Урок "Неоднородные дифференциальные уравнения"

Дифференциальные уравнения: тема «Неоднородные дифференциальные уравнения»

Данное занятие проводится для студентов 2 курса, Сыктывкарского государственного университета им. Питирима Сорокина.

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.

Цель занятия: Познакомить студентов с новым типом дифференциальных уравнений и научить основным принципам их решения.

Задачи урока:

1.     образовательные: ознакомиться с понятием неоднородного дифференциального уравнения, узнать алгоритм решения данного уравнения, научиться решать уравнения нового типа;

2.     воспитательные: воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов, стремление к творческой деятельности;

3.     развивающие: развивать  коммуникативные  навыки во время практической работы; организовывать собственную деятельность.

Оборудование:

1.     Тетрадь

2.     Учебник

3.     Задачник

Литература:

1.     Беляева Н.А.. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие, Сыктывкар, 2011

2.     Филиппов А.Ф.. Сборник задач по дифференциальным уравнениям 176 стр. Ижевск: "РХД", 2000

Ход занятия

Этапы занятия, методы, средства, приемы	Деятельность преподавателя	Деятельность учащихся
Организационный момент (3 мин)	Здравствуйте! Я рада Вас видеть, присаживайтесь. Давайте отметим отсутствующих.	Приветствуют преподавателя. Староста говорит кто отстуствует.
Психологический настрой и педагогические установки на организацию работы на уроке (2 мин)	На прошлом занятии мы с вами закончили изучение большой главы «Однородные дифференциальные уравнения». Сегодня мы с Вами познакомимся с новым типом дифференциальных уравнений. Материал не представляет особых сложностей, главное, уметь уверенно интегрировать и дифференцировать.	Слушают учителя.
Вызов. Работа по методу ЗХУ.(5 мин)	Тема нашего занятия: Неоднородные дифференциальные уравнения Сделайте, пожалуйста, табличку в тетради, состоящую из 3ех колонок: 1ая колонка – Знаю, 2ая колонка – Хочу узнать, 3я колонка – Узнал.  И подумайте, что могут означать эти 3 слова, какие представления они у вас вызывают. Заполните первые 2 столбика, а 3ий столбик вы заполните по окончании занятия. -Заполнили? Хорошо, давайте обсудим, что вы уже знаете и что хотели бы узнать по этой теме. - Вот видите, оказывается, с этими понятиями  вы ещё почти и не сталкивались. Так что сегодня мы все вместе пополним ваш багаж знаний.	Учащиеся заполняют таблицу. Знаю: думаю что неоднородные, значит представляют собой неоднородную функцию Хочу узнать: Что это за уравнения, научиться их решать
Сообщение темы и цели урока (2 мин)	Итак, запишите название темы «Неоднородные дифференциальные уравнения». Умение решать такие уравнения очень важно для математиков, т.к. именно такие типы уравнений обычно описывают какие- либо физические и природные явления.	Записывают тему занятия.
Объяснение нового материала (30мин)	Определение линейного уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение вида y′+a(x)y=f(x), где a(x) и f(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений: ·         Использование интегрирующего множителя; ·         Метод вариации постоянной. Использование интегрирующего множителя Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме: y′+a(x)y=f(x), то интегрирующий множитель определяется формулой: u(x)=exp(∫a(x)dx). Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x)u(x).  Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде: y=∫u(x)f(x)dx+Cu(x), где C − произвольная постоянная. Метод вариации постоянной Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения: y′+a(x)y=0. Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x).  Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Разумеется, оба метода приводят к одинаковому результату. Задача Коши Если, кроме дифференциального уравнения, задано также начальное условие в форме y(x0)=y0, то такая задача называется задачей Коши.  Решение задачи Коши не содержит произвольной константы C. Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие y(x0)=y0.	Вслед за учителем пишут конспект
Закрепление изученного материала с помощью задачника (30мин)	Рассмотрим пример решения таких уравнений: Решить уравнение y′−y−xex=0. Пр.1. Запишем данное уравнение в стандартной форме: y′−y=xex. Будем решать это уравнение, используя интегрирующий множитель: u(x)=e∫(−1)dx=e−∫dx=e−x. Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения определяется выражением: y(x)=∫u(x)f(x)dx+Cu(x)=∫e−xxexdx+Ce−x=∫xdx+Ce−x=ex(x22+C). Пр.2: Решить дифференциальное уравнение xy′=y+2x3. Будем решать данную задачу методом вариации постоянной. Сначала найдем общее решение однородного уравнения: xy′=y, которое решается разделением переменных: xdydx=y,⇒dyy=dxx,⇒∫dyy=∫dxx,⇒ln|y|=ln|x|+lnC,⇒y=Cx. где C − произвольное положительное число.  Теперь заменим константу C на некоторую (пока неизвестную) функцию C(x) и далее будем искать решение исходного неоднородного уравнения в виде: y=C(x)x. Производная равна y′=[C(x)x]′=C′(x)x+C(x). Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем: x[C′(x)x+C(x)]=C(x)x+2x3,⇒C′(x)x2+C(x)x=C(x)x+2x3,⇒C′(x)=2x. Интегрируя, находим функцию C(x): C(x)=∫2xdx=x2+C1, где C1 − произвольное действительное число.  Таким образом, общее решение заданного уравнения записывается в виде: y=C(x)x=(x2+C1)x=x3+C1x. Давайте попробуем самостоятельно порешать уравнения такого типа, Открываем задачник на стр.56 и выполняем задания: № 431, № 432, № 433,  № 434. Решили?	Работают с учителем. Потом решают самостоятельно с последующим разбором у доски
Выводы, рефлексия, оценивание. Подведение итогов (10мин.).	Наше занятие подходит к концу, давайте подведем итог! Заполните пожалуйста 3 колонку таблички которую мы заполняли в начале пары! Чему вы сегодня научились, что нового узнали? Через пару минут зачитаем ваши записи.	Заполняют табличку : Познакомились с новым типом дифференциальных уравнений, изучили методы их решения.
Домашнее задание (6 мин)	Стр. 56 задачника №436,455,440. Посмотрите на задачи и задайте вопросы если что то не понятно.	Задают вопросы.
Организационный конец занятия (2 мин)	На этом наше занятие окончено! Спасибо за работу!	Прощаются с учителем.

Записи студента.

1.     В тетради имеются записи алгоритма решения уравнения нового типа.

2.     Записи примеров решения уравнений

Литература:

1.     Беляева Н.А.. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие, Сыктывкар, 2011

2.     Филиппов А.Ф.. Сборник задач по дифференциальным уравнениям 176 стр. Ижевск: "РХД", 2000