

D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\Image161.gif

3. Найдите область определения функции D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\Image162.gif

D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\Image163.gif

D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\Image164.gif

D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\Image165.gif

II вариант.

Задание

ответы

а

б

в

1.Решите неравенство (х – 3)2(х – 4)3(5 – х)41>0

(3;4) (4;5)

(4;5)

(-hello_html_m28628755.gif;3)(5; +hello_html_m28628755.gif)

2. Решите неравенство D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\Image170.gif

D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\Image171.gif

D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\Image172.gif

D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\Image173.gif

3. Найдите область определения функции D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\Image174.gif

D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\Image175.gif

D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\Image176.gif

D:\уроки открытые\Тема урока Простой способ решения непростых неравенств Статьи Фестиваля «Открытый урок»_files\Image177.gif





Приложение 5.

1

Многое не понял (а) и остались вопросы

2

Во время работы было много трудностей

3

Многое понял (а), но были ошибки

4

Трудности преодолены

Лесенка успеха.



















Приложение 6.

Оценочный лист.


Фамилия имя

учащегося

Оценка


Вопросы теории

Устный счет

Работа в группе

Самостоятельная

работа

Тест

Итоговая

оценка

1.







2.







3.







4.
















Литература.

  1. Учебник: Алгебра-9 класс, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, М.: Просвещение, 2011.

  2. Рурукин А.Н., Полякова С.А., Поурочные разработки по алгебре: 9 класс. - М.: ВАКО, 2010 - (В помощь школьному учителю).

  3. Модуль Решение неравенств методом интервалов. К1 http://www.eor.edu.ru/card/8604/reshenie-neravenstv-metodom-intervalov-k1.htmlна сайте http://fcior.edu.ru/

  4. Шаблон презентации с сайта http://www.rusedu.ru/detail_9737.html.

  5. Ковалева Г.И., Уроки математики в 9 классе. Поурочные планы.- Волгоград, издательство «Учитель», 2002.

  6. Задания для подготовки к письменному экзамену по математике в 9 классе: пособие для учителя/ Л.И. Звавич и др.- М.: Просвещение,1999.






23


Автор
Дата добавления 11.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров72
Номер материала ДВ-442641
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх