Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Урок на тему «Предмет стереометрии, ее основные понятия и аксиомы»

Урок на тему «Предмет стереометрии, ее основные понятия и аксиомы»

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

5


Урок на тему «Предмет стереометрии, ее основные понятия и аксиомы»

Цели урока:

Образовательные:

  • Сформировать представления учащихся о логическом строении геометрии, о стереометрии, как разделе геометрии, изучающем свойства фигур в пространстве, о сходстве и различиях планиметрии и стереометрии.

  • Сформировать представления о точках, прямых и плоскостях, как основных понятиях стереометрии, о геометрических телах и их поверхностях.

  • Познакомить учащихся с возможностями изображения пространственных фигур и их взаимного расположения, их символическими обозначениями.

  • Изучить аксиомы стереометрии, учить применять их к решению задач.

Развивающие:

  • систематизировать представления учащихся о дедуктивном методе построения теории и рассуждений;

  • развивать их умения пользоваться эмпирическими методами познания, иллюстрировать различные пространственные конфигурации с помощью моделей;

  • формировать умение описывать соотношения между пространственными объектами на языке математики;

  • развивать умения осознанно применять аналитико-синтетические методы при решении задач.

Воспитательные:

  • Формировать мировоззрение учащихся через раскрытие взаимосвязи изучаемой информации с реальной действительностью, демонстрацию того, что стереометрия, с одной стороны, является результатом социального опыта, развития культуры, целенаправленной деятельности человека, с другой стороны, строится в соответствии со своими внутренними потребностями и логикой.

  • Продолжить знакомство с ролью и функциями математики как науки в развитии практической деятельности человека, воспитание привычки к выполнению эстетических требований.

Структура урока:

  1.  Актуализация знаний.


1.1. Мобилизующее начало урока, вводные слова учителя о начале изучения нового раздела геометрии.

2 мин.

1.2. Беседа о логическом строении геометрии на примере планиметрии с целью подготовки к формированию представлений о содержании и строении стереометрии.

4 мин.

1.3. Беседа о стереометрии, как разделе геометрии, изучающем свойства фигур в пространстве с целью формирования представлений о геометрических телах и их поверхностях.

5 мин.

1.4. Устная работа с моделями и предметами окружающей обстановки с целью закрепления представлений о геометрических телах и их границах, а также с целью выделения плоскости, как еще одного основного понятия геометрии, и мотивации необходимости введения аксиом стереометрии.

4 мин.

1.5. Подведение итога 1 этапа, постановка проблемы, выделение подпроблем.

  1. мин.

2. Формирование новых знаний и способов действия.


2.1.Самостоятельная работа исследовательского характера с целью решения поставленной проблемы.

8 мин.

2.2. Коллективное обсуждение результатов самостоятельной работы.

12 мин.

2.3. Беседа с целью знакомства учащихся со способами изображения пространственных фигур и их взаимного расположения, их символическими обозначениями, демонстрация возможности иллюстрации на рисунке результатов самостоятельной работы и содержания аксиом.

10 мин.

2.4. Обобщающая беседа с целью подведения итогов этапа.

  1. мин.

3.Применение знаний, формирование умений и навыков.


3.1. Решение задач с целью формирования умений по применению аксиом.

3.2. Обсуждение полученных результатов.

15 мин.


2 мин.


3.3. Подведение итога урока. Постановка домашнего задания.

1 мин.



Ход урока.

  1. Актуализация знаний.

    1. Мобилизующее начало урока.

    2. Беседа о логическом строении геометрии на примере планиметрии с целью подготовки к формированию представлений о содержании и строении стереометрии.


Учитель: Ребята, уже с 7 класса вы начали изучать такой предмет, как геометрия, а именно один раздел геометрии – планиметрию. Вспомним историю развития этой науки.

«Презентация 1»

Учитель: Как нам уже известно, геометрия делится на планиметрию и стереометрию. С планиметрией мы знакомились с 7 по 9 класс. Вспомним её основные понятия и сведения.

- Что изучается в курсе планиметрии.

- Какие фигуры являются (ключевыми) основными в курсе планиметрии

-Сформулируйте систему аксиом планиметрии.

Таким образом, мы с вами обобщили наши знания о курсе планиметрии.

А сегодня перед нами стоит следующая задача: Узнать, а что же такое стереометрия, рассмотреть её основные понятия и аксиомы.

    1. Беседа о стереометрии, как разделе геометрии, изучающем свойства фигур в пространстве с целью формирования представлений о геометрических телах и их поверхностях.

Учитель: Стереометрия –это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. На основе данного определения попробуем ответить на те же вопросы.

-Что изучается в курсе стереометрии. «Презентация 2»

Ученики: В курсе стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве.

