Урок на тему: "Правильные многогранники"

Урок по теме:

«Правильные выпуклые многогранники».

(10 класс)

Цель урока, направленная на развитие у учащихся знаниевого ресурса:

- Организовать работу учащихся по изучению и первичному закреплению понятия правильного многогранника;

- Создать условия для развития умений применять полученные знания на практике.

Цель, направленная на развитие у учащихся деятельностного ресурса:

содействовать развитию информационной компетентности (аспект: извлечение вторичной информации,1 уровень, обработка информации 2 уровень); коммуникативной компетентности (письменная коммуникация 1 уровень); самоменеджмент (аспекты: оценка результата продукта деятельности 1 уровень; рефлексия 1,2 уровни).

Дидактический тип урока: изучение нового материала.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний (смыслополагание).

Эпиграф

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук».                                         Л. Кэролл

Стимул:  Почему Природа способна создавать такие удивительные гармоничные структуры, которые восхищают и радуют глаз. Почему художники, поэты, композиторы, архитекторы создают восхитительные произведения искусства из столетия в столетие? В чем же секрет их Гармонии и какие законы лежат в основе этих гармоничных созданий? Почему Л. Кэрролл так высоко оценила значение правильных многогранников? (Показать влияние правильных многогранников на возникновение философских теорий и фантастических гипотез,  показать связь геометрии и природы).

Учитель предлагает учащимся выполнить компетентностно- ориентированное задание- математический диктант.

Задачная формулировка: правильные ответы на поставленные вопросы отмечать в указанной таблице и полученные ответы замените буквами из таблицы №1,2.

Вопросы математического диктанта:

1)Какая фигура называется многогранником?
2)Какие встречаются многогранники?

3)Какие многогранники изучали мы в курсе геометрии?
4)Какие многогранники называются выпуклыми?

Модельный ответ (вопросы 1-4).

№ вопроса	Предполагаемый ответ	Аналитическая шкала
1	Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, называют многогранной поверхностью или многогранником.	1 балл
2	Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые.	1 балл
3	Параллелепипед, призма, пирамида.	1 балл
4	Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.	1 балл

1) Сколько вершин имеет шестиугольная призма?

2)Какое наименьшее число рёбер может иметь призма?

3)Сколько диагоналей можно провести в четырёхугольной призме?

4)Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 1м, 2м, 3м. Найдите площадь его полной поверхности.

5)Три грани параллелепипеда имеют площади  2м², 3м², 4м². Найдите площадь его полной поверхности.

6)Боковое ребро прямой призмы равно 7 см, а одна из его диагоналей равна 14 см. Найдите угол между этой диагональю и плоскостью основания.

7)Высота пирамиды равна 3см. Чему равно расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания?

8)Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 м, а боковое ребро- 5м. Найдите апофему.

9)Каждое ребро треугольной пирамиды равно 3. Вычислите площадь полной поверхности.

10)В правильной усечённой пирамиде стороны оснований равны 2м и  6м, а апофема равна 4м. Вычислите площадь боковой  поверхности данной пирамиды.

Таблица №2

Бланк лля выполнения задания.

	и	р	л	ы	п	в	а	е	н	ь
1	1	6	10	8	9	12	11	7	24	22
2	2	8	9	12	6	15	4	10	16	7
3	3	2	8	6	3	1	5	4	10	9
4	4	10	8	23	36	6	22	16	18	20
5	5	18	52	16	24	28	36	10	9	15
6	6	60	45	30	90	100	40	15	180	150
7	7	5	8	2	9	7	10	1	6	4
8	8	9	3	8	5	1	12	10	6	4
9	9	3√3	9	4√3	9√3	12	8	7	6	3
10	10	48	16	72	36	54	12	108	64	144

Таблица №2

Поле модельных ответов.

	и	р	л	ы	п	в	а	е	н	ь
1	6	10	8	9	12	11	7	24	22	13
2	8	9	12	6	15	4	10	16	7	2
3	2	8	6	3	1	5	4	10	9	7
4	10	8	23	36	6	22	16	18	20	30
5	18	52	16	24	28	36	10	9	15	32
6	60	45	30	90	100	40	15	180	150	120
7	5	8	2	9	7	10	1	6	4	3
8	9	3	8	5	1	12	10	6	4	14
9	3√3	9	4√3	9√3	12	8	7	6	3	15
10	48	16	72	36	54	12	108	64	144	25

За каждый правильный ответ учащийся получает 1 балл.

Обсуждая полученные результаты, учащиеся получают слово- ПРАВИЛЬНЫЙ.

3) Изучение нового материала.

После обсуждения полученных в таблице результатов учащиеся формулируют тему урока: «Правильные многогранники» (презентация- слайд1-2)

Задачная формулировка: используя материал учебника (§ 3 стр.75-79  ) выполнить следующие задания:

1)    Перечислить признаки правильных многогранников.

2)    Дать определение правильного многогранника.

3)    Показать, почему не существует правильных многогранников, составленных из n- многоугольников при n больших, либо равных 6.

4)     Посмотрите на многогранник.( Демонстрируется модель многогранника, который получается из двух  правильных тетраэдров. приклеенных друг к другу одной гранью). Будет ли он правильным многогранником?

5)     Сделать вывод.  (Презентация учителя- слайд 3-6)

Модельный ответ:

№ вопроса	Предполагаемый ответ	Аналитическая шкала
1	1)    Многогранник – выпуклый 2) Все его грани – равные правильные многоугольники 3) В каждой вершине сходится одинаковое число рёбер 4) Равны все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.	1 балл
2	Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.	1 балл
3	Угол правильного n-угольника при n  6 не меньше 120о . С другой стороны, при каждой вершине многогранника   должно быть не менее трёх плоских углов. Поэтому если бы существовал правильный многогранник, у которого грани – правильные n-угольники при n  6,  то сумма плоских углов при каждой вершине такого многогранника была бы не  меньше, чем 120о × 3 = 360о. Но это невозможно, так как сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360о. По этой же причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трёх, четырёх или пяти равносторонних треугольников,   либо квадратов, либо трёх правильных пятиугольников. Других возможностей нет.	1 балл
4	Посчитаем число рёбер, сходящихся в каждой вершине. В некоторых вершинах сходятся три  ребра, в некоторых – четыре. Вторая часть определения правильного выпуклого  многогранника не выполняется и рассматриваемый многогранник, действительно, не является правильным.	1 балл
5	Всего существует пять видов правильных выпуклых многогранников. Их  гранями являются правильные треугольники, правильные четырёхугольники  (квадраты) и правильные пятиугольники.	1 балл

6)    Начертить в тетради 5 правильных многогранников. Для каждого из них проверить выполнение определения правильного многогранника, указать число граней. вершин, рёбер; посчитать количество центров, осей и плоскостей симметрии. Результаты занести в таблицу(5 баллов).

Бланк для выполнения задания №6

Правильный многогранник	Число
	граней	вершин	рёбер	Центров симметрии	Осей симметрии	Плоскостей симметрии
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

Прогнозируемый ответ:

Правильный тетраэдр (рис. 1) составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 о.

Рис. 1

 
Рис. 2

Правильный октаэдр (рис. 2) составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине 240 о.

 
Рис. 3

Правильный икосаэдр (рис. 3) составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 о.

 
Рис. 4

Куб (гексаэдр) (рис. 4) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 о.

 
Рис. 5

Правильный додекаэдр (рис. 5) составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 о .

Поле модельных ответов.

(презентация- слайд30-31)

Правильный многогранник	Число
	граней	вершин	рёбер	Центров симметрии	Осей симметрии	Плоскостей симметрии
Тетраэдр	4	4	6	нет	3	6
Куб	6	8	12	1	9	9
Октаэдр	8	6	12	1	9	9
Додекаэдр	12	20	30	1	15	15
Икосаэдр	20	12	30	1	15	15

За  правильно выполненное задание №6 учащийся получает 5 баллов.

4) Вывод формулы Эйлера.

Какую закономерность вы заметили в таблице № 6 (1 балл)

Модельный ответ: Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2, т.е.

Г + В = Р + 2.

Правильный многогранник	Число
	граней и вершин (Г + В)	рёбер (Р)
Тетраэдр	4 + 4 = 8	6
Куб	6 + 8 = 14	12
Октаэдр	8 + 6 = 14	12
Додекаэдр	12 + 20 = 32	30
Икосаэдр	20 + 12 = 32	30

     Учащиеся с учителем делают вывод:

    Итак, мы вместе «открыли» формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех  пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

5) Рефлексия:

1)        Задача. Определите количество граней, вер-

шин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для

данного многогранника.

Прогнозируемый ответ:

вершин: 10;

граней: 12;

рёбер: 20.                   Формула Эйлера: 12+10=20+2  (верно).

2)    Сколько рёбер может сходиться в одной вершине правильного многогранника?

Прогнозируемый ответ:

3, 4, 5

3) На какие многогранники разбивается правильный октаэдр секущей плоскостью, проходящей через два ребра, которые не принадлежат одной грани и имеют общую вершину?

Прогнозируемый ответ:

Два тетраэдра.

4)Ребро куба равно а. Найдите площадь сечения, проходящего через диагонали двух его граней.

Прогнозируемый ответ:

Площадь сечения, проходящего через диагонали смежных граней, равна . Площадь сечения, проходящего через диагонали противоположных граней, равна .

5) Найдите площадь полной поверхности  куба, правильного октаэдра, правильного икосаэдра, если ребро каждого из этих многогранников равно 2м.

Прогнозируемый ответ:

24,  ,  .

За каждое правильно выполненное задание учащийся получает один балл.

6) Подведение итогов урока.

Критерии оценки:

«2»- 1-10 баллов.

«3»- 11-21 баллов.

«4»- 22-27 баллов.

«5»- 28-30 баллов.

7)    Постановка домашнего задания.

 Учебник: § 3, №283, 286.

Источники информации:

1. . Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кардомцев и др.–5-е изд.– М.: Просвещение, 2007г.

 2. ЦОР «Открытая математика- стереометрия». Версия 2.6. Авторы курса: Р,П, Ушаков, С.А. Беляев. Под редакцией Т.С. Пиголкиной.

3.ЦОР «Уроки геометрии» Кирилла и Мефодия, 10-11 класс(1 часть).

4. Презентация учителя по теме : «Правильные многогранники».