Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок на тему Геометрический смысл производной

Урок на тему Геометрический смысл производной

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_6f98ef6a.gifhello_html_6f98ef6a.gifhello_html_6f98ef6a.gifhello_html_6f98ef6a.gifhello_html_6f98ef6a.gifhello_html_6f98ef6a.gifhello_html_6f98ef6a.gifГеометрический смысл производной

Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны знать следующие темы: «производная степенной функции», «Правила дифференцирования», «Производные некоторых элементарных функций», «Геометрический смысл производной», уметь составлять уравнения касательной.

Цели урока:

1) образовательная: повторение определения углового коэффициента прямой, угла прямой и осью Ох; геометрического смысла производной, проверка знаний об уравнении касательной к графику функции;

2) воспитательная: воспитание познавательного интереса;

3) развивающая: развитие внимания и умения применять теоретические знания на практике.

Оборудование: записи на доске, проектор, тест.

Тип урока: урок-смотр знаний.



















Ход урока

I. Организационный момент.

(Сообщение темы и целей урока).


II. Повторение.

Задание 1. Тест.

Задания этого типа предусматривают индивидуальную работу с последующей взаимопроверкой.

На слайдах отображаются задания с перечнем ответов для выбора, но на них не отмечаются правильные ответы, так как они будут представлены позже общим списком на отдельном слайде, чтобы ученики смогли самостоятельно осуществить взаимопроверку.


Слайд 1. - 1. Если k – угловой коэффициент касательной к графику функции y = (x) в точке (х0; (х0)) и α – угол между касательной и осью Ох, то геометрический смысл производной состоит в том, что:

а) k = '(x);

б) k = '(x0);

в) k = α;

г) tg α = (x).


Слайд 2. - 2. Уравнение касательной к графику функции y = (x) в точке (х0; (х0)) имеет вид:

а) y = '(x) + '(x0)(xx0);

б) y = (x0) - '(x)(xx0);

в) y = (x0) + '(x0)(xx0);

г) y = '(x0)(xx0) - (x0).


Слайд 3. - 3. Угол между касательной к графику функции y = cos x в точке (0;1) и осью Ох равен:

а) hello_html_50661fa5.gif;

б) hello_html_m2bf5a2e4.gif;

в) hello_html_1efe9eb4.gif;

г) 0.

Слайд 4. - 4. Если y = kx + b и k = tg α, то α – это угол:

а) между прямой y = kx + b и осью Ох;

б) между прямой y = kx + b и осью Оу;

в) между осями Ох и Оу;

г) между прямой y = kx + b и прямой y = kx.


Слайд 5. - 5. Угловой коэффициент касательной к графику функции (х) = lnх в точке с абсциссой х0 = 2 равен:

а) 1;

б) 2;

в) hello_html_6eec8aff.gif;

г) hello_html_685d8d49.gif.


Слайд 6. - 6. Угол между прямой и осью Ох отсчитывается от положительного направления оси против часовой стрелки к прямой. Если угловой коэффициент касательной k < 0, то угол между касательной и осью Ох:

а) прямой;

б) развернутый;

в) острый;

г) тупой.

Слайд 7. - 7. Если графики функций у = k1x + b1 и y = k2x + b2 параллельны, то:

а) k1 = k2;

б) k1 > k2;

в) b1 = b2;

г) k1 < k2.


Слайд 8.

1. Б

2. В

3. Г

4. А

5. В

6. Г

7. А.




Задание 2. Запишите алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y = (x) в точке с абсциссой х0.


Алгоритм:

Текст указывается на слайде.

1) общий вид уравнения касательной: y = (x0) + '(x0)(xx0);

2) найти (x);

3) найти '(x);

4) найти '(x0);

5) подставить в уравнение касательной числовые значения (x0), '(x0), х0;

6) упростить полученное выражение.


- Проведем взаимопроверку. Проверяем тест.

- Оцените тест.


III. Практическая работа.

Задание 3. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с данной абсциссой х0.

(Выполняется самостоятельно по вариантам).


Вариант I

y = x – 5x2, x0 = 2.


Вариант II

y = ex, x0 =1.


Вариант III

(x) = cos x, x0 = hello_html_50661fa5.gif.


Все решения с ответами находятся на слайдах.

- Проверяем решение I варианта. Один ученик читает ответ;

Аналогичным способом проверяются ответы I и II вариантов.


Задание 4. Найдите абсциссы точек графика функции y = 2x3 + hello_html_6a1c94eb.gifx + hello_html_6eec8aff.gif, в которой касательные, проведенные к нему, параллельны прямой у = 2х.

Данное задание выполняется у доски.


Решение этой задачи отображается на слайде.

Пусть k1 - угловой коэффициент касательных, k2 – угловой коэффициент прямой у = 2х. Так как касательные параллельны прямой, то k1 = k2.


k1 = '(х) =hello_html_5664466f.gif= 6х2 +hello_html_6a1c94eb.gif; k2 = 2;

6х2 + hello_html_6a1c94eb.gif = 2 6х2 hello_html_m6dbeb8a2.gif х2 hello_html_63c0645a.gif х2 hello_html_5db99c31.gif х1,2


Ответ: hello_html_7d6d99ef.gif, - hello_html_7d6d99ef.gif.



Задание 5. Найдите абсциссы точек графика функции у = (х), в которых касательная к этому графику параллельна прямой у = рх.

а) (х) = hello_html_5d997f7e.gif р = 2.

На слайде – Решение: Находим производную: '(х) = (hello_html_1819244a.gif)' = 2hello_html_m5ecffb7d.gif. Так как касательная параллельна прямой у = рх, то 2hello_html_m5ecffb7d.gif = р = 2. Отсюда hello_html_m5ecffb7d.gif = 1, или 2х = 2πn, n ϵ Z.

Ответ: х = πn, n ϵ Z.


б) (х) = hello_html_34f5a060.gif3х+1; р = hello_html_m57c90caf.gif.

На слайде – Решение: Находим производную: '(х) = (hello_html_34f5a060.gif3х+1)' = hello_html_62167d3f.gif. Так касательная параллельна прямой у = рх, то hello_html_62167d3f.gif = р = hello_html_m57c90caf.gif.

Отсюда hello_html_34f5a060.gif3х+1 = 2, или х = 1.

Ответ: х =1.

в) (х) = х + hello_html_57f65499.gif; р = 0.

На слайде – Решение: Находим производную: '(х) = (х + hello_html_57f65499.gif)' = 1 + hello_html_m328abec3.gif. Так как касательная параллельной прямой у = 0, то 1 + hello_html_m328abec3.gif = 0, или hello_html_m328abec3.gif = -1.

Ответ: х = π + 2πn, n ϵ Z.


Задание 6. Выясните, при каких значениях а касательная, проведенная к графику функции у = х3 ах в точке с абсциссой х0 = 1, проходит через точку М(2;3).

Задание выполняется у доски. См. слайд.


Задание 7. Прямая касается гиперболы у = hello_html_444e5b06.gif в точке (1;4). Найдите площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат.

Дополнительное задание. См. слайд.

IV. Подведение итогов урока.

Учащиеся оценивают свои знания, умения по данной теме и работу на уроке.


Творческое домашнее задание.

Составь кроссворд по теме «Производная».




Приложение для работы на уроке


Все приложения отображаются на слайдах презентации и непосредственно используются по ходу работы учителя с заданиями.


Решения


Задание 3.

Вариант I.

Решение.

у = (х0) + '(х)(х х0),

'(х) = (х – 5х2)' = 1 – 10х,

(х0) = (2) = 2 – 5hello_html_79c0f69b.gif 22 = 2 – 20 = - 18,

'(х0) = '(2) = 1 – 10 hello_html_79c0f69b.gif 2 = - 19.

Итак, уравнение касательной у = - 18 – 19(х -2), у = 20 – 19х.

Ответ: у = 20 – 19х.


Вариант II.

Решение.

у = (х0) + '(х)(х х0),

'(х) = (ех)' = ех,

(х0) = (1) = е,

'(х0) = '(1) = е.

Итак, уравнение касательной у = е + е(х – 1), или у = ех.

Ответ: у = ех.


Вариант III.

Решение.

у = (х0) + '(х)(х х0),

'(х) = (сosx)' = - sin x,

(х0) = (hello_html_52c2f983.gif = 0,

'(х0) = '(hello_html_m16cb1615.gif = -1.

Итак, уравнение касательной у = 0 – 1(х - hello_html_50661fa5.gif), или у = - х + hello_html_50661fa5.gif.

Ответ: у = - х + hello_html_50661fa5.gif.



Задание 6.

Решение. Напишем уравнение касательной к графику функции (х) = х3ах в точке с абсциссой х0 = 1. Общий вид касательной у = (х0) + '(х)(х х0). Находим

(х0) + (1) = 1 – а. Вычисляем производную '(х) = (х3ах)' = 3х3а, а в точке х0 = 1 получим '(1) = 3·12а = 3 – а. Итак, уравнение касательной имеет вид

у = 1 – а + (3 – а)(х – 1), или у = - 2 + (3 – а)х.

Так как касательная проходит через точку М(2;3), то верно равенство:

3 = - 2 + (3 – а) · 2, откуда 5 = 6 – 2а, т.е. а = hello_html_6eec8aff.gif.

Ответ: а = hello_html_6eec8aff.gif.


Задание 7.

Решение. Составим уравнение касательной. Для функции (х) = hello_html_444e5b06.gif уравнение касательной в точке с абсциссой х0 = 1 имеет вид (1) + '(1)(х – 1).

Вычисляем производную: '(х) = (hello_html_m47ee7adb.gif- hello_html_m1caaca87.gif.

Имеем (1) = 4 и '(1) = -4.

Значит, уравнение касательной имеет вид у = 4 – 4(х – 1), т.е. у = 8 – 4х.

Чтобы найти пересечение прямой с осями координат, надо в уравнение касательной подставить сначала х = 0, а потом у = 0. Получим, что касательная пересекается с осями координат в точках А(0;8) и В(2;0). Поэтому искомая площадь равна:

SAOB = hello_html_6eec8aff.gifOB · OA = hello_html_6eec8aff.gif · 8 · 2 = 8 (кв. ед.).

Ответ: S = 8 (кв. ед.).





Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 16.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров326
Номер материала ДA-047879
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх