Урок на тему; Первообразная функции. Неопределенный интеграл

Государственное бюджетное профессиональное общеобразовательное учреждение

«Невинномысский энергетический техникум»

Методическая разработка открытого занятия по дисциплине «Математика»

Тема занятия:

Первообразная функции. Неопределенный интеграл.

Преподаватель математики:

Скрыльникова Валентина Евгеньевна

Невинномысск 2016 год.

Цели занятия:

Образовательная: Сформировать представления об интегральном исчислении, уяснить его суть. Выработать навыки нахождения неопределенного интеграла и первообразных, умения пользоваться свойствами и методами интегрирования.

Развивающая: Развивать математически грамотную речь, внимание, сознательное восприятие учебного материала.

Воспитательная: Воспитывать познавательную активность, сообразительность и мышление, благодарность к достижению великих математиков в области интегрирования.

Вид занятия: урок

Тип занятия: сообщения новых знаний

Метод проведения: словесный, наглядный, самостоятельная работа.

Квалификационные требования:

Ученики должны:

В ходе изучения темы «Первообразная функции. Неопределенный интеграл» студентам предстоит усвоить основные понятия и утверждения, иметь представления о возможностях применения средств интегрального исчисления в геометрических, физических и др. прикладных задачах.

Знать:

определение первообразной функции и неопределенного интеграла;

свойства и методы нахождения интегралов

формулы простейших интегралов.

Уметь:

вычислять первообразные и неопределенный интеграл, используя основные свойства и методы нахождения.

Междисциплинарные связи: физика, история математики.

Внутридисциплинарные связи: «Нахождение производной», «Вычисление объемов тел», «Вычисление определенного интеграла».

Обеспечение занятия:

-Наглядные пособия: портреты великих математиков, имеющих представление к интегральному исчислению

-Раздаточный материал: конспект со схемами, карточки с заданиями (на этапе закрепления).

-Оборудование: чертежные принадлежности, линейка.

Структура занятия.

1. Организационный момент (1 мин.)

2.     Мотивация учебной деятельности. (3 мин.)

3.     Изложение нового материала. (50-51 мин.)

4.     Самостоятельная работа (10 мин)

5.     Закрепление изученного материала. (5 мин.)

6.     Подведение итогов занятия. (2-3 мин.)

7.     Сообщение домашнего задания. (1мин.)

Ход занятия.

1.     Организационный момент. (1 мин.)

Преподаватель приветствует студентов, проверяет присутствующих в аудитории.

Учащиеся готовятся к работе. Староста заполняет рапортичку. Дежурные раздают раздаточный материал.

2.     Мотивация учебной деятельности.(3 мин.)

Тема сегодняшнего занятия «Первообразная функции. Неопределенный интеграл.». Знания по данной теме нами будет использоваться на следующих уроках при нахождении определенных интегралов, площадей плоских фигур. Большое внимание уделяется интегральному исчислению в разделах высшей математики в высших учебных заведениях при решении прикладных задач.

Наше сегодняшнее занятие является занятием изучения нового материала, по этому будет носить теоретический характер.

Цель занятия: сформировать представления об интегральном исчислении, понять его сущность, развивать навыки при нахождении первообразных и неопределенного интеграла.

Студенты записывают дату и тему занятия.

3.Изложение нового материала (50-51 мин)

Тема: «Первообразная функции. Неопределенный интеграл.»

1.     Из истории интегрального исчисления. О происхождении терминов и обозначений.

2.     Определение первообразной, её основное свойство, правила нахождения первообразных.

3.     Понятие неопределенного интеграла, его свойства.

4.     Таблица простейших интегралов.

1. История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачами, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей.

Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении таких задач связаны с применением метода исчерпывания, предложенным Евдоксом Книдским. С помощью этого метода Евдокс доказал:

1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.

2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание.

Метод Евдокса был усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи:

1. Вывод формулы площади круга.

2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра.

Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов.

Символ введен Лейбницем в 1675 г. Этот знак является изменением латинской буквы S. Само слово «интеграл» придумано Бернулли в 1690 г. Оно происходит от латинского integro, которое переводится, как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Действительно, операция интегрирования обратная операции дифференцирования т.е. для того, чтобы проверить правильность нахождения интеграла необходимо продифференцировать ответ и получить подынтегральную функцию. Другими словами интегральное исчисление решает задачу: по заданной производной или дифференциалу неизвестной функции требуется определить эту функцию. Отсюда можно сделать вывод, который мы запишем в виде определения.

2. Определение 1: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на данном промежутке, если для любого x из этого промежутка F’(x) = f(x).

 Пример:Первообразной для функции f(x)=x³ на всей числовой оси является F(x)=x⁴/4, поскольку (x⁴/4)’=x.

Основное свойство первообразных

Если F(x) – первообразная функции f(x), то и функция F(x)+C, где C – произвольная постоянная, также является первообразной функции f(x).

Геометрическая интерпретация

 

графики всех первообразных данной функции f(x) получаются из графика какой-либо одной первообразной параллельными переносами вдоль оси y.

Три правила нахождения первообразных

Правило №1: Если F есть первообразная для функции f, а G – первообразная для g, то F+G – есть первообразная для f+g.

(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g

Правило №2: Если F – первообразная для f, а k – постоянная, то функцияkF – первообразная для kf.

(kF)’ = kF’ = kf

Правило №3: Если F – первообразная для f, а k и b– постоянные (), то функция

- первообразная для f(kx+b).

3. Вернемся к теореме 1 и выведем новое определение.

Определение 2: Выражение F(x) + C, где C - произвольная постоянная, называют неопределенным интегралом и обозначают символом

Из определения имеем:

(1)

Неопределенный интеграл функции f(x), таким образом, представляет собой множество всех первообразных функций для f(x).

В равенстве (1) функцию f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx– подынтегральным выражением, переменную x –переменной интегрирования, слагаемое C - постоянной интегрирования.

Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных данной функции f(x) называется ее неопределенным интегралом и обозначается             :

 

где C – произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла.

Опираясь на определение первообразной, легко доказать следующие свойства неопределенного интеграла

1.     Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть если  = f(x), то

2.     Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

3.     Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

4.     Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов

5.     Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть если a=const, то

Таблица простейших интегралов.

     Учащиеся записывают фамилии великих математиков и их достижения в области интегрального исчисления.

     Учащиеся записывают информацию об истории возникновения интеграла.

     Учащиеся записывают лекцию, используя раздаточный материал и объяснения преподавателя. При доказательствах свойств первообразных и интегралов, используют знания по теме дифференцирования.

Решение примеров на нахождение неопределенного интеграла.

Самостоятельная работа

Вариант 1

f(x) = 2х + 4х3 – 1

f(x) = 3х2 + 2х -4.

f(x) = 5х4 – 2х + 1

f(x) = 2х3 + 4х5 – 2.

f(x) = 6х5 + 2х3 -1.

f(x) = 7х6 – 4х3 + 5

f(x) = 8х3 – 2х + 5

f(x) = 3х5 – 2х4 + 3

f(x) = 4х7 – 3х2 + 6

f(x) = 5х9 – 5х4 - 3

Вариант 2

f(x) = 6х5 +2х3 + 7

f(x) = 8х7 + 7х6 - 8

f(x) = 9х8 – 12х3 + 1

f(x) = 10х4 + 6х5 - 9

f(x) = 11х10 – 9х2 + 1

f(x) = 12х5 – 8х3 - 5

f(x) = 14х6 + 3х5 + 5

f(x) = 5х4 – 4х3 + 3

f(x) = 4х7 + 5х4 + 2

f(x) = 3х6 – 8х7 - 2

4.Закрепление изученного материала.(12 мин)

На этапе закрепления изученного материала предлагается игра «Найди свою половинку». Всем присутствующим предлагается разбиться на восемь подгрупп. Каждой подгруппе раздается карточка, на которой написано либо «функция» либо «первообразная» и соответствующее задание, т.е.

1.     Если на вашей карточке написано слово «функция», то вы должны используя таблицу простейших интегралов найти интеграл от этой функции.

2.     Если написано «первообразная», то вы должны найти саму функцию, используя операцию дифференцирования.

Свою «половинку» найти на доске. После чего прикрепить магнитом свой ответ. После полного набора, убедимся, что все совпадения правильные. Каким образом? Перевернуть ответы обратной стороной, где образуется ключевое слово «Интеграл» - тема занятия.

Придерживаться инструктажа по правилам игры.

А	Г	Е	И
2х-cosx+C	+sinx+C	lnx++c	х2-3х2+С

Л	Н	Р	Т
+3x+C	++С	++C	х-cosx+C

Функция

Первообразная

Функция

Первообразная

Функция

Первообразная

Функция

Первообразная

Функция

Первообразная

Функция

Первообразная

Функция

Первообразная

Функция

Первообразная

5.Подведение итогов занятия.(2 мин.)

Итак, получилось слово «интеграл», т.е. тема нашего сегодняшнего занятия. Применяя знания по новому материалу, вы справились с данной задачей. Преподаватель сообщает оценки за урок.

Участвуют в беседе по подведению итогов.

6.Домашнее задание (1 мин.)

Преподаватель сообщает домашнее задание:

1) Прочитать стр. 179 -182 в учебнике «Алгебра и начала анализа».

2) Выучить конспект.

3) Назвать фамилии великих математиков, имеющих отношение к теме «Интегральное исчисление».

4) Решить задачи № 332 (б, в), №333 (а, в) Колмогоров «Алгебра и начала анализа».

Записывают домашнее задание

Литература

1.     «Алгебра и начала анализа» - учебник, Колмогоров А.Н., М. 1991 г., стр. 179-182.

2.     «Математика» - учебное пособие, Дахневич Т.Ф., Клюева И.А., Волгоград 2002 г., стр. 82 – 85.

3.     «Неопределенный интеграл» - задание для внеаудиторной работы, Маринина Н.С., 2006