Урок на тему "Математическая модель"

Урок на тему:

 «Математическое моделирование»

Тема урока:  Математическое моделирование

Тип урока:   Изучение нового материала

Задачи урока:

-       Ввести  понятия «модель задачи», «математическая модель», «вычислительный эксперимент»;

-       Рассмотреть этапы решения задач на компьютере;

-       Составить алгоритм решения задачи;

-       Провести вычислительный эксперимент

Цели урока:

Образовательные:

-       Вооружить учащихся знаниями основных понятий по теме;

-       Сформировать умение создавать математическую модель;

-       Научить проводить вычислительный эксперимент;

-       Закрепить навыки решения задач по данной теме

Развивающие:

-       Развить у учащихся познавательный интерес, творческие способности, логическое мышление, умения анализировать и делать выводы;

-        Расширить мировоззрение и кругозор учащихся

Воспитательные:

-       Сформировать у учащихся готовность к информационно – учебной деятельности;

-       Воспитать  устойчивый интерес к изучению информатики

Средства обучения:

Технические:

-       Компьютер с установленной операционной системой Windows

-       Мультимедийный  проектор

-       Экран

Раздаточный материал:

-        Комплект карточек с задачами

-        Комплект карточек с домашним заданием

Мотивация учащихся: 

     Вспомните себя в детстве. Как вы познавали мир?

     С помощью игрушек дети воспринимают окружающий мир. Свою игрушечную машинку ребенок сравнивает с машиной взрослого человека.   

     Чем является его машинка? (Моделью)

     В школе ученики часто используют различные модели на разных уроках. Это скелет человека – на уроке биологии, глобус планеты Земля – на уроке географии и т.д. Оглянитесь вокруг, вспомните, представьте – различные модели, их виды окружают нас повсюду.

     Получается, что модели с нами в течение всей нашей жизни.

     Сегодня мы познакомимся еще одним видом моделей -  математическими моделями.

План урока:

1.     Организационный момент

2.     Актуализация опорных знаний

3.     Объяснение нового материала

4.     Закрепление полученных знаний

5.     Подведение итогов урока

6.     Домашнее задание

Ход урока:

I. Организационный момент

     Учитель объявляет тему и цели урока. На экране представлена презентация урока.

II. Актуализация опорных знаний

Тестирование

1. Модель – это …

а) визуальный объект;

б) свойство процесса или явления;

в) упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении;

г) материальный объект

2. Моделирование, при котором реальному объекту ставится в соответствие его увеличенная или уменьшенная копия, называется …

а) идеальным;

б) формальным;

в) материальным;

г) математическим

3. Моделирование, при котором исследование объекта осуществляется посредством модели, сформированной на языке математики, называется …

а) арифметическим;

б) аналоговым;

в) математическим;

г) знаковым

4. Моделирование, основанное на мысленной аналогии, называется …

а) мысленным;

б) идеальным;

в) знаковым;

г) физическим

5. Какая из моделей не является знаковой?

а) схема;

б) музыкальная тема;

в) график;

г) рисунок

6. Детская игрушка – это …

а) знаковая модель;

б) вербальная модель;

в) материальная модель;

г) компьютерная модель

7. Динамическая модель – это …

а) одномоментный срез объекта;

б) изменение объекта во времени;

в) интегральная схема;

г) детская игрушка

8. Компьютерная модель – это …

а) информационная модель, выраженная специальными знаками;

б) комбинация нулей и единиц;

в) модель, реализованная средствами программной среды;

г) физическая модель

9. Вербальная модель – это …

а) компьютерная модель;

б) информационная модель в мысленной или разговорной форме;

в) информационная модель, выраженная специальными знаками;

г) материальная модель

10. Что является моделью объекта яблоко?

а) муляж;

б) фрукт;

в) варенье;

г) компот

III. Объяснение нового материала

1. Модель задачи

Учитель: Допустим, вам необходимо решить какую – либо задачу и вы хотите воспользоваться для этого помощью компьютера. С чего начать?

Учащиеся: Ввести данные в компьютер и посчитать.

Учитель: Прежде всего, нужно разобраться, что дано, что требуется получить, как связаны исходные данные и результаты.

Учитель: Предположения, которые позволяют в «море» информации об изучаемом явлении или объекте выделить исходные данные, определить, что будет служить результатом и какова связь между исходными данными и результатом, называют моделью задачи.

Учитель: Давайте запишем определение в конспект урока. Кто может привести пример модели задачи?

Учащиеся: Нам дано квадратное уравнение. Необходимо найти его корни. Для этого по дискриминанту находим корни из данного уравнения.

2. Понятие математической модели

Учитель: В моделировании есть два различных пути:

1) модель может быть копией объекта, выполненной из другого материала, в другом масштабе, с отсутствием ряда деталей;

2) модель может отображать реальность в абстрактной форме.

Приведите мне примеры первого пути моделирования.

Учащиеся: игрушечный кораблик, самолетик, машинка, макет дома, домик из кубиков и т.д.

Учитель: Их можно привести много. Все это так называемые натурные модели. Запишите определение у себя в тетрадях.

Учитель: Теперь попытайтесь привести примеры второго пути моделирования.

Учащиеся: затрудняются с ответом

Учитель: В таком случае почти всегда привлекаются средства математики, и мы имеем дело с математической моделью.

Учитель: Математическая модель выражает существенные черты объекта или процесса языком уравнений и других математических средств.

Математическая модель выражает существенные черты объекта или процесса языком уравнений и других математических средств.

     Под математической моделью понимают систему математических соотношений – формул, уравнений, неравенств и т.д., отражающих существенные свойства объекта или процесса.

     Математическое моделирование в наше время гораздо более  всеобъемлюще, нежели моделирование натурное. Математический аппарат для моделирования объектов и процессов реального мира ученые использовали очень давно, но огромный толчок математическому моделированию дало появление ЭВМ, которые сегодня помогают в этой деятельности. Использование математического моделирования – это самый общий метод научных исследований.

     При математическом моделировании исследование объекта осуществляется посредством изучения модели, сформулированной на языке математики, и использованием тех или иных методов.

Учитель: Представьте себе, что нужно определить площадь поверхности письменного стола. Как обычно поступают в этом случае?

Учащиеся: Измеряют длину и ширину стола, а затем перемножают полученные числа.

Учитель: Это фактически означает, что реальный объект – поверхность стола – заменяется абстрактной математической моделью – прямоугольником. Площадь это прямоугольника и считается искомой величиной.

Учитель: Как видите, из всех свойств стола мы выделили три. Какие?

Учащиеся: Форму поверхности (прямоугольник) и длины двух сторон.

Учитель: Для нас не важны ни цвет стола, ни материал, из которого он сделан, ни то, как стол используется. А в каком случае нам понадобилась эта информация?

Учащиеся: Если бы мы решали задачу, например, сколько стоит изготовление стола.

Учитель: Предположив, что поверхность стола – прямоугольник, мы легко указываем исходные данные, и результат. Каким соотношением они связаны?

Учащиеся: S = a * b

Учитель: Сделанное предположение позволило «перевести» нашу задачу на язык чисел: и исходные данные, результат – числа, а соотношение между ними задается математической формулой.

Учитель: Анализировать математические модели проще и быстрее, чем экспериментально определять поведение реального объекта. Кроме того, анализ математической модели позволяет выделить наиболее существенные свойства данного объекта (процесса), на которые надо обратить особое внимание при принятии решения.

3. Этапы решения задач на компьютере

1. Постановка задачи – точная формулировка условий и целей решения, описание наиболее существенных свойств объекта.

2. Построение математической модели – описание наиболее существенных свойств объекта с помощью математических формул.

3. Разработка алгоритма

4. Запись алгоритма на языке программирования

5. Отладка и тестирование программы на компьютере

6. Анализ полученных результатов.

IV. Закрепление полученных знаний

Учитель: Решение задачи с помощью компьютера начинается с точной формулировки условий  целей решения, описания наиболее существенных свойств объекта с помощью математических формул. Для того чтобы компьютер произвел необходимые вычисления и получил ответ, нужно составить для него четкую инструкцию, строго указать необходимую последовательность действий, т.е. составить алгоритм решения задачи. Далее необходимо провести вычислительный эксперимент: составить программу, провести вычисление на компьютере, а так же получить и проанализировать результаты.

	Вычислительный эксперимент подразумевает составление программы, проведение вычислений на компьютере, а так же получение и анализ результатов.

 

Задача 1.

     На научный семинар собрались ученые и обменялись друг с другом визитными карточками. Всего было роздано 210 визитных карточек. Сколько ученых приехало на семинар, если известно, что их было не более 20?

Решение:

Постановка задачи.

     Пусть x – количество ученых, приехавших на семинар. Так как в процессе обмена каждый раздает по одной карточке всем, кроме себя, то он раздаст (x-1) карточку. Следовательно, всего будет роздано n = x*(x-1) карточек.

Математическая модель.

Компьютерный эксперимент.

	А	В	С
1	Количество участников (x)	?
2
3	Количество карточек (n)	=В1*(В1-1)

     Начнем эксперимент, последовательно вводя в ячейку В1 числа 2, 3, 4 и т.д. В результате проведенного эксперимента получаем ответ: 15 человек.

Анализ полученных результатов.

Проверим результат, решив уравнение

Удовлетворяющий условию задачи корень уравнения  x = 15.

Ответ: 15 человек.

Задача 2.

     Знаменатель правильной дроби на 2 больше числителя. Если числитель увеличить в 5 раз, а к знаменателю прибавить 5 и сократить дробь, то в результате получится 3/2. Найти исходную дробь.

Решение:

Постановка задачи.

     Пусть x – числитель исходной дроби. Тогда x + 2 – знаменатель исходной дроби, 5x – новый числитель, (x + 2) + 5 = x + 7 – новый знаменатель.

     Так как по условию задачи новая дробь после сокращения равна 3/2, составляем уравнение:

    

Математическая модель.

Компьютерный эксперимент.

	А	В	С	D
1	Модель задачи	Дроби
2	Числитель	?	Новый числитель	=В2*5
3	Знаменатель	=В2+2	Новый знаменатель	=В3+5
4
5	Проверка	=D3*3	=D2*2

     В математической модели уравнение представляет собой пропорцию. Воспользуемся основным свойством пропорции – произведение крайних членов равно произведению средних членов, т.е. 5x * 2=(x +7) * 3.

     В ячейке В5 записано произведение средних членов, в ячейке С5 – произведение крайних членов. Решение задачи сводится к подбору в ячейке В2 такого числа, чтобы значения выражений в ячейках В5 и С5 совпадали. Как только это произойдет, ответ задачи получим в ячейках В2 и В3.

	А	В	С	D
1	Модель задачи	Дроби
2	Числитель	3	Новый числитель	15
3	Знаменатель	5	Новый знаменатель	10
4
5	Проверка	30	30

Анализ полученных результатов.

     Проверить правильность нашей модели можно, решив линейное уравнение

3 – числитель исходной дроби, тогда ее знаменатель равен 5, т.е. исходная дробь 3/2.

Ответ: 3/2

Задача 3. (для  самостоятельного решения)

     Участники шахматного турнира после окончания очередной партии обменялись друг с другом рукопожатиями. Всего сыграно 210 партий, значит, 210 раз противники пожали друг другу руки. Сколь человек принимали участие в турнире, если каждый сыграл по одному разу со всеми остальными и известно, что участников было не более 30?

Решение:

Указание: Данную задачу следует решать, используя таблицу задачи 1, исправив содержимое ячейки В3.

Математическая модель.

     Пусть n – количество рукопожатий, x – количество участников. Тогда

Ответ: 21 человек.

Дополнительные задачи разного уровня.

Задача 1.

     Цена товара была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повыша­лась цена товара каждый раз, если его первоначальная цена  - 6000 руб., а окончательная  - 6615 руб.?

Задача 2.

     Возраст старика Хоттабыча записывается числом с разными цифрами. Известно, что:

а) если первую и последнюю цифру зачеркнуть, то получится наибольшее из двузначных чисел, сумма цифр которых равна 13;

б) первая цифра больше последней в четыре раза.

Сколько лет Хоттабычу?

Задача 3.

     Для организации похода в кинотеатр администрация школы, зная, сколько человек  желает пойти на премьеру кинофильма, заказала соответствующее количество  мест в кинотеатре. Суммарное количество мест в кинотеатре (4х 40 мест) оказалось больше количества учащихся желающих посетить кинотеатр.

     Как разместить учащихся в зале кинотеатра, если учащиеся одного класса хотели бы сидеть на одном ряду?

Задача 4.

     Перед тем как  А, В, С, D приняли участие в забеге, они сделали следующие предположения:

- А предсказал победу В;

- В предсказал, что D окажется на последнем месте;

- С предсказал, что А займет третье место;

- D предсказал, что прогноз А оправдается.

     Только одно из сделанных предположений оказа­лось верным, и это был прогноз победителя. В каком порядке А, В, С и D пересекли финишную черту?

V. Подведение итогов урока

     Проводится оценка результатов выполнения во время урока заданий, в том числе определяется, кто из учащихся быстрее и правильнее справился с решением задачи для самостоятельного решения. Выставляются отметки так же наиболее активным учащимся в течение всего урока.

VI. Домашнее задание

1. Выучить конспект.

2. Ответьте на вопросы:

    а) что такое математическое моделирование?

    б) что называется математической моделью?

    в) перечислите этапы решения задачи на компьютере.

3. Задача 1. Расстояние между Дашей и Машей 4,8 км. Они одновременно вышли навстречу друг другу и встретились через 32 мин, причем Даша шла в 1,5 раза быстрее Маши. Какова путь прошла каждая из девочек?

   Задача 2. Расстояние между поселками 126. За первый час автобус проехал 4/9 этого пути. Сколько километров осталось проехать автобусу?

   Задача 3. (на повторение) По указу Управления культуры была изготовлена бронзовая статуя девушки с веслом. Определите те свойства статуи, которые существенны для решения каждой из следующих задач:

а) перевести статую из мастерской в городской парк;

б) установить статую на площади парка;

в) увеличить посещаемость городского парка;

г) продать статую с аукциона;

д) переплавить статую.

Примерная схема конспекта урока:

Раздаточный материал.

Задача 1.

     На научный семинар собрались ученые и обменялись друг с другом визитными карточками. Всего было роздано 210 визитных карточек. Сколько ученых приехало на семинар, если известно, что их было не более 20?

Задача 2.

     Знаменатель правильной дроби на 2 больше числителя. Если числитель увеличить в 5 раз, а к знаменателю прибавить 5 и сократить дробь, то в результате получится 3/2. Найти исходную дробь.

Задача 3. (для  самостоятельного решения)

     Участники шахматного турнира после окончания очередной партии обменялись друг с другом рукопожатиями. Всего сыграно 210 партий, значит, 210 раз противники пожали друг другу руки. Сколь человек принимали участие в турнире, если каждый сыграл по одному разу со всеми остальными и известно, что участников было не более 30?

Задача 1.

     На научный семинар собрались ученые и обменялись друг с другом визитными карточками. Всего было роздано 210 визитных карточек. Сколько ученых приехало на семинар, если известно, что их было не более 20?

Задача 2.

     Знаменатель правильной дроби на 2 больше числителя. Если числитель увеличить в 5 раз, а к знаменателю прибавить 5 и сократить дробь, то в результате получится 3/2. Найти исходную дробь.

Задача 3. (для  самостоятельного решения)

     Участники шахматного турнира после окончания очередной партии обменялись друг с другом рукопожатиями. Всего сыграно 210 партий, значит, 210 раз противники пожали друг другу руки. Сколь человек принимали участие в турнире, если каждый сыграл по одному разу со всеми остальными и известно, что участников было не более 30?

Разноуровневые задачи:

I. Задача

     Цена товара была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повыша­лась цена товара каждый раз, если его первоначальная цена  - 6000 руб., а окончательная  - 6615 руб.?

II. Задача

     Возраст старика Хоттабыча записывается числом с разными цифрами.

Известно, что:

а) если первую и последнюю цифру зачеркнуть, то получится наибольшее из двузначных чисел, сумма цифр которых равна 13;

б) первая цифра больше последней в четыре раза.

Сколько лет Хоттабычу?

III. Задача

     Для организации похода в кинотеатр администрация школы, зная, сколько человек  желает пойти на премьеру кинофильма, заказала соответствующее количество  мест в кинотеатре. Суммарное количество мест в кинотеатре (4х 40 мест) оказалось больше количества учащихся желающих посетить кинотеатр.

     Как разместить учащихся в зале кинотеатра, если учащиеся одного класса хотели бы сидеть на одном ряду?

IV. Задача

     Перед тем как  А, В, С, D приняли участие в забеге, они сделали следующие предположения:

- А предсказал победу В;

- В предсказал, что D окажется на последнем месте;

- С предсказал, что А займет третье место;

- D предсказал, что прогноз А оправдается.

     Только одно из сделанных предположений оказа­лось верным, и это был прогноз победителя. В каком порядке А, В, С и D пересекли финишную черту?

I. Задача

     Цена товара была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повыша­лась цена товара каждый раз, если его первоначальная цена  - 6000 руб., а окончательная  - 6615 руб.?

II. Задача

     Возраст старика Хоттабыча записывается числом с разными цифрами.

Известно, что:

а) если первую и последнюю цифру зачеркнуть, то получится наибольшее из двузначных чисел, сумма цифр которых равна 13;

б) первая цифра больше последней в четыре раза.

Сколько лет Хоттабычу?

III. Задача

     Для организации похода в кинотеатр администрация школы, зная, сколько человек  желает пойти на премьеру кинофильма, заказала соответствующее количество  мест в кинотеатре. Суммарное количество мест в кинотеатре (4х 40 мест) оказалось больше количества учащихся желающих посетить кинотеатр.

     Как разместить учащихся в зале кинотеатра, если учащиеся одного класса хотели бы сидеть на одном ряду?

IV. Задача

     Перед тем как  А, В, С, D приняли участие в забеге, они сделали следующие предположения:

- А предсказал победу В;

- В предсказал, что D окажется на последнем месте;

- С предсказал, что А займет третье место;

- D предсказал, что прогноз А оправдается.

     Только одно из сделанных предположений оказа­лось верным, и это был прогноз победителя. В каком порядке А, В, С и D пересекли финишную черту?