Урок на тему "Уравнение в курсе алгебры"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Теляковская средняя общеобразовательная школа»

Ясногорского района Тульской области

Урок по теме

«Уравнения в курсе алгебры»

9 класс

Учитель математики

первой квалификационной категории

Кучабо Ю.Б.

2016 г.

Уравнения в курсе алгебры

Тип урока: урок повторения и систематизации знаний, умений и навыков учащихся.

Цель:  организовать деятельность обучающихся по обобщению и закреплению методов решения всех типов уравнений;     определить степень подготовленности учащихся  по теме «Уравнения».

Задачи:

• повторение основных понятий по теме «Уравнения»; формирование потребности приобретения новыхзнаний;

•  способствовать  воспитанию сотрудничества, уважения друг к другу, ответственности, самоконтроля;

•  развитие мышления, математической речи, умения правильно, логически обоснованно мыслить и рассуждать.

Вид урока: комбинированный

Структура урока:

1) Мотивационная беседа, самоопределение к деятельности.

2) Актуализация знаний.

3) Обобщение теории.Проверка домашнего задания. Защита минипроектов.

4) Диагностика усвоения. (Разноуровневая самостоятельная работа с проверкой).

5) Динамическая пауза.

6) Индивидуальная работа с материалами для ОГЭ.

7) Домашнее задание.

8) Итог. Рефлексия.

Ход урока:

1.Мотивационная беседа, самоопределение к деятельности. (2 мин)

Учитель  сообщает тему  и вместе с учащимися определяет цель и задачи урока.

2.Актуализация знаний. Фронтальная беседа с учащимися  по теории. (3 мин).

Ответь на вопрос:

1.Что такое уравнение?

2. Что такое степень уравнения?

3. Что значит решить уравнение?

4.Что такое корень уравнения?

5.Какие уравнения называются равносильными?

6.Основные свойства равносильных уравнений.

Обучающиеся отвечают на вопросы.

3. Обобщение теории. (15 мин)

Мы повторили основные понятия темы «Уравнения». Вспомните, пожалуйста, какие виды уравнений вы знаете. (Линейные, квадратные, уравнения высших степеней, дробные уравнения). Каждый ученик представляет определенный вид уравнения (как минипроект). Первый рассказывает историю возникновения уравнений, приводит примеры, алгоритм решения линейных уравнений. Второй дает определение квадратных уравнений, рассказывает о способах их решения, приводит пример квадратного уравнения и его решение. Третий приводит примеры и рассказывает о методах решения уравнений высших степеней. По ходу урока обучающиеся ведут листки самоконтроля. Другие виды уравнений и способы их решения повторим с помощью презентации. Особое внимание уделим повторению распадающихся уравнений и неравносильных преобразований, приводящих к потере корня или к образованию постороннего корня (презентация).

4. Диагностика усвоения. (10 мин).

Один из способов решения уравнений – графический. И чтобы им воспользоваться, необходимо знать, что представляют собой графики известных функций. Повторим соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.Эти задания взяты из материалов для подготовки к ОГЭ 2016 года. Первый человек рисует на доске схемы графиков функций у = 3х, у = - 2х²и у = - 6 /х. Второй: у = - 5х, у =х²- 2 и у = - (х+3)². Третий: у= 2х – 3, у = - 2х² + 3 и х² + у² = 9. Для построения графиков квадратичных функций обучающиеся используют шаблон параболы.

Затем, обучающиеся   выполняют    самостоятельную работу с моментальной проверкой. Первый вариант на 3, второй – на 4, третий – на 5. Обучающиеся сами решают, какой вариант им выполнять.

Первый вариант: а) 4(х-11) = 5(2х-7), б) 10х² + 5х = 0, в) х(х - 2) = 3

Ответы: а) х = - 1,5; б) х₁ = 0, х₂ = - 0,5; в) х₁ = - 1, х₂ = 3.

Второй вариант: а) – = 3, б) 2х² - 18 = 0, в) 2х(3х – 1) = 5(х + 1)

Ответы: а) х = 16, б) х₁ = 3, х₂ = - 3, в) х₁ = - 0,5, х₂ = 1 .

Третий вариант: а) - = 3, б) = 2х, в) + =

Ответы: а) х = 16, б) х₁ = - 1,5; х₂ = 2, в) х = - 2,5.

Обучающиеся проверяют по слайдам презентации правильность своего решения и обговаривают возможные ошибки.

5. Динамическая пауза.(2 мин)

1) Гимнастика для глаз. Двигать глазами вверх – вниз, влево – вправо. Зажмурившись, снять напряжение, считая до десяти. Представить себе большой круг. Обводить его глазами по часовой стрелке, потом против часовой стрелки. Рисование носом.Дети закрывают глаза. Представляют себе, что нос стал длинным и рисуют предложенный учителем предмет, букву и т. д.

2) Встать, выпрямиться, расправить плечи. Вытянуть правую руку вперед. Следить глазами, не поворачивая головы, за медленными движениями указательного пальца вытянутой руки влево и вправо, вверх и вниз. В среднем темпе проделать 3–4 круговых движения головой в правую сторону, столько же в левую сторону. Потянутся, выпрямив руки вверх и встав на носочки. Повторить 2 раза.

3) Расслабив глазные мышцы, посмотреть вдаль на счет 1–6.

6. Работа с материалами для ОГЭ. (10 мин)

Продолжим урок. На слайде вы видите уравнения высших степеней и методы их решения. Непосредственно эти уравнения взяты из материалов для подготовки к ОГЭ 2016 года. Решать их вы будете у доски таким образом: первые номера решает один обучающийся, вторые – второй, для этого доска делится на две части. Остальные решают эти задания в тетради. Затем, следующий человек у доски решает третьи номера, по ходу решения все проверяется. В листках самоконтроля обучающиеся выставляют себе итоговую отметку за урок.

Задание для первого обучающегося: а) х³ - 4х = 0, б) х⁴ - 6х² + 8 = 0.

Для второго: а) х⁴ – 8х = 0, б)(х² + 3)² - 11(х² + 3) + 28 = 0

Для третьего: а) 3х³ - х² - 27х + 9 = 0, б) (х² + х +1)² +2(х² + х +1) – 3 = 0.

7. Домашнее задание. (1 мин)

Домашняя работа задается по учебнику. Это задания для повторения № 132, № 276 (б), № 279 (б) и № 291 (а). Решив их, вы закрепите повторенные на уроке алгоритмы решения уравнений.

8. Рефлексия. (2 мин)

Подведем итог урока. Мы повторили все, что вы должны знать по теме «Уравнения». Все ли вам было понятно? Испытываете ли вы какие-то затруднения? Что нужно сделать, чтобы этих затруднений не было?

Оформите свои листки самоконтроля и сдайте их.

История возникновения, правила решения

и примеры линейных уравнений

С уравнениями мы знакомы еще с начальных классов. Я очень люблю решать уравнения и меня всегда интересовало, где и когда возникли уравнения, кто вывел закономерности составления и решения уравнений, для чего нужно изучать уравнения, как в обыденной жизни можно применить знания по данной теме. 

Я решил узнать историю возникновения уравнений.Также я покажу алгоритм решения линейных уравнений и покажу пример решения такого уравнения.

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, без указаний того, каким образом эти решения были найдены. 

Итак, линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида ах=b, где а и b – некоторые числа, а х – переменная. Отличительная особенность такого уравнения в том, что переменная х в нем будет только в первой степени. Алгоритм решения линейного уравнения сводится к тому, чтобы привести данное уравнение к виду ах=b. Итак:

1. Упростить: раскрыть скобки в обеих частях уравнения, привести к общему знаменателю (если исходное уравнение сдержит дробные коэффициенты).

2. Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну часть уравнения, а числа без переменной – в другую часть.

3. Упростить: привести подобные слагаемые.

4. Разделить обе части уравнения на коэффициент при переменной.

5. Записать ответ.

Пример: 5(11 – х) = 20

55- 5х = 20

-5х = 20-55

-5х = - 35

х = 7

История возникновения, правила решения

и примеры квадратных уравнений

История квадратных уравнений: уже около 4000 лет назад вавилонские учёные владели решением квадратного уравнения и решали системы двух уравнений, одно из которых второй степени. Среди клинописных текстов были найдены примеры решения неполных, а также частичных случаев решения полных квадратных уравнений.На глиняных табличках запечатлены только задачи и основные шаги их решения. Так как для обозначения неизвестных величин использовалась геометрическая терминология, то и методы решения в основном заключались в геометрических действиях с линиями и площадями. Что касается алгебраических задач, то они формулировались и решались просто словами. 

Задачи на квадратные уравнения встречаются также в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax² + bх = с, где а > 0. Правило решенияБрахмагупты по существу совпадает с нашим. 

Итак, напомню, что квадратным уравнением называется уравнение вида ах² + bх + с = 0, где х –переменная, а, b и с - некоторые числа, причем а  0.Числа а, b и с - коэффициенты квадратного уравнения. Число аназывают первым коэффициентом, b – вторым коэффициентом и с – свободным членом.

Алгоритм для решения полных квадратных уравнений: наличие корней зависит от знака выражения D= b² – 4ac (дискриминант).

Если D>0 , уравнение имеет два корня х_1,2 =

Если D = 0, один корень х = – ,

Если D< 0, корней нет

Пример: - 7х - 5 = 0

Д = 49 + 4 · 6 · 5 = 169

= = - 0,5

= = = 1

Ответ: х₁ = - 0,5; х₂ = 1

История возникновения, правила решения

и примеры уравнений высших степеней

Впервые алгебру, как науку решения уравнений, отделил от арифметики среднеазиатский математик и астроном Мухаммед аль-Хорезми, живший в VIII-IXв.в. Он изложил способы решения уравнений в своем трактате «Алгебра», пользуясь приемом ал-джабр (от этого слова и образовалось: алгебра). Поэт, учёный Омар Хайям написал «Алгебру» – выдающееся сочинение, в котором содержалось систематическое исследование уравнений третьей степени. Он также успешно занимался проблемой иррациональных и действительных чисел. Ему принадлежит философский трактат «О всеобщности бытия». В 1079 г. он ввел календарь, более точный, чем современный григорианский. В 12 веке «Алгебра» аль-Хорезми стала известна в Европе и была переведена на латинский язык. С этого времени начинается развитие науки в европейских странах.

В конце 16 века выдающийся французский математик Франсуа Виет, ввёл буквенные обозначения, притом не только для неизвестных, но и для известных величин (неизвестные обозначались заглавными гласными буквами, а известные – заглавными согласными). 

В середине 17 века алгебраическая символика, благодаря французскому учёному Декарту приобретает вид, очень близкий нынешнему. 

Итак, алгебраические уравнения высших степеней – это уравнения, приводимые к виду f(x) = 0, где f (x) – многочлен степени выше 2.

Методы их решения:

1. Разложение на множители,

2. Замена переменной,

3. Графический.

Рассмотрим пример решения уравнения третьей степени графическим способом.

Пример: х³ - = 0

Представим это уравнение в виде двух графиков функций у = х³ и у = . В одной системе координат построим графики этих функций, отметим точки пересечения графиков и найдем абсциссы этих точек; это и будут корни данного уравнения. Графики пересекаются в двух точках, абсциссы которых равны - 1 и 1. Значит, корни уравнения – числа - 1 и 1.

Ответ: - 1; 1