Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Урок на тему "История дифференциального исчисления"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок на тему "История дифференциального исчисления"

библиотека
материалов

Низамова Ирина Владимировна, преподаватель математики, Государственное профессиональное образовательное учреждение «Донецкий политехнический техникум»


АННОТАЦИЯ

Данная методическая разработка занятия представляет собой пример использования игровых технологий на уроке математики. Главная задача такого занятия – преподнести новые знания в необычной форме. Студентам сообщаются интересные факты из истории дифференциального исчисления в форме заданий для троек игроков на «Поле чудес». Эта игра дает не только новые математические знания, но и развивает логическое мышление, требует проявление смекалки и сообразительности. При проведении занятия используется интерактивная доска.



РАЗВИВАЮЩАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИГРА «ПОЛЕ ЧУДЕС»

Тема: история дифференциального исчисления.

Цель:

Методическая:

совершенствование методики активизации умственной деятельности студентов с помощью использования в процессе обучения развивающей игры.

Дидактическая:

закрепить и углубить теоретические знания по теме «Элементы математического анализа».

Воспитательная:

развивать познавательные возможности и личные качества учащихся, заинтересованность предметом.



Эпиграф знятия:

Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймёт.

Г. В. Лейбниц.

Среди студентов группы заранее выбираются три тройки игроков. Задания для каждой тройки оформляются в виде одного или нескольких слайдов. Право открыть букву предоставляется тому студенту, который первым правильно ответит на предлагаемые преподавателем вопросы, касающиеся изучаемой темы или из серии «Это интересно знать».

Вступительное слово преподавателя. На сегодняшнем занятии, которое проводится в форме познавательной игры под названием «Поле Чудес», мы познакомимся с историей возникновения и развития ключевых математических понятий, на которых основано дифференциальное исчисление, выясним, какие выдающиеся ученые занимались этим разделом математики, как появились и что обозначают символы производной, интеграла и дифференциала и узнаем еще много интересного.

Задание для первой тройки игроков.

Немного поговорим о пределах и бесконечности. Идея бесконечности возникла еще в глубокой древности в связи с представлениям о Вселенной. В философии под бесконечностью понимают отсутствие начала и конца во времени и пространстве. Это одна из математических абстракций. Понятие бесконечности встречается уже на первых ступенях изучения арифметики, а именно, когда речь идет о натуральном ряде чисел: 1, 2, 3, 4, . . . Как известно, математика превратилась в дедуктивную науку в Древней Греции, где ее развитие протекало в сотрудничестве с философией. Уже в ІV веке до нашей эры греческие философы разрабатывали проблему бесконечности и связанную с ней проблему непрерывного и дискретного. Философ и математик Анаксагор в своем сочинение «О природе» писал: «Среди малых величин не существует наименьший, но уменьшение идет непрерывно», а также: «всегда имеется нечто большее, чем то, что больше». Но если Анаксагор и другие математики приписывали пространству только непрерывное свойства, то другие ученые создали представление о пространстве, как о множестве точек, являющихся неделимыми элементами. Последняя концепция отвечала духу школы Пифагора, в которой развивалось учение о дискретных объектах, а именно о числах. Такие разногласия привели к настоящему кризису в обосновании математики, а это в свою очередь к появлению математических парадоксов. Вот один из парадоксов, описанный философом Зеноном, «Ахиллес и черепаха»: храбрейший и быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепахи, если она находится впереди него даже на малом расстоянии, утверждает Зенон. Его доказательство сводится к следующему: пусть Ахиллес бежит в n раз быстрее черепахи и пусть их разделяет расстояние d. Когда Ахиллес пройдет и это расстояние, одновременно с ним начавшая свое движение черепаха отойдет на ; когда же Ахиллес покроет и это расстояние, движущаяся вперед черепаха будет находиться впереди него на и т.д. Между Ахиллесом и черепахой всегда будет оставаться определенное расстояние.

Вопрос: какое слово употребляется Зеноном как «парадокс»?

(апорий)

Задание для второй тройки игроков.

Происхождение понятие предела, корни которого исходят в глубокую древность, связано с определением площадей криволинейных фигур и объемов тел, ограниченных кривыми поверхностями. Первое теоретическое обоснование методов вычисления площадей и объемов, в которых использовались предельные переходы, было дано величайшим греческим математиком Евдоксом Книдским в специальном методе в ІV веке до нашей эры. Им пользовались Евклид, Архимед и другие ученые древности. В длинной эволюции, которую на протяжении почти 2500 лет претерпело понятие предела, этот метод представляет собой первый этап. В чем состоит метод? Обратимся к доказательству одной из теорем Евклида: площади двух кругов относятся между собой как квадраты их диаметров. В доказательстве этой теоремы рассматривается последовательность вписанных в круг правильных многоугольников, начиная с квадрата, восьмиугольника и т. д. и доказывается, что разность между площадью круга и площадью вписанного многоугольника, члена последовательности, может быть сделана меньше произвольного наперед заданного >0. В указанном доказательстве как бы исчезает пространство, заключенное между все возрастающими вписаными многоугольниками и кругом, что побудило ученых в ХVІІ веке назвать этот способ методом

(исчерпывания)

Задание для третьей тройки игроков.

Тема этого задания : происхождение понятия производной, мгновенная скорость движения. Основное понятие дифференциального исчисления - понятие производной - возникло в ХVІІ веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, математики и механики, в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного неравномерного движения и построение касательной к произвольной плоской кривой .

Займемся первой из них. Путь S, пройденный прямолинейно и неравномерно движущийся точкой, есть функция от времени t. Если t1 и t2 являются двумя разными значениями аргумента t, а S1 и S2 - соответствующими им значение функции S, то «средняя» скорость движения за промежуток времени t2-t1 ,выражается так: Vср. = . Чем ближе будет t2 к t1, т.е. чем короче промежуток времени t2-t1, тем точнее эта формула определит скорость в момент времени t1. Поэтому естественно принять за мгновенную скорость движущейся точки в момент t1 предел, к которому стремится средняя скорость v ср. , когда промежуток времени t2-t1 стремится к нулю или t2t1. Итак,

V= Эта задача была впервые решена Ньютоном. Функцию он называл флюэнтой, т.е. текущий величиной, обозначал функции последними буквами латинского алфавита , а производные обозначал точками над ними: . Каким словом Ньютон называл производную?

(флюксия)

Задание для финала.

Итак, Ньютоном было показано, что скорость есть производная движения. Приведем еще примеры, показывающие какую большую роль играет понятие производной в науке и технике:

- ускорение есть производная от скорости по времени;

- теплоемкость тела есть производная от количества тепла по температуре;

- скорость радиоактивного распада есть производная от массы радиоактивного вещества по времени;

- сила тока есть производная количества электричества по времени и т.д.

Первая печатная работа по дифференциальному исчислению была опубликована Лейбницем в 1684г. она называлась «новый метод максимумов и минимумов», содержала всего 6 страниц, на которых излагалось существо метода бесконечно малых и основные правила дифференцирования. И если у Ньютона в качестве первоначального понятия фигурировала скорость, то у Лейбница таким понятием в его «новом методе» является касательная. Обозначения, принятые в настоящее время принадлежат разным ученым. Например, греческую букву для обозначения приращений переменных величин ( ) ввел в обращение Эйлер в ХVІІІ веке. Это обозначение сохранено и поныне. Бесконечно малую разность x2x1 Лейбниц обозначил знаком dx (d- первая буква в латинском слове differentia – разность). От него же берет свое начало и обозначение производной . Терминология Ньютона (флюэнты, флюксии) и его символы производных утратили свое значение. Лишь в физике и механике в некоторых случаях обозначают точками над буквами производные по времени. Ну а обозначения уʹ и ʹ(х) для производной ввел:

(Лагранж)

Задание для супер игры.

В начале нового времени разнообразные задачи естествознания, науки и техники требовали создания общего метода для нахождения наибольших и наименьших значений величин. Уже Кеплер в своей "Стереометрии винных бочек" (1615г.) высказал идею о том, что вблизи максимума величины изменения ее незаметны, предвосхитив таким образом идею приравнивания к нулю производной при отыскании максимума. Ньютон сформировал так называемый принцип остановки: " Когда величина есть наибольшая и наименьшая из всех возможных, то она в этот момент не течет ни вперед ни назад". В исследование проблемы максимумов и минимумов важный вклад внес Лейбниц. В своем "новом методе" (1684г.) он применяет понятие дифференцирования для исследования возрастания и убывания функции и по существу высказывает изучаемую нами теорему о том, что если производная функции на некотором участке изменения аргумента положительна, то данная функция возрастает, а если отрицательна, то убывает. В случае же экстремума функции наибольшая или наименьшая ордината определяется условием, что касательная не наклона ни в одну, ни в другую сторону, т.е. производная равна нулю. Эйлер в своем "дифференциальном исчислении" (1755г.) различает абсолютные экстремумы от так называемых экстремумов «местного характера» (мы называем их сейчас локальными), а также исследует на экстремум функции многих переменных. В настоящее время учение о максимумах и минимумах находит многочисленные и важнейшие практические применения в решении оптимизационных задач, когда вопросы повышения прибыльности при наименьших затратах на производство, потребление сырья, электроэнергии, сокращение транспортных расходов стоят крайне остро и занимают первоочередное место в экономике и жизни современного общества. Предлагается назвать фамилию ученого математика, который развил идею оптимальности в экономике и получил за это исследование нобелевскую премию по экономике.

(Канторович)

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Данная методическая разработка занятия представляет собой пример использования игровых технологий на уроке математики. Главная задача такого занятия – преподнести новые знания в необычной форме.

Студентам сообщаются интересные факты из истории дифференциального исчисления в форме заданий для троек игроков на «Поле чудес».

Автор
Дата добавления 28.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров115
Номер материала ДБ-101719
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх