Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок на тему: "Похідна функції її геометричний та фізичний зміст"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок на тему: "Похідна функції її геометричний та фізичний зміст"

библиотека
материалов



Урок № 3

Тема уроку « Похідна функції її геометричний та фізичний зміст»

Мета уроку:

  • домогтися засвоєння означення похідної;

  • сформувати значення похідної під час обґрунтування формул для обчислення похідних деяких функцій;

  • сформувати поняття похідної в точці, операція диференціювання

  • загальна схема знаходження похідної в заданій точці;

  • сформувати геометричний та фізичний зміст похідної;

  • сформувати вміння знаходити кутовий коефіцієнт і кут нахилу дотичної до графіка функції в заданій точці,знайти швидкість зміни величини в точці.

  • розвивати логічне мислення ; навички контролю, самоконтролю та взаємоконтролю; спонукати до творчої діяльності.

  • виховувати любов до рідної мови та предмету; працьовитість, відчуття колективізму та відповідальності; вміння самостійно приймати рішення.

Тип уроку : засвоєння нових знань і вмінь

Методи навчання : пізнавально-практичні

Предметні зв’язки: геометрія, фізика, астрономія.

Матеріальне забезпечення уроку:

- таблиці, комп`ютер, мультимедійний проектор;

- картки-завдання ;

- додатки до теми «похідна та її застосування»


Хід уроку

І. Організаційний момент.

а) Перевірка відсутніх.

б) Перевірка готовності до уроку.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

Вибірково перевіряємо виконання домашнього завдання в учнів які потребують додаткової педагогічної уваги за матеріалом вивчених тем проводимо тестування

2

hello_html_26f4871b.gif=

hello_html_5798ed12.gif

hello_html_785319b1.gif


9

hello_html_m5c156911.gif

hello_html_m815823b.gif

hello_html_4b71c658.gifhello_html_m188d2534.gifhello_html_m258e091d.gifhello_html_12b41027.gifhello_html_m4c04bdf8.gifhello_html_m735495ed.gif.


ІІ. Актуалізація опорних знань.

Фронтальне опитування:

1.Дайте означення границі функції в точці.

2. Дайте означення функції неперервної на проміжку?

3. Сформулюйте властивості границі функції.

4. Сформулюйте означення дотичної до кола.

5.Запишіть рівняння прямої.

6.Що таке кутовий коефіцієнт прямої? Чому дорівнює кутовий коефіцієнт прямої:

а) яка є бісектрисою І і ІІІ координатних кутів;

б) яка є бісектрисою ІІ і ІV координатних кутів;

в) паралельна осі абсцис?

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності на уроці повідомлення теми мети уроку

ІV.Вивчення нового матеріалу.

План вивчення теми

  1. Означення похідної функції в точці хо .

  2. Яка функція називається диференційованою в точці? на проміжку?

  3. Схема знаходження похідної функції f(x) за означенням .

  4. Використання означення під час обґрунтування формул для обчислення похідних деяких функцій.

  5. Зв'язок між диференційованістю та неперервністю функцій.

  6. Геометричний зміст похідної. Кутовий коефіцієнт і кут нахилу дотичної до графіка функції в заданій точці

  7. Фізичний зміст похідної. Швидкість та прискорення прямолінійного руху.

Пояснення нового матеріалу: Конспект учня.

f(x)неперервна в точці хоhello_html_6283a54.gif при hello_html_m7b90e688.gifхhello_html_m3307766f.gif0 hello_html_286a781b.gif fhello_html_m3307766f.gif0

Функцію, яка має похідну в точці хо, називають диферен­ційованою в цій точці.

Функцію, яка має похідну в кожній точці деякого проміжку, називають диференційованою на цьому проміжку. Операція знаходження похідної називається диференціюванням

Для знаходження похідної функції у=f(x) за означенням можна користуватися схемою

1 . Знайти приріст функції hello_html_50d480c5.pngякий відповідає приросту аргумента hello_html_4fe8b57a.png

2.Знайти відношення hello_html_m70b8c46d.png

3. Зясувати ,до якої границі прямує відношенняhello_html_m70b8c46d.pngприhello_html_m45e6d039.gifхhello_html_m3307766f.gif0. Це і буде похідна.



hello_html_b40d839.png


Сприймання і усвідомлення геометричного змісту похідної, рівняння дотичної.

Нhello_html_m4b3420a2.pngа попередньому уроці ми розглядали задачу про знаходжен­ня кутового коефіцієнта дотичної. Порівнюючи одержані резуль­тати з означенням похідної, можна зробити висновок: значення похідної функції у = f(x) в точці xo до­рівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою xo : f'(xo) = k = tg α (рис. 27)

Розглянемо функцію у = f(x). Її гра­фік зображено на рис. 27.

У точці М(xo;yo) проведено дотичну до кривої у=f(x). Складемо рівняння дотичної AM, знаючи координати точки М(xo;yo) дотику і рівняння у = f(x) кри­вої. Дотична — це пряма. Рівняння будь-якої прямої має вигляд:

у = kx + b. Оскільки k = f'(xo), тому рівняння дотичної має вигляд:

у = f'(xo)x + b.

(1)

Знайдемо b, виходячи з того, що дотична проходить через точку М(xo;yo) і тому її координати задовольняють рівнянню дотичної:

уо = f '(хo) · хo + b, звідси b = уo – f '(xo) · xo.

Тепер підставимо значення b в рівняння (1) дотичної і одер­жимо:

у = f '(xo) ·x + уо – f '(xo) · xo y – yо = f '(xо )(x – xo

Отже, рівняння дотичної до кривої у = f(x) в точці М(xo; уo) має вигляд:

y – yо = f '(xo)(x – xo).

(2)

Рівняння дотичної до кривої у = f(x) у заданій точці xo можна знаходити за таким планом (схемою):


1. Записуємо рівняння дотичної: y – yо = f '(xo)(x – xo).

2. Знаходимо уo = f(xo

3. Знаходимо значення f '(x) у точці xo: f '(xo).

4. Підставляємо значення xo, yo і f '(xo) y рівняння y – yо = f '(xo)(x – xo). .


Сприймання і усвідомлення механічного змісту похідної.

На попередньому уроці ми розглядали задачу про знаходження миттєвої швидкості прямолінійного руху матеріальної точки. Порівнюючи одержані результати з означенням похідної, можна зробити висновок: якщо матеріальна точка рухається прямо­лінійно і її координата змінюється по закону s = s(t), то швидкість її руху v(t) в момент часу t дорівнює похідній s'(t):

v(t) = s'(t).


V. Формування вмінь та навичок при розв’язуванні задач по вивченому матеріалу.


Приклад 1. Знайдіть похідну функції f(x) = Зх2 + 2 в точці хо.

Розв'язання

Знайдемо приріст функції:

Δf = f(хо + Δx) – f(xo) = 3(хо + Δx)2 + 2 - 3hello_html_m669f600.gif - 2 =

= 3hello_html_m669f600.gif + бхоΔx+x2 + 2 - 3hello_html_m669f600.gif - 2 = 6хоΔх+ 3Δx2 = Δx(6xο + 3Δx).

Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:

hello_html_6b333474.gif.

Знайдемо похідну даної функції в точці х0:

f '(хo) = hello_html_m211c6dca.gif = hello_html_m36ff91f.gif= 6хо + 3 · 0 = 6хо.

Відповідь: 6хо.


Приклад 2. Знайдіть похідну функції f(x) = kx + b (k і b постійні) у точці xo.

Розв'язання

Знайдемо приріст функції:

Δf = f(хо + Δx) – f(xo) = k(xo + Δx) + b - kxo - b = kxo + kΔx - kxo = kΔx.


Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу:

hello_html_m7ebb9cd5.gif

Отже, f '(хo) = hello_html_m211c6dca.gif = hello_html_m3c4f27f3.gif= k, або (kx + b)' = k.

Відповідь: k.



Приклад 3. Розглянемо функцію у == хn, де n hello_html_m7cb53dec.gif N.

Знайдемо похідну цієї функції, для цього зафіксуємо значення аргументу х. і надамо йому приросту hello_html_7aad93af.gifx, тоді:

1) hello_html_7aad93af.gify = (xo+hello_html_7aad93af.gifx)n - hello_html_6f21543a.gif,

2) hello_html_m34d6a10d.gifhello_html_m4628b85.gif

hello_html_42021d6d.gifhello_html_77e25509.gif+ hello_html_69fb37de.gif.

(Скористалися фор­мулою

hello_html_m23015c09.gif.

3) f'(xo) hello_html_m60a6dd05.gif+ hello_html_42244c3f.gif+hello_html_26110978.gif+…+hello_html_69fb37de.gif.

Звідси (xn)' =nxn - 1, де n hello_html_m7cb53dec.gif N .


а) Розв’язування задач:

1. Користуючись означенням похідної, знайдіть похідну функ­ції f, якщо:

а) f(x) = х2 + 1 в точці 1; б) f(x) = х3 в точці 1;

в) f(x) = hello_html_7fb3abe7.gif в точці 1; г) f(x) =hello_html_m7e76c97f.gif в точці 1.

Відповідь: а) 2; б) 3; в) -1; г) hello_html_m57b063a1.gif.

2. Користуючись означенням похідної, знайдіть f'(x), якщо:

a) f(x) = 2х + 3; б) f(x) = х2 + х;

в) f(x) = 5х2 + 6х; г) f(x) = 3х2 + 5х + 6.

Відповідь: а) 2; б) 2х + 1; в) 10х + 6; г) 6х + 5.


3. За допомогою формули (kx + b)' = k, знайдіть похідні функції:

a) f(x) = 3х + 4; б) f(x) = 6х - 1;

в) f(x) = 10; г) f(x) = 5х.

Відповідь: а) 3; б) 6; в) 0; г) 5.



4. Точка рухається по закону s(t) = 1 + 2t2 (м). Знайдіть швид­кість руху точки в момент часу t = 1 с.

Відповідь: 4 hello_html_m1f7a7963.gif.

5. Знайдіть миттєву швидкість руху точки, якщо:

a) s(t) = 3t + 1; б) s(t) = 3 – 2t; в) s(t)=hello_html_7889e253.gift2·, г)s(t) = 3t2.

Відповідь: а) 3; б) -2; в) 5t; г) 6t.

6. Точка рухається прямолінійно за законом s(t) = 2t3 — 3t (s — шлях в метрах, t — час в секундах). Обчисліть швидкість руху точки:

а) в момент часу t; б) в момент t = 2 с.

Відповідь: а) (6t2 – 3)hello_html_m1f7a7963.gif; б) 21hello_html_m1f7a7963.gif.

7. Рух точки відбувається за законом s(t) = t2 4t + 6. У який момент часу швидкість руху дорівнює: а) 0; б) 10?

Відповідь: а) t = 2; б) t = 7.

8. Складіть рівняння дотичної до графіка функції у = х2 - в точці xo = 1. Виконайте схематичний рисунок.

Розв'язання



  1. y - yо = f '(xo)(x – xo) — рівняння шуканої дотичної.

  2. уo= 12 4·1 = 1 – 4 = - 3.

  3. hello_html_6ed68f93.gifhello_html_m4f819d3b.pnghello_html_42db25e.gif.



4. Підставляємо значення xo = 1, yo = –3, f'(xo) = –2 у рівняння дотичної: y + 3 = –2(x – 1), або у = – 3 – 2x + 2, або y = –1 – 2х (рис. 28).



9. Який кут (гострий чи тупий) утворює з додатним напрямом осі ОХ дотична до графіка функції: а) у = х2 + 2х в точці x = 1; б) у = х2 + 2х в точці x = -27

Відповідь: а) гострий; б) тупий.

10. Запишіть рівняння дотичної до параболи у = 3х2 - 2 у точці:

а) xo = -2; б) xo = 0; в) xo = 1.

Відповіді: а) у = - 12х - 14; б) у = -2; в) у = 6х - 5.


Історична довідка

Знак Δх запровадив 1755 року Л.Ейлер. Цей знак утворено з грецької букви « дельта», оскільки латиною слово differentia – різниця , відмінність,починається з букви d.

Термін « похідна» (французьке derive`e) увів 1797 року французький математик Ж.Лагранж (1736-1813). Він запровадив символ f І(x). Інакше позначення для похідної dx запропонував в 1675 році Г.Лейбніц, якого справедливо вважають творцем сучасної символіки математичного

аналізу

VІ. Підведення підсумків уроку.

а) Дайте відповіді на запитання

1. Що називається похідною функції в точці хо .

2.Яка функція називається диференційованою в точці? на проміжку?

3.Схема знаходження похідної функції f(x) за означенням .

4.Геометричний зміст похідної. Кутовий коефіцієнт і кут нахилу дотичної до графіка функції в заданій точці

5.Фізичний зміст похідної. Швидкість та прискорення прямолінійного руху.

б)Коментування діяльності учнів на уроці, виставляння оцінок

VІІ. Домашнє завдання.

Розділ 2. п.7 вивчити конспект

Самостійна робота с.77



Автор
Дата добавления 03.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров763
Номер материала ДБ-005204
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх