Урок на тему "Геометрический смысл производной"

Тема занятия: Геометрический смысл производной.

Преподаватель: Борисова Елена Владимировна

Тип занятия: Лекция

Цели (образовательные): Вывод геометрического смысла производной. Решение задач.

Цели (развивающие): Способность анализировать.

Ход занятия:

1.       Повторение: понятие производной, вычисление производной. (в форме диалога со студентами)

2.       Теоретическая часть: Вывод геометрического смысла производной.

3.       Самостоятельное решение примеров.

4.       Проверка решенных примеров. (в малых группах)

5.       Подведение итогов.

6.       Домашнее задание.

Геометрический смысл производной.

 

Рассмотрим непрерывную кривую y=f(x) на отрезке [a,b].  Зафиксируем на кривой точку A(x₀,y₀) 

и перемещающуюся точку B(x,y).

Определение 1. Прямая, проходящая через две точки кривой называется секущей.

 

              у                                              В

           

                                         А

             у₀                                                    С

 

                                 а      х₀                    х        b

Тогда АВ – секущая. Угол между осью Ох и АВ обозначим ϕ. Проведем через точку А прямую параллельно оси Ох и через В параллельно Оу, их пересечение обозначим С.

Рассмотрим Δ АВС:  угол А=ϕ  => 

Проведем касательную в точке А и обозначим угол между ней и осью Ох α.

Будем стремить точку В к точке А. Тогда секущая АВ будет стремиться принять положение касательной в точке А. Тогда B -> A, Δx -> 0, ϕ -> α.

Геометрический смысл производной. Производная функции в точку равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Определение 2. Нормалью к кривой в точке (х₀,у₀) называется перпендикуляр к касательной в этой точке.

Уравнение касательной к кривой f(x) в точке (х₀,у₀) имеет вид

Уравнение нормали к кривой f(x) в точке (х₀,у₀) имеет вид

№1. Составить уравнение касательной и нормали к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x₀.

1)      y=x²-4, x₀=3

2)      y=x-x² , x₀=-4

3)      y=x³+1, x₀=-1

4)      , x₀=-1

5)    , x₀=4                                                Построить графики

6)    , x₀=          

7)    , x₀=

Домашнее задание

8)      , x₀=0

9)    , x₀=0

10)   , x₀=-3

11)   , x₀=