Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок на тему "Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок на тему "Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами"

библиотека
материалов


Дюртюлинский филиал

Федерального государственного образовательного учреждения

среднего профессионального образования

«Октябрьский нефтяной колледж им. С. И. Кувыкина»











Методическая разработка

открытого урока

по дисциплине «Математика».


Тема урока:

«Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами»


для специальности:

151031 «Монтаж и техническая эксплуатация

промышленного оборудования (по отраслям)».






Преподаватель

естественнонаучных дисциплин

Хаматова Ф.М.






Дюртюли -2013г.


Дата проведения: 26.10.2013 года

Группа: 2МД-10

Урок №14




Тема: «Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами».


Цели урока:


Образовательные:

  • формирование учебно-познавательной компетенции;

  • сформулировать определение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами;

  • научить составлять характеристическое уравнение;

  • показать, что общее решение дифференциального уравнения строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения;

  • закрепить решением примеров три случая нахождения общего решения дифференциального уравнения;


Развивающие:

  • формирование компетенции личного самосовершенствования;

  • развивать способности самостоятельно очерчивать учебную проблему, формулировать алгоритм ее решения, контролировать процесс и оценивать полученный результат.

  • способствовать развитию памяти, пространственного воображения;

  • развивать познавательные интересы через применение информационных технологий.

  • развивать наблюдательность, самостоятельность, мышление студентов посредством логических учебных действий.


Воспитательные:

  • воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов;

  • воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.


Тип урока: урок изучения нового материала.


Комплексно-методическое обеспечение: мультимедийный проектор с экраном, ноутбук, штатив, листы контроля, раздаточный материал,

презентация проекта в Power Point.




Методы обучения:

  • словесные;

  • наглядные;

  • практические.

Использование инновационных технологий:

  • технология дифференцированного обучения;

  • проблемное обучение;

  • личностно-ориентированное обучение;

  • информационные технологии;

  • блочно-модульное обучение.





































Ход урока.

I.Организационный момент

Цель: обеспечить благоприятную внешнюю обстановку для работы на уроке, создать атмосферу делового общения, обеспечить психологическую подготовку студентов к работе.

Проверка подготовленности студентов и кабинета к уроку, выявление отсутствующих, организация внимания студентов.

(На доске и в тетрадях запись даты и темы)

II. Постановка целей. Мотивация учащихся.

1.Сформулировать определение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами; научить составлять характеристическое уравнение;

показать, что общее решение дифференциального уравнения строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения;

закрепить решением примеров три случая нахождения общего решения дифференциального уравнения.

2. Способствовать развитию памяти, пространственного воображения, алгоритмической культуры; развивать познавательные интересы через применение информационных технологий; развивать наблюдательность, самостоятельность, мышление студентов посредством логических учебных действий.

3.Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов; воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.

А сейчас предлагаю определиться с вашими целями.

Перед каждым из вас на партах разложены листы контроля.

Лист самоконтроля.

Ф.И. студента

Задания

Количество баллов,

которые возможно набрать(0-36)

Мое участие на уроке

1

Вспомним определения

0-5


2

Тестирование

0-5


3

Изучение нового материала

0-7


4

Решение ключевых примеров

0-7


5

Закрепление

0-5


6

Задание« Найди и исправь ошибку»

0-2


7

Самостоятельное решение примеров

0-1


8

Рефлексия учебной деятельности

0-4


Общее количество баллов, набранных за урок



Напишите, пожалуйста, фамилию и имя. Наш урок состоит из нескольких этапов. После прохождения каждого этапа вы будете получать определенное количество баллов. Суммируя их, при подведении итогов сегодняшнего занятия, вы можете получить следующие отметки:

«5»:24-36 баллов.

«4»:18-23баллов.

«3»:9-17баллов.

Итак, ребята в добрый путь!


III. Актуализация опорных знаний.


  • Вспомним определения: hello_html_1eecd78a.png

  1. Какое уравнение называется дифференциальным? (на экране).

Ответ: Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные или дифференциалы (на экране).

  1. Что называется порядком дифференциального уравнения? (на экране).

Ответ: Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

  1. Что называется решением дифференциального уравнения? (на экране)

Ответ: Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

  1. Какое решение называется общим решением дифференциального уравнения? (на экране)

Ответ: Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

  1. Какое решение называется частным решением? (на экране)

Ответ: Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.


  • Тест hello_html_1eecd78a.png


1.Термин «дифференциальное уравнение» ввел: (на экране)


А) Г. Лейбниц(17 век);

Б) Ж.Лагранж(18 век);

В) П.Лаплас(18 век);

Г) Л.Эйлер(18век).


2. Определите порядок дифференциального уравнения: (на экране)

hello_html_m2729c3a.gif

А) первого порядка;

Б) второго порядка;

В) третьего порядка;

Г) четвертого поря


3. К какому типу относятся дифференциальные уравнения? (на экране)

hello_html_m6ed3630f.gif

А) линейное дифференциальное уравнение первого порядка;

Б) уравнение Бернулли;

В) первого порядка с разделяющимися переменными

Г) неполное уравнение второго порядка.


4.Вычислите производную функции: hello_html_m12cb5cd1.gif. (на экране)

А) hello_html_m5031f5e6.gif

Б) hello_html_m54e4c722.gif

В) hello_html_24f78248.gif

Г) hello_html_m24a6f163.gif

5.В каком из двух дифференциальных уравнении можно найти

частное решение: (на экране)

1. hello_html_m23349103.gifпри х=-2;

2. hello_html_m16db6aab.gif

А) в первом и во втором;

Б) в первом;

В) во втором;

Г) нет правильного ответа.

Обменяйтесь тетрадями. Сверьтесь с правильными ответами на экране. Отметьте в тетрадях соседа верно выполненные задания теста знаком «+», а неверно выполненные задания со знаком «-»

hello_html_1eecd78a.png

IV. Изучение нового материала.

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Эпиграф (на экране) Числа не управляют миром, но они

показывают, как управляется мир.

И.Гете.

Не будем спорить – будем вычислять.

Г.Лейбниц.


(Студентам рассказываю сферу применения дифференциальных уравнений, тем самым, разъясняя выбор эпиграфов урока).

Прежде чем дать определение нового вида дифференциального уравнения, раскроем подробно его название(с привлечением студентов):

1)дифференциальное уравнение (по определению) обязательно содержит производные или дифференциалы искомой функции;

2)уравнение второго порядка содержит производную, наивысший порядок которой равен 2;

3)это- уравнение линейное относительно искомой функции, ее производных, т. е. содержит их в первой степени;

4) это- уравнение с постоянными коэффициентами; значит, коэффициенты при функции, ее производных являются постоянными величинами.

Учитывая все это, можно сказать, что рассматриваемое уравнение содержит hello_html_49435e91.gifв первой степени и коэффициенты при них - постоянные величины.

Определение: (на экране)

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с

постоянными коэффициентами называется уравнение вида

hello_html_m53d4ecad.gif hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m516b07ef.gif

где hello_html_m7a3be569.gif - постоянные величины.

Формула (А) может быть записана и так:

hello_html_mdc33248.gif(B)


Для отыскания общего решения данного уравнения составляется характеристическое уравнение:

hello_html_m79a94c61.gif

Это уравнение получается из первоначального уравнения путем замены производных искомой функции, соответствующими степенями hello_html_m1baebf4b.gifи сама функция заменяется единицей. Тогда общее решение дифференциального уравнения строится в зависимости от характера корней:

hello_html_3abba15a.gif

Возможны три случая: (на экране)

I случай:hello_html_m2b4a3df3.gif и hello_html_4e34881a.gif- действительные корни и различные, тогда общее решение примет вид:

hello_html_m620cb670.gif(1)

II случай:hello_html_551dd0d.gif-действительные и равные, тогда общее решение

примет вид:

hello_html_m195f9a26.gif(2)



III случай:hello_html_m2b4a3df3.gif и hello_html_4e34881a.gif- комплексные числа, а именно hello_html_m7d229e1f.gifhello_html_26e02582.gifтогда общее решение имеет вид:


hello_html_m46bafce1.gif(3)


hello_html_m16e3f9ed.jpg V.Решение ключевых задач.


hello_html_m53d4ecad.gifНайти общее решение следующих дифференциальных уравнений.

Пример 1. hello_html_664d9218.gif

(Решаю и объясняю, потом на экране высвечивается полное оформление)

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

hello_html_m2ca7c3c6.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_7f2faa76.gif

hello_html_731f8e4f.gifhello_html_m379f0126.gif

Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(1), имеет вид:

hello_html_m318e95b6.gif

Ответ: hello_html_m318e95b6.gif


Пример 2. hello_html_7fec02d.gif

(Студент вычисляет корни характеристического уравнения, сообща приходим к общему решению)

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

hello_html_61644508.gif

hello_html_m4b222e0f.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m64c5accc.gif

Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(2), имеет вид:

hello_html_m59339d12.gif

Ответ: hello_html_m59339d12.gif


Пример 3. hello_html_m2729c3a.gif.

(Решаю и объясняю,)

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

hello_html_m30d6a8a.gif

Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(3), имеет вид:

hello_html_m3a7dc9a9.gif


Ответ: hello_html_m3a7dc9a9.gif


Пример 4 . hello_html_1ef4e2e4.gif

(Решаю и объясняю)

Решение:

Составим характеристическое уравнение:


hello_html_73c4b8eb.gif

Это третий случай, где hello_html_m5d7ff8ae.gif

Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(3), имеет вид:

hello_html_5276948f.gif


Ответ: hello_html_5276948f.gif


Пример5.Найти частное решение дифференциального уравнения hello_html_3d1608c8.gif, если у(0)=1 и hello_html_m39d8a048.gif.

(Решаю и объясняю с привлечением студентов)

Решение:

Составим характеристическое уравнение:


hello_html_m26b3d9a7.gif

Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(2), имеет вид:

hello_html_338cbe64.gif

Так как заданы начальные условия, то:

hello_html_86954da.gif

Чтобы найти значение hello_html_499105a7.gif, дифференцируем общее решение.

hello_html_m46cc035.gif

hello_html_m6b05c90c.gif

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

hello_html_m88b4e0e.gif


Ответ: hello_html_m88b4e0e.gif

hello_html_m16e3f9ed.jpg VI. Закрепление изученной темы.

Решите уравнение:


50(1) (студент решает у доски)

1) hello_html_m4bade206.gif

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

hello_html_a16a4f4.gif

Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(1), имеет вид:

hello_html_m5f8932a5.gif hello_html_m53d4ecad.gif

Ответ: hello_html_m5f8932a5.gif

51(2) –студент решает у доски

2) hello_html_6a2d9ddc.gif

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

hello_html_m4021501a.gif

Это третий случай, где hello_html_m719f89e4.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(3), имеет вид:

hello_html_3fd7a746.gif

Ответ: hello_html_3fd7a746.gif

hello_html_1eecd78a.png

VII. Задание «Найди и исправь ошибку»:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_616a57a0.gif

hello_html_1eecd78a.png

VIII.Примеры для самостоятельного решения

Все решают №54(1),нескольким студентам - индивидуальные задания.

54(1)

hello_html_4ef2bcef.gif

Решение:

Составим характеристическое уравнение:

hello_html_6739d896.gif

Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(2), имеет вид:

hello_html_14b806b7.gif

Ответ: hello_html_14b806b7.gif

hello_html_1eecd78a.png

IX. Рефлексия учебной деятельности.

1. Дать определение линейного однородного дифференциального уравнения

с постоянными коэффициентами.

2. Как решается данный вид уравнения?

3. Сколько корней может иметь характеристическое уравнение?

4.Сколько случаев нахождения общего решения дифференциального уравнения вы знаете?

hello_html_1eecd78a.png

X. Домашнее задание и актуализация темы следующего урока.

Цель: обеспечить понимание способов выполнения домашнего задания и актуальности следующей темы.


10.1. На следующем уроке будет практическое занятия по теме «Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ».

10.2 Задание на дом: § 5 по учебнику Н.В.Богомолова; № 50 (2,3);

51 (1,3);изучить решение ключевого примера №5

hello_html_1eecd78a.png

XI. Подведение итогов урока по листам контроля.

Сводная таблица для выставления баллов заготовлена на оборотной стороне доски.


Все слайды находятся в презентации.

Автор
Дата добавления 12.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров226
Номер материала ДБ-255632
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх