Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Урок на тему "Решение комбинаторных задач"
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Я люблю природу», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 15 ДЕКАБРЯ!

Конкурс "Я люблю природу"

Урок на тему "Решение комбинаторных задач"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

В данной статье рассмотрим один из уроков в курсе математики 5 класса, посвященного знакомству с комбинаторикой.

Цели урока.

Образовательные:

- познакомить учащихся с новым типом задач (комбинаторные задачи), приемами их решения – перебор возможных вариантов, построение дерева возможных вариантов, применение правила умножения;

- ввести новое понятие – факториал, закрепить его при решении задач, примеров, уравнений.

Воспитательные:

- формирование уважения к товарищам, умения слушать и слышать собеседника

- формирование отношения к дружбе как одной из важнейших человеческих ценностей.

Развивающие:

- формирование интереса к предмету;

- формирование вычислительных навыков;

- развитие логического мышления;

- формирование умения доказывать, обосновывать свое мнение.

Ход урока

1. Организационный момент

Учитель: Сегодня у нас с вами необычный урок. Мы будем решать задачи, связанные с одним из интереснейших разделов математики – комбинаторикой. В науке и в реальной жизни очень часто приходится решать задачи, главным вопросом которых является вопрос “Сколькими способами это можно сделать?”. Например:

- Сколькими способами можно поставить ученику оценку на уроке?

- Сколькими способами можно назначить дежурного в классе?

- Сколькими способами можно назначить двух дежурных в классе?

Решая такие задачи, приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой. А какой еще теме будет посвящен урок, вы узнаете, когда мы проверим, как вы справились с выполнением домашнего задания.

2. Проверка выполнения домашнего задания

(На предыдущем уроке домашнее задание составляется таким образом, чтобы заданий было ровно 6. Например, в учебнике Виленкина Н.Я. и др. это могут быть № 693(а, в), 735(1), 765(а,б,в) )

На доске – таблица и закрепленные магнитами карточки. На карточках с одной стороны – ответ к заданию из домашней работы, с другой стороны – буква.

Учитель: Проверим домашнюю работу. Откройте тетради, возьмите карандаши. Найдите ответы к номерам домашней работы.

Учащиеся выходят к доске по одному, выбирают карточку с ответом и прикрепляют ее в ячейку таблицы под номером задания. Сначала карточки закрепляют в клетках таблицы вверх стороной, на которой записан ответ, чтобы учащиеся могли проверить правильность выполнения домашней работы. Остальные проверяют свои ответы в тетрадях.

Варианты ответов (располагаются на разных сторонах карточек). Карточек делают заведомо избыточное количество, чтобы часть ответов была неверной.
Учитель: Оцените сою работу, поставьте оценку карандашом на полях. Нормы оценок:

5” - если все верно

4” - если одна ошибка

3” - 2-3 ошибки

2” - больше 3 ошибок

Учитель: Перевернем карточки, какое слово получили? (ДРУЖБА). Действительно, сегодня на уроке мы будем не только решать математические задачи, совершенствовать навыки вычислений, но и говорить о дружбе.

3. Новый материал.

Учитель: Итак, мы уже сказали, что будем сегодня учиться решать задачи, главным вопросом которых является вопрос “Сколькими способами..”.

Задача 1.

Имеются три слова “ДРУЖБА”, “ДЕЛО”, “ЛЮБИТ” (нарезать листочки с этими словами – по 7 карточек на каждое слово). Сколькими способами из этих слов можно составить фразу?

Учащиеся предлагают варианты, эти варианты составляют на доске.

Ответ: 6 способов.

Учитель: Как вы думаете, какой вариант является верным с точки зрения русского языка? (Дружба любит дело). Как вы понимаете это высказывание?

УчительЗдесь был приведен полный перебор всех возможных вариантов, или, как обычно говорят, всех возможных комбинаций. Поэтому это комбинаторная задача. Давайте подумаем, как можно записать, оформить решение этой задачи.

1 способ. Обозначим предложенные слова заглавными буквами:

ДРУЖБА – Д

ЛЮБИТ – Л

ДЕЛО – Е (возьмем вторую букву этого слова)

Тогда все названные вами способы можно просто перечислить: ДЛЕ, ДЕЛ, ЛДЕ, ЛЕД, ЕДЛ, ЕЛД.

2 способ.

Оказывается, решение можно оформить в виде модели, которую называют деревом возможных вариантов. Она, во-первых, наглядна, как всякая картинка, и, во-вторых, позволяет все учесть, ничего не пропустив,

Учащиеся под руководством учителя составляют схему:

hello_html_m5da3b1d2.jpg

Способ 3 (рассуждение)

На первом месте может стоять одно из трех слов: ДРУЖБА, ЛЮБИТ, ДЕЛО. Если первое слово выбрано, то на втором месте может стоять одно из двух оставшихся слов, а на третьем месте – только одно оставшееся слово. Значит, всего вариантов: hello_html_m70c7b508.gif.

Заметим, что последний прием называется правилом умножения.

У каждого из этих трех способов есть свои преимущества и свои недостатки (обсудить) Выбор решения – за вами! Отметим все же, что правило умножения позволяет в один шаг решать самые разнообразные задачи.

Задача 2.

У Ани 3 подруги, и она каждой из них купила по шоколадке и хочет подарить их к празднику. Сколькими способами она может это сделать?

Решение: Решение выполняют на доске ученики (решение выполняется 3 способами)

Задача 3.

В компании друзей – 6 человек: Андрей, Борис, Витя, Гриша, Дима, Егор. В школьной столовой за столом 6 стульев. Друзья решили каждый день, завтракая, рассаживаться на эти 6 стульев по-разному. Сколько раз они смогут это сделать без повторений?

Решение:

Учитель: Какой способ мы выберем? (Учащиеся под руководством учителя должны придти к выводу, что это третий способ – правило умножения).

Решение оформляет на доске ученик.

Для удобства рассуждений будем считать, что друзья усаживаются за стол поочередно. Будем считать, что первой усаживается за стол Андрей. У него 6 вариантов выбора стула. Вторым усаживается Борис, и независимо выбирает стул из 5 оставшихся. Витя делает свой выбор третьим и на выбор у него будет 4 стула. У Гриши будет уже 3 варианта, у Димы – 2, у Егора – 1. По правилу умножения получаем:

hello_html_750d2871.gif.

Ответ – 720 дней или почти 2 года.

Учитель: Как мы видим, условия задач разные, а решения, по сути дела, одинаковы. Удобно, поэтому ввести и одинаковые обозначения для этих ответов.

Определение: произведение всех натуральных чисел от 1 до п включительно называется п – факториал и обозначается символом п!

п! = hello_html_m4d2bc2de.gif

Знак п! читается “Эн факториал”, что в дословном переводе с английского языка обозначает “состоящий из пмножителей”. Отметим важную особенность этой величины – ее быстрый рост.

Задача 4.

Вычислите:

а) 1!; б) 2!; в) 3!; г) 4!; д) 5!; е)10!

Считают, что 0! =1 (записать)

Задача 5.

Учитель: ДРУЖБА – одно из важнейших богатств, которое может быть у человека. Недаром о дружбе слагаются стихи и песни, сочиняют пословицы и поговорки. Какие пословицы и поговорки о дружбе вы знаете?

Друзья познаются в беде.
Не имей сто рублей, а имей сто друзей.
Один в поле не воин.
Сам погибай, а товарища выручай.
Старый друг лучше новых двух.
Без друга в жизни туго.

- Молодцы! Для каждого человека очень важно, чтобы у него были хорошие, настоящие друзья. Давайте решим несколько примеров с применением нового понятия – факториал, и узнаем новую пословицу о дружбе.

6! – 5!

hello_html_m390945d.gif

hello_html_m2e972443.gif

п -?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Карточки с ответами выполняют с запасом (есть карточки с числами, не являющимися ответами).

Таблица после заполнения:

6! – 5!

hello_html_m390945d.gif

hello_html_m2e972443.gif

п -?

5048

40256

600

24

7

Нет

друга -

ищи,

а нашел -

береги

Задание 6.

К Васе в гости пришли 4 друзей, и они собираются смотреть новый фильм. У Васи в комнате есть кресло и еще он принес 4 стула из кухни. Кресло он, несомненно, займет сам, а на стульях рассадит своих друзей. Вася подсчитал, что рассадить друзей он сможет 24 способами.

Учитель: Правильно ли рассчитал Вася? (Да, с точки зрения математики)

- Хорошо ли он поступил? (Обсуждается моральный аспект проблемы)

4. Физкультурная минутка.

Учитель: А теперь давайте немного отдохнем, а для этого проведем физкультурную минутку. Если я правильно прочитаю выражение, то вы встаете и поднимаете руки вверх, а если неправильно – садитесь, руки в бок.

Встали. Начинаем, будьте внимательны.

Частное 4х и 2!

+

5! + 7! + 3!

Сумма 5!, 7! и 3!

+

20! - 19!

Частное 20! и 19!

-

6. Самостоятельная работа.

Учитель: Ну, а теперь, когда мы хорошо отдохнули, давайте проверим, что мы научились делать сегодня на уроке. Для этого выполним самостоятельную работу.

1. Шесть разных писем раскладывают в 6 разных конвертов. Сколько существует способов такого раскладывания?

2. Вычислите:

а) 6! – 2hello_html_m1cdf4231.gif; б) 4! + (2+3)2

2. Вычислите:

а) 32 + 5! б) (9-4)2 + 4!

3. Сколькими способами 5 мальчиков могут занять очередь к билетной кассе, если первым все равно будет Толя?

3. Сколькими способами Даша может съесть обед, состоящий из первого, второго, третьего и пирожного, если первым она наверняка съест пирожное?

7. Домашнее задание.

- Придумать, записать условия и решения 2 комбинаторных задач на тему “Семья”. Оформить на листах А4, можно выполнить рисунки к задачам.

8Итог урока.

Давайте подведем итоги урока.

- Что нового узнали? (Получили правило умножения, рассмотрели его геометрическую модель – дерево вариантов, ввели новое понятие – факториал)

- Что понравилось?

- Что запомнилось?

- Оценки за урок.



Общая информация

Номер материала: ДБ-104246

Похожие материалы