Учитель: Какие фигуры являются (ключевыми) основными в курсе стереометрии.

Ученики: Основные фигуры – точка, прямая и плоскость.

Учитель: Сформулируйте систему аксиом стереометрии.

Ученики: Мы затрудняемся с ответом на 3 вопрос.

    1. Подведение итога 1 этапа, постановка проблемы, выделение подпроблем.

Учитель: Сегодня на нашем уроке нам предстоит дать ответ на этот вопрос. И так мы уже узнали некоторые сведения о стереометрии , и теперь нам предстоит сформулировать аксиомы стереометрии.



  1. Формирование новых знаний и способов действия.

    1. Самостоятельная работа исследовательского характера с целью решения поставленной проблемы.

Цель: Установить соотношения, определяющие взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве.

Инструктаж: Работа будет выполняться в тройках. На каждый стол выдаются карточки с заданиями. На выполнение заданий отводится 7-10 минут. В результате выполнения задания вам нужно сформулировать ваше предположение о том, каким должен быть ответ на поставленный в карточке вопрос.

Задание:

Карточка 1. (аксиома 1)

Исследовательская задача: С помощью моделей исследовать взаимное расположение точек и плоскости, выявить условие задания плоскости с помощью точек.

  1. Сконструируйте модель (плоскость, точки). С помощью модели проверьте, каким может быть взаимное расположение точек и плоскости?

  2. Используя модель, выясните, сколько точек достаточно выбрать, чтобы единственным образом задать плоскость? Каким должно быть их взаимное расположение?

  3. Сделайте вывод о том, сколько, по вашему мнению точек нужно выбрать и как их расположить, чтобы через эти точки проходила единственная плоскость.

Карточка 2. (аксиома 2)

Исследовательская задача: С помощью моделей, исследовать взаимное расположение прямой и плоскости, выявить условие принадлежности прямой плоскости.

  1. Сконструируйте модель (плоскость и прямая). С помощью модели проверьте, каким может быть взаимное расположение прямой и плоскости?

  2. Сколько общих точек могут иметь прямая и плоскость, как их взаимное расположение зависит от числа общих точек? При каком условии прямая принадлежит плоскости?

  3. Сделайте вывод о том, сколько, по вашему мнению общих точек достаточно иметь прямой и плоскости, чтобы вся прямая принадлежала плоскости.

Карточка 3. (аксиома 3)

Исследовательская задача: С помощью моделей, исследовать взаимное расположение двух плоскостей, выявить условие принадлежности прямой плоскости.


  1. Сконструируйте модель (2 плоскости). С помощью модели проверьте, каким может быть взаимное расположение двух плоскостей?

  2. Сколько общих точек могут иметь 2 плоскости, как их взаимное расположение зависит от числа общих точек? При каком условии плоскости пересекаются?

  3. Сделайте вывод о том, сколько, по вашему мнению общих точек достаточно иметь 2 плоскостям, чтобы все эти точки лежали в одной плоскости.


    1. Обсуждение полученных результатов.

Учитель: Теперь обсудим полученные результаты и запишем их к себе в тетради, кто работал с карточкой 1? Продемонстрируйте нам полученные модели.

Каким же может быть взаимное расположение точек и плоскости?

Ученики: точки могут лежать в плоскости, а могут и не лежать в плоскости.

Учитель: сколько точек достаточно выбрать, чтобы единственным образом задать плоскость?

Ученики: достаточно выбрать 3 точки.

Учитель: Каким должно быть их взаимное расположение?

Ученики: они не должны лежать на одной прямой.

Учитель: Верно, какой же вывод вы сделали, сколько, по вашему мнению точек нужно выбрать и как их расположить, чтобы через эти точки проходила единственная плоскость.

Ученики: Через любые 3 точки, не лежащие на 1 прямой, проходит плоскость и при том только одна.

Учитель: хорошо, верно. Запишем полученную аксиому.

Теперь обсудим результат работы со 2 карточкой.

Учитель: Продемонстрируйте нам полученные модели.

Каким может быть взаимное расположение прямой и плоскости?

Ученики: прямая может лежать в плоскости, может пересекать её, а может не лежать в плоскости.

Учитель: Сколько общих точек могут иметь прямая и плоскость, как их взаимное расположение зависит от числа общих точек?

При каком условии прямая принадлежит плоскости?

Ученики: прямая и плоскость имеют не менее одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют 1 общую точку, то они пересекаются, если 2 общие точки и более, то прямая лежит в плоскости.

Учитель: Сколько, по вашему мнению общих точек достаточно иметь прямой и плоскости, чтобы вся прямая принадлежала плоскости?

Ученики: Если 2 точки лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Учитель: Хорошо. Запишем полученные результаты.

И перейдем к обсуждению 3 карточки.

Продемонстрируйте нам полученные модели.

Каким может быть взаимное расположение двух плоскостей?

Ученики: Плоскости могут пересекаться, а могут не пересекаться.

Учитель: Сколько общих точек могут иметь 2 плоскости, как их взаимное расположение зависит от числа общих точек?

При каком условии плоскости пересекаются?

Ученики: 2 плоскости могут иметь не менее 1 общей точки. Если 2 плоскости имеют 1 общую точку и более, то данные плоскости пересекаются.

Учитель: Какой вывод вы получили?

Ученики: Если 2 плоскости имеют 1 общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки эти плоскостей.

Учитель: Хорошо. Молодцы ребята, вы отлично справились с заданием. И мы продолжаем с вами работать дальше.


    1. Беседа с целью знакомства учащихся со способами изображения пространственных фигур и их взаимного расположения, их символическими обозначениями, демонстрация возможности иллюстрации на рисунке результатов самостоятельной работы и содержания аксиом.

Учитель: Мы получили формулировки аксиом стереометрии, смогли продемонстрировать модели. Теперь нам необходимо научиться изображать пространственные фигуры и их взаимное расположение.

Учитель изображает у доски, ученики у себя в тетрадях.

  1. Применение знаний, формирование умений и навыков.

    1. Решение задач, с целью формирования умений по применению аксиом. (Один ученик выполняет задание у доски с комментированием, остальные у себя в тетрадях).

Задание 1 . Устное решение задач на применение аксиом.

Задание 2. Решение задач по готовым чертежам.

Задание 3. Решение задач у доски.

Задача № 7(Л.С. Атанасян и др.): Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?

Анализ условия и требования задачи.

Дано: ab=М.

Доказать: все прямые, пересекающие a и b в точках отличных от М лежат в одной плоскости.

Поиск способа решения задачи.

Учитель: Рассмотрим требование задачи. Откуда может следовать вывод о том, что все прямые, удовлетворяющие определенному условию, лежат в одной плоскости?

Если мы докажем, что произвольно выбранная прямая, удовлетворяющая данным условиям, принадлежит определенной плоскости, то это доказательство будет верным и для всех остальных прямых, удовлетворяющих данным условиям.

Следовательно, нужно рассмотреть некоторую прямую п, пересекающую данные прямые a и b, но не проходящую через точку М.

Учитель: Обратимся к условию задачи. Что следует из того, что «Две прямые пересекаются в точке М»?

По теореме о пересекающихся прямых эти прямые лежат в одной плоскости (α).

Учитель:Что следует из того, что прямая п пересекает две данные прямые, но не проходит через т. М?

Т. к. пересекающиеся прямые имеют единственную общую точку, то прямая п пересекает данные прямые в двух различных точках А и В.

Учитель:Как расположены точки А и В относительно плоскости α?

Эти точки принадлежат плоскости α, т.к. они принадлежат прямым лежащим в этой плоскости.

Учитель: Что следует из того, что прямая п проходит через точки А и В, лежащие в плоскости α?

По аксиоме А2 вся эта прямая лежит в плоскости α.

Учитель: Что следует из того, что произвольно выбранная прямая, удовлетворяющая условиям задачи, принадлежит плоскости α?

Из этого следует, что любая другая прямая, удовлетворяющая заданным условиям, также принадлежит плоскости α. Т. е. все прямые, пересекающие данные в точках отличных от М, лежат в одной плоскости. Ч.т.д.

Оформление решения.

  1. Прямые a и b лежат в одной плоскости α, по теореме о пересекающихся прямых (следствие 2).

  2. Пусть п пересекает прямые a и b соответственно в точках А и В.

  3. А и В Є α (следствие из пп. 1 и 2)

  4. пЄ α, на основании пп. 2, 3 и аксиомы А2.

  5. Т.к. п произвольно выбранная прямая, пересекающая a и b в точках отличных от М, то все такие прямые лежат в одной плоскости α.

Анализ проведенного решения.

Учитель: Какую задачу решили? Какой факт установили?

Все прямые, пересекающие две пересекающиеся прямые и не проходящие через точку их пересечения, лежат в одной плоскости.

Учитель: Как была решена задача? В чем особенность ее решения? Какие методы и приемы были использованы?

При решении задачи мы опирались на аксиому А2 и следствие из аксиом.

Учитель: Решение данной задачи привело нас к формулировке одного следствия из аксиом, теперь попробуем его сформулировать.

4.2. Обсуждение полученных результатов. Подведение итогов урока.

Учитель: Подведем итоги нашего занятия.

Что нового вы сегодня узнали?

Сформулируйте систему аксиом стереометрии.

Вызвала ли данная исследовательская работа у вас затруднение?

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 24.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров197
Номер материала ДВ-482099
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх