Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок - образец исследования по теме «Квадратное уравнение. Способы решения квадратного уравнения».

Урок - образец исследования по теме «Квадратное уравнение. Способы решения квадратного уравнения».

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:









Урок - образец исследования в 8 классе по теме

«Квадратное уравнение. Способы решения квадратного уравнения».







Учитель математики МБОУ СОШ №: г. Пушкино

Московской области

Крылова Лариса Алексеевна.





























(слайд1)

Урок - образец исследования по теме

«Квадратное уравнение. Способы решения квадратного уравнения».

По дидактической цели — это урок обобщения и систематизации знаний, по содержанию элементов исследовательской деятельности — урок «Образец исследования» (начальный уровень).

Образовательные задачи урока. Систематизировать знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений, расширить и углубить представления учащихся о решении уравнений, организовать самостоятельную поисковую деятельность учащихся при решении квадратных уравнений,создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.

Педагогические задачи урока.

Познакомить учащихся с особенностями процесса научного познания, ступенями исследовательской деятельности; научить их различать проблемы, формулировать и отбирать полезные гипотезы, интерпретировать данные, делать выводы; заинтересовать учащихся исследовательской деятельностью, поиском новых проблем, вопросов.

Развивающие задачи урока:

  • развивать математическое мышление, память, внимание;

  • развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать, классифицировать, строить умозаключения, делать выводы;

  • развивать коммуникативные навыки; навыки 

  • самостоятельной  работы;

  • развивать устную и письменную речь учащихся;

  • привить любовь к предмету, желание познать новое.

Воспитательные задачи урока:

  • воспитывать культуру умственного труда;

  • воспитывать культуру коллективной работы;

  • воспитывать информационную культуру;

  • воспитывать потребность добиваться успехов в приобретении знаний; воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля, развитие самостоятельности и творчества.

Формы обучения:

Индивидуальная, фронтальная работа, взаимопомощь, групповая (коллективная) деятельность.

Методы обучения на уроке:

математические методы –побуждающе-исследовательский, частично-поисковый, метод контроля и самоконтроля, моделирование, использование математического языка,

методы психологии – развитие мыслительных операций: анализ и синтез, классификация и систематизация, сравнение и обобщение;

методы педагогики – методы организации и стимулирования учебной деятельности;

информационные методы - использование презентации Power Point.

Технологии:

технология обучения в сотрудничестве,

элементы личностно-ориентированной технологии,

технология проблемного обучения,

информационно-коммуникационная технология.

Тип урока:

Урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование:

Компьютер, мультимедийная установка, презентации, листы учета знаний, карточки «Виды квадратных уравнений», «Формулы корней», таблицы Брадиса.

1. Обоснование выбора формы проведения урока.

Возрастающая потребность связи математики и различных жизненных ситуаций побуждает учителя применять такие формы проведения уроков, которые бы могли донести знания до учащихся как можно интереснее и доступнее. Одной из таких форм является урок – обобщения и систематизации знаний, на котором школьники сами находят способы решения квадратных уравнений, обсуждают их решение, учатся критически мыслить, анализировать

2. Актуальность поставленной цели урока. При решении квадратных уравнений учащиеся используют в основном один способ, с помощью дискриминанта. О решении несколькими способами, как правило, не приходится говорить. Данный урок позволяет обобщить и рассмотреть различные способы решения квадратных уравнений изучаемых на уроках алгебры в разное учебное время; привести усвоенные способы в стройную систему, познакомиться с нестандартными способами решения квадратных уравнений .

3. Место урока в тематическом планировании и системе уроков.

Преподавание ведётся по учебнику «Алгебра - 8», под редакцией А.Г. Мордковича. В учебнике отдельно рассматриваются темы «Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена», «Решение квадратных уравнений по формуле», «Теорема Виета», «Графический способ решения уравнений». Данный урок позволяет обобщить все ранее изученные способы, так как к его проведению они умеют решать уравнения различными методами. В 9 классе после изучения темы: «График квадратичной функции» эта работа будет продолжена.

4.Форма организации деятельности учащихся.На уроке я использую технологию индивидуально-бригадного обучения (ТИБО). Индивидуальная, групповая работа. Организация индивидуальной деятельности позволяет учитывать способности и образовательные потребности каждого, а коллективная (командная, бригадная) деятельность оказывает помощь каждому учащемуся в успешном освоении учебной программы. На данном уроке учащиеся разбиваются на группы по принципу личных симпатий для коллективной работы. Начало выполнения задания происходит путём «мозгового штурма», когда каждый по очереди высказывает свою мысль. В каждой группе есть 2 человека, которые «собирают» лучшие идеи, 1 человек в каждой группе представляет «пресс- центр», он записывает решение. Ребята в группе работают так, чтобы каждый смог затем решить уравнение этим способом, рассказать решение у доски. Если кому-то не понятно, то ему индивидуально более сильный ученик объясняет еще раз. Назначается спикер от каждой группы, и он оглашает результат работы группы, защищает решение у доски.

5. Организация учебной деятельности с учётом личностно - ориентированной технологии обучения.

На уроке созданы условия для реализации основных принципов личностно ориентированной технологии обучения. Это выражено в следующем:

-создание атмосферы взаимной заинтересованности в работе учащихся и учителя;

-стимулирование учащихся к высказываниям, использованию различных способов решения задачи без боязни ошибиться, получить неправильный ответ;

-оценка деятельности ученика не только по конечному результату (правильно, неправильно), но и по процессу его достижения;

-поощрение стремления ученика находить свой способ решения задачи, анализировать способы других учеников в ходе урока, выбирать и осваивать наиболее рациональные;

-создание педагогических ситуаций межгруппового и внутригруппового общения на уроке, позволяющих каждому ученику проявлять инициативу, самостоятельность, избирательность в способах работы;

-создание ситуации выбора и успеха;

-создание условий для актуализации и обогащения субъектного опыта учащихся;

-создание обстановки для естественного самовыражения ученика;

6. Организация учебной деятельности с учётом здоровьесберегающей технологии обучения

Учебная деятельность, организованная на уроке, способствует сохранению здоровья детей, а именно:

  • своевременная подготовка к уроку и его мобилизующее начало;

  • доброжелательная атмосфера, способствующая положительному эмоциональному настрою;

  • чёткая организация учебного труда;

  • групповая работа, создающая ситуацию, когда более «слабый» ученик чувствует поддержку товарища;

  • объединение в группы по желанию учащихся, то есть с учетом психологической совместимости;

  • антистрессовые моменты, выраженные в стимулировании учащихся к нахождению различных по содержанию способов решения квадратных уравнений, без боязни ошибиться;

  • смена видов деятельности учащихся;

7. Организация учебной деятельности с учётом ИКТ.

Презентация Power Point используется на данном уроке в качестве демонстрации. Презентация состоит из 12 слайдов, включая титульный лист. Использование таблиц, формул, картинок на слайдах позволяет учащимся не терять время на обдумывание вопросов и решения уравнения данным способом. Без использования презентации учащимся работать было бы намного сложнее. Смена слайдов происходит по щелчку мыши.

Оформление презентации отвечает основным требованиям:

один и тот же вид информации помещён в одном и том же месте;

в центре слайдов помещена основная текстовая информация, которой учащиеся должны пользоваться при решении квадратных уравнений;

тексты заданий помещены в верхней части слайдов;

при оформлении презентации минимизировано количество используемых цветов, для выделения наиболее важных данных и развития зрительной памяти использован один и тот же цвет;

разумно использован цветовой контраст.

Использование ИКТ на данном уроке способствует:

решению всех задач урока: обучающих, развивающих, воспитательных;

повышению познавательной активности учащихся: развивается интерес к теме, каждый ученик на уроке занят делом, никто не бездельничает;

повышению интенсификации урока и темпа урока: презентация позволила значительно сократить время на обдумывание решения;

увеличению объёма выполненной работы.

ИКТ выполняет важные функции и в деятельности учителя на уроке, увеличивая его возможности в качестве воспитателя, организатора, оценивающего и контролирующего процесс и результаты обучения.

8. Результат деятельности учащихся.

Результатом деятельности учащихся на уроке является понимание сути различных способов решения квадратных уравнений, осознанный и вдумчивый подход к анализу, поиску новых способов. Открытия для себя нового, осознание чувства сопричастности к общему успеху.

(слайд 2 )

Цели урока:

  • Обобщить и систематизировать знания по теме: «Квадратные уравнения».

  • Познакомиться с устными способами решения квадратных уравнений.

  • Рассмотреть нестандартные способы решения квадратных уравнений.             

  • Познакомиться с особенностями процесса научного познания

  • Повысить интерес к истории математики, к предмету.

(слайд 3)

«Уравнение представляет собой наиболее серьёзную и важную вещь в математике».

Лодж  Оливер.

«Посредством уравнений, теорем
Он уйму всяких разрешал проблем:
И засуху предсказывал, и ливни.
Поистине его познанья дивны»

Чосер Джеффри.



ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Учитель зачитывает высказывание «Уравнение представляет собой наиболее серьёзную и важную вещь в математике» и четверостишие Чосера, сообщает тему и цель урока.

II. Проверка домашней работы (взаимопроверка)

(слайд 4)

Домашняя работа – творческое задание.

Решить уравнение, применяя различные способы решения, и, записав его корни, отметить точки на координатной плоскости, соединив их последовательно, получить рисунок на плоскости.

1. 2х2- 16х = 0, (х21).

2. 5х2- 50х = 0, (х21).

3. х2- 4х- 32 = 0, (х21).

4. х2+ 12х+ 32 = 0, (х12).

5. х2+11х – 26 = 0, (х12).

6. 5х2- 40х = 0, (х21).

7. х2-11х + 24 = 0, (х21).

8. 4х2 -12х – 40 = 0, (х12).

9. 2х2+ 13х – 24 = 0, (х12).

Ответы к уравнениям домашней работы:

1) 0;8 2) 0;10 3) -4; 8 4) -8;-4

5) -13;2 6) 0;8 7) 3;8 8) -2;5 9) -8;2





III. Повторение

На доске карточки ах2 + вх + с = 0,  ах2 + 2кх + с = 0,  х2 + рх +q = 0,
Под ними хаотично расположены следующие карточки: Д = в
2 – 4ас,  х1 + х2 = – р,
Д
1 = к2 – ас, х1 • х2 = q,

Вопросы:

1. Какие уравнения называют квадратными?

Ученик. Квадратным уравнением называют уравнение вида ах2 + вх + с = о, где коэффициенты а, в, с – любые действительные числа, причем, а =/= 0.

2. Как называют каждое из уравнений  на карточках?

Ученик. Полное квадратное уравнение. Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом. Приведённое квадратное уравнение.

3. Под каждым из уравнений расположите формулы,  по которым они решаются.

Ученик расставляет правильно карточки на доске.

4. Какие способы решения квадратных уравнений вы знаете?

Ученики.

а) вынесение общего множителя за скобки;
б) выделение квадрата двучлена;
в) по общей формуле корней квадратного уравнения;
г) по формуле для чётного второго коэффициента;
д) по теореме Виета;
е) разложение разности квадратов;
ж) графический.

Учитель. Какие учёные – математики занимались изучением уравнений, их способами решения?

Ученики. Виет. Евклид.

Учитель. Сегодня мы с вами узнаем ещё имена учёных – математиков и одно из имён у нас закодировано на доске.

5. На доске записаны уравнения, около которых прикреплены соответствующие буквы.

Задание: Найти уравнения, для которых указанный способ решения будет наиболее простым.

Вопросы:

1. Какое уравнение можно решить извлечением квадратных корней?
2. Какое уравнение решается вынесением общего множителя за скобки?
3. Какое уравнение можно решить, представляя в виде квадрата двучлена?
4. В каком уравнении надо применять общую формулу корней?
5. Какое уравнение решается по формуле, используя второй чётный коэффициент?
6. Какое уравнение удобно решить по теореме Виета?
7. Какое уравнение можно решить разложением разности квадратов?

Е      5у2 – 6у + 1= 0,
Ш     х
2 = 7,
Т      6х
2 + 12х = 0,
Л      х
2 + 5х + 6 = 0,
И      х
2 + 2х + 1 = 0,
Ф      4х
2 +7х + 3 = 0,
М      х
2 – 5х = х2 – 9,
Ь       х
2 – 9 = 0.
После ответов на вопросы появилось ШТИФЕЛЬ
. (слайд 5 ) http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Michael_Stifel.jpeg?uselang=ru

IV. Исторические сведения

Выступление ученика.

V. Систематизация и обобщение

1. Учитель. Можно ли, не решая уравнения, определить, имеет ли оно корни или нет?
Ученик. Да, можно. Уравнение всегда имеет  корни, если  первый коэффициент и свободный член имеют противоположные знаки.
Учитель. А если они одного знака?
Ученик. Тогда надо находить дискриминант, если он больше нуля, то уравнение имеет два корня. А если равен нулю, то уравнение имеет один корень. И если дискриминант меньше нуля, то корней нет.
Учитель. Какой теоремой нужно воспользоваться, чтобы найти корни приведённого квадратного уравнения?
Ученик. Нужно воспользоваться теоремой, обратной теореме Виета.
Учитель. Сформулируйте эту теорему.
Ученик. «Если числа m и n  таковы, что их сумма равна – р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2 + p x + q = 0».
Учитель. А как запишется данное условие для полного квадратного уравнения?   
Ученик. 

http://festival.1september.ru/articles/538693/img002.gif

х1, х2 – корни полного квадратного уравнения.


В процессе ответов на следующие вопросы учащиеся заполняют таблицу 1.(У каждого ученика таблица)
1) От чего зависят знаки корней? (от знаков коэффициентов)
2) В каком случае уравнение имеет корни одного знака? (если
hello_html_7fd1ca06.gif>0)

3)В каком случае уравнение имеет корни разных знаков? (если hello_html_7fd1ca06.gif<0)


4) Если корни одного знака, то в каком случае оба положительные? (
hello_html_m7ef9e1cd.gif<0)

Отрицательные ? ( hello_html_m7ef9e1cd.gif>0)
5) А если
http://festival.1september.ru/articles/538693/img004.gif<0 и  http://festival.1september.ru/articles/538693/img006.gif>0, то что скажем о корнях?( корни разных знаков и отрицательный по модулю больше)
6) И последнее, если
http://festival.1september.ru/articles/538693/img004.gif <0 и http://festival.1september.ru/articles/538693/img006.gif<0, то какие корни будут?( положительный по модулю больше)

Таблица 1.(заполняем на интерактивной доске)

Уравнение

http://festival.1september.ru/articles/538693/img004.gif

http://festival.1september.ru/articles/538693/img006.gif

корни уравнения

ах2 + вх + с = о

http://festival.1september.ru/articles/538693/img004.gif>0

http://festival.1september.ru/articles/538693/img006.gif<0

х1 > 0,   x2 >0

http://festival.1september.ru/articles/538693/img006.gif > 0

x1 < 0, x2 <0

http://festival.1september.ru/articles/538693/img004.gif<0

http://festival.1september.ru/articles/538693/img006.gif<0

| x1| > | x2|, то х1 > 0,
х
2 < 0

http://festival.1september.ru/articles/538693/img006.gif > 0

| x1| > | x2|, то x1 < 0,
х
2 > 0

Задание. Определить имеют ли уравнения корни, и какие они по знаку (уравнения написаны на доске, работа фронтальная)

а)3х2 – 2х – 5 = 0, т.к. 3 и –5 разных знаков, то уравнение имеет корни.
http://festival.1september.ru/articles/538693/img008.gif< 0, то х1 и х2 – разных знаков, а т.к.http://festival.1september.ru/articles/538693/img010.gif<0, то больший по модулю корень положителен.
б) х
2 – 4х + 5 = 0, т.к. http://festival.1september.ru/articles/538693/img012.gif и 5 одного знака, то найдём D1= k2 – ac, D1 = 3. Корни есть.
5 :
http://festival.1september.ru/articles/538693/img012.gif http://festival.1september.ru/articles/538693/img012.gif> 0, корни одного знака, а т.к. – 4 : http://festival.1september.ru/articles/538693/img012.gif <0, то корни положительные.

Далее ученики выполняют задание самостоятельно с последующей проверкой

(слайд 6)

в) 4х2 + 4х – 3 = 0,
г) 5х
2 – 8х + 3 = 0

(слайд 7)

в) ответ: корни разных знаков, больший по модулю отрицательный.
г) ответ: D
1 = 1, корни положительные.



2. Учитель. Следующий этап урока: изучение новых свойств квадратного уравнения путем выдвижения гипотезы и обоснования её.

- Мы с вами решали квадратные уравнения различными способами: выделением квадрата двучлена, по формуле корней, с помощью теоремы Виета, и каждый раз убеждались в том, что уравнение можно решить легче и быстрее. А сейчас мы с вами познакомимся ещё с некоторыми способами решения квадратных уравнений. Достоинство этих способов в том, что они позволяют решать уравнения устно.

Запись в тетради темы «Нестандартные способы решений квадратных уравнений» .

Первый способ:  Использование свойств коэффициентов квадратного уравнения.

Для этого нам нужно провести исследование влияния суммы коэффициентов квадратного уравнения на наличие и значения корней.

(слайд 8 )

исследование – это процесс и результат научной деятельности, направленный на получение новых знаний.



Исследование включает в себя объект исследования и предмет исследования.



Шаги исследования:

  1. Выдвижение гипотезы.

  2. Проверка и оформление результатов исследования.

  3. Вывод по той проблеме, которая изучена.





- Напомню вам, что исследование – это процесс и результат научной деятельности, направленный на получение новых знаний.

- Что включает в себя этот процесс?

( Объект исследования и предмет исследования).

- В нашем случае объект исследования – это что?

( Квадратное уравнение).

- А предмет исследования?

( Связь между суммой коэффициентов и корней квадратного уравнения).

- Перечисляем шаги исследования:

  1. Выдвижение гипотезы.

  2. Проверка и оформление результатов исследования.

  3. Вывод по той проблеме, которая изучена.

- Сформулируем гипотезу о связи коэффициентов квадратного уравнения и его корней: «Сумма коэффициентов квадратного уравнения может влиять на наличие и значения корней».

- Дальнейшая работа предполагает проверку гипотезы и оформление результатов исследования.

Класс разбит на три группы, каждая из которых получает карточку с заданием.



Карточка 1.

  1. Решить квадратные уравнения:

а) х² - 3х + 2 = 0; б) 5х² - 8х + 3 = 0.

2) Найти сумму коэффициентов.

3) Найти закономерность в соответствии между отдельными коэффициентами и корнями, и суммой коэффициентов.

4) Заполнить таблицу 2.




Уравнение

Сумма коэффициентов

Корни



х1 = , х2 =



х1 = , х2 =.


Карточка 1.

1) Решить квадратные уравнения:

а) х² + х – 2 = 0 ; б) 2х² + х -3 = 0.

2) Найти сумму коэффициентов.

3) Найти закономерность в соответствии между отдельными коэффициентами и корнями, и суммой коэффициентов.

4) Заполнить таблицу 2.

Уравнение

Сумма коэффициентов

Корни



х1 = , х2 =



х1 = , х2 =.




Карточка 1.

  1. Решить квадратные уравнения:

а) х² + 3х – 4 = 0; б) 3х² - 12х + 9 = 0.

2) Найти сумму коэффициентов.

3) Найти закономерность в соответствии между отдельными коэффициентами и корнями, и суммой коэффициентов.

4) Заполнить таблицу 2.

Уравнение

Сумма коэффициентов

Корни



х1 = , х2 =



х1 = , х2 =.



Один ученик из группы комментирует выполнение предложенного задания и делает вывод.

Работа 1 группы:

  1. Уравнения имеют два различных корня: а) х1 = 1; х2 = 2;

б) х1 = 1; х2 = 3/5.

  1. Сумма коэффициентов: а) 1 – 3 + 2 = 0; б) 5 - 8 + 3 = 0.

  2. Первый корень равен 1. Второй корень равен с или с/а. Сумма коэффициентов равна 0.

Вывод: Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна 0, то уравнение имеет два различных корня, причем один из них равен 1, а другой коэффициенту с или с/а.


Работа 2 группы:

  1. Уравнения имеют два различных корня: а) х1 = 1; х2 = - 2;

б) х1 = 1; х2 = 3/2.

  1. Сумма коэффициентов; а)1 + 1 – 2 = 0 ; б) 2 + 1 – 3 = 0.

  2. Первый корень равен 1. Второй корень равен с или с/а. Сумма коэффициентов равна 0.

Вывод: Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна 0, то уравнение имеет два различных корня, причем один из них равен 1, а другой коэффициенту с или с/а.


Работа 3 группы:

  1. Уравнения имеют два различных корня: а) х1 = 1; х2 = - 4;

б) х1 = 1; х2 = 3.

  1. Сумма коэффициентов; а)1 +3 – 4 = 0 ; б) 3 - 12 + 9 = 0.

  2. Первый корень равен 1. Второй корень равен с или с/а. Сумма коэффициентов равна 0.

Вывод: Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна 0, то уравнение имеет два различных корня, причем один из них равен 1, а другой коэффициенту с или с/а.


- Делаем общий вывод по результатам проверки гипотезы: « Проверка гипотезы показала, что сумма коэффициентов квадратного уравнения может влиять на наличие и значения корней».

- Формулируем правило и записываем его в тетрадь:

Если в уравнении ах² + вх + с = 0 , а + в + с = 0 , то один из корней равен 1, а другой ( по теореме Виета) равен с или с/а.

ах² + вх + с = 0;

а + в + с = 0;

х1 = 1; х2 = с/а;

( если а = 1, то х1 = 1; х2 = с ).

Учитель. Есть ещё одно свойство коэффициентов. Проведём исследование самостоятельно.

Карточка 2

  1. Составьте 2 квадратных уравнения, коэффициенты которых удовлетворяют условию: a+c=b ,

  2. решите их ,

  3. заполните таблицу,

  4. сделайте вывод, сформулируйте правило.



Уравнение

Сумма коэффициентов a,c

Корни



х1 = , х2 =



х1 = , х2 =.


А теперь эти правила запишем в таблицу на математическом языке , заполнив таблицу.

Карточка 3

Использование свойств коэффициентов квадратного уравнения.

Уравнение

Свойство коэффициентов

Корни уравнения



х1 = , х2 =


х1 = , х2 =

Проверим правильность заполнения таблицы.



(слайд 9)

Использование свойств коэффициентов квадратного уравнения.

Уравнение

Свойство коэффициентов

Корни уравнения

ах2 + вх + с = 0

а + в + с = 0

х1 = 1, х2 = http://festival.1september.ru/articles/538693/img004.gif

а – в + с = 0 или в = а + с

х1 = –1, х2 = – http://festival.1september.ru/articles/538693/img004.gif

Учитель. На доске записаны уравнения. Решить уравнения, используя свойства коэффициентов.
Ученик выполняет решение уравнений на доске, остальные записывают в тетрадях. 
1) 345х
2 + 137х -208 = 0, 
2) 313х
2 – 326х + 13 = 0.

3. Учитель. Следующий этап урока- презентация проекта «Нестандартные способы решения квадратных уравнений»( метод «переброски», с помощью номограммы, с помощью циркуля и линейки) Над проектом работали 3 ученика класса (Презентация 2)

Второй способ: метод «переброски».

Этот способ применяют, когда дискриминант есть точный квадрат и легко можно найти корни уравнения, используя теорему Виета.
Рассмотрим квадратное уравнение ах
2 + вх + с = 0 (1). Умножим обе его части на а, получим 
а
2х2 + авх + са = 0. Пусть ах = у, тогда у2 + ву +ас = 0. Его корни у1 и у2, найдём корни уравнения (1) с помощью теоремы Виета. Отсюда  получаем х1 = http://festival.1september.ru/articles/538693/img029.gif  и х2 = http://festival.1september.ru/articles/538693/img031.gif.
При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы перебрасывается к нему, поэтому его и назвали  «методом переброски» .Решим уравнения. Ученик решает на доске, привлекая к решению учащихся.
а) 2х
2 – 11х + 15 = 0, 
б) 2х
2 – 9х + 9 = 0.
а) D = 121 – 4 • 2 • 15 = 121 – 120 = 1.  Умножим на 2 обе части уравнения, получим

(2х)2 – 2 • 11х + 30 = 0, обозначим 2х через у.
Получим  у
2 – 11у + 30 = 0, по теореме Виета 
http://festival.1september.ru/articles/538693/img033.gif=>   http://festival.1september.ru/articles/538693/img037.gif => http://festival.1september.ru/articles/538693/img040.gif

Ответ: 3; 2,5.                                                                

б)  2х2 – 9х + 9 = 0, у доски ученик по желанию 

D = 9.

 у2 – 9у + 18 = 0
                            

   http://festival.1september.ru/articles/538693/img042.gif=>   http://festival.1september.ru/articles/538693/img044.gif => http://festival.1september.ru/articles/538693/img046.gif
Ответ: 3; 1,5.
Ученики самостоятельно решают пример в)
в) 4х
2 + 12х + 5 = 0,   D = 64.                                 .
у
2 + 12у + 20 = 0,                                                          
http://festival.1september.ru/articles/538693/img048.gif =>  http://festival.1september.ru/articles/538693/img050.gif => http://festival.1september.ru/articles/538693/img052.gif                 
Ответ: –0,5; –2,5.                                                         

4.Третий способ : решение квадратных уравнений с помощью номограммы .

Номограмма (от греческого «nomos» – закон и …грамма)– графическое изображение математической зависимости. С помощью номограммы можно, не производя вычислений, получать решения уравнений, для которых номограмма построена.

Разработка теории номографических построений началась в 19 в. Первой была создана теория построения прямолинейных сетчатых номограмм (французский математик Л. Л. К. Лаланн, 1843). Первым в России вопросами Номография начал заниматься М. Герсеванов в 1906—08.

Этот способ решения квадратных уравнений, помещён на стр.83 Четырёхзначных математических таблиц  В.М. Брадиса.
Рисунок 9. Номограмма для решения уравнения z
2 + pz + q = 0.
Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения. Если дано полное квадратное уравнение, то его надо привести к приведённому квадратному уравнению z
2 + pz + q = 0 (1). Затем второй коэффициент (р) и свободный член  (q) из уравнения (1)  отметить на  соответствующих осях р и q, полученные точки соединить прямой.
Прямая пересекает кривую шкалу в  двух точках – корнях данного уравнения, если корни положительные. Если уравнение имеет корни разного знака, то прямая пересечёт кривую шкалу в одной точке – это положительный корень. Отрицательный корень находят, вычитая положительный корень из – р. Если же корни отрицательные, то  по номограмме находят два положительных корня  t
1 и  t2 для уравнения z2 – pz + q = 0, а для уравнения z2 + pz +q = 0 корнями будут z1 = –t1, z2 = –t2.
Решим уравнения с помощью номограммы.

1) z2 – 9z + 8 = 0, p = –9, q = 8, тогда z1 = 8 и z2 = 1.


2) 2z2 – 9z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z
2 – 4,5z + 1 = 0. На оси p отметим число –4,5 ,а на оси q число 1.Соединяем точки прямой и номограмма даёт корни z1= 4 и z2 = 0,5 (рис.9)

http://festival.1september.ru/articles/538693/img134.jpg

Решить самостоятельно.

a) z2 – 7z + 6 = 0.
Ответ: 6; 1.     

б) z2 – 4z + 4 = 0.
Ответ: 2.     

в) z2 + 5z + 4 = 0.
Ответ: –4; –1.





5. Четвёртый способ: решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.



http://festival.1september.ru/articles/538693/img058.jpg

Нам известен графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы. Рассмотрим ещё способ нахождения корней квадратного уравнения ах2+ вх + с = о  с помощью циркуля и линейки (рис. 1).

«Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В (х1;0) и D (х2;0), где х1 и х2 – корни уравнения ах2 + вх + с = 0, и проходит через точки А(0;1) и С (0; http://festival.1september.ru/articles/538693/img004.gif) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВ . ОD = ОА . ОС, откуда ОС = http://festival.1september.ru/articles/538693/img073.gif = http://festival.1september.ru/articles/538693/img075.gif= http://festival.1september.ru/articles/538693/img004.gif.
Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK,
Восстановленных в серединах хорд АС и ВD, поэтому

SF =  http://festival.1september.ru/articles/538693/img078.gif = http://festival.1september.ru/articles/538693/img080.gif = http://festival.1september.ru/articles/538693/img082.gif

SK = http://festival.1september.ru/articles/538693/img084.gif =http://festival.1september.ru/articles/538693/img086.gif = –http://festival.1september.ru/articles/538693/img088.gif ,

Итак:

  1. построим точки S(–http://festival.1september.ru/articles/538693/img088.gif; http://festival.1september.ru/articles/538693/img091.gifhttp://festival.1september.ru/articles/538693/img082.gif) (центр окружности) и А (0;1);

  2. проведём окружность с радиусом SA;

  3. абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (АS > SВ или R>http://festival.1september.ru/articles/538693/img082.gif), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис.1) В (х1; 0) и D (х2; 0), где х1 и  х2 – корни квадратного уравнения ах2+ вх + с = 0.

AS > SB, R > http://festival.1september.ru/articles/538693/img082.gif. (рис.2)  Два решения х1 и х2.

2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = http://festival.1september.ru/articles/538693/img082.gif), окружность касается оси Ох (рис.3) в точке В (х1;0), где х1 – корень квадратного уравнения.
AS = SB, R =
http://festival.1september.ru/articles/538693/img082.gif. Одно решение х1.

http://festival.1september.ru/articles/538693/img108.jpg

3) Радиус окружности меньше ординаты центра (AS < SB,  R<http://festival.1september.ru/articles/538693/img110.gif),окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.4), в этом случае уравнение не имеет решения.
AS < SB, R <
http://festival.1september.ru/articles/538693/img082.gif.    Нет решения.

Примеры.

1. Решим уравнение     х2 – 2х – 3 = 0    (рис.5)

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:
х = –
http://festival.1september.ru/articles/538693/img114.gif  у = http://festival.1september.ru/articles/538693/img116.gif
Проведём окружность с центром в точке S(1;–1) и радиуса SA, где А(0;1).

Ответ: х1 = –1, х2 = 3.

2. Решим уравнение    х2 –5х + 4 = 0  (рис.6)

Решение. Определим координаты  точки центра окружности  по формулам:
х = –
http://festival.1september.ru/articles/538693/img120.gif  у = http://festival.1september.ru/articles/538693/img122.gif

Проведём окружность с центром в точке S(2,5; 2,5) и радиуса SA, где А (0;1).

Ответ: х1 = 1, х2 = 4.
http://festival.1september.ru/articles/538693/img124.jpg

3. Решим уравнение    х2 + 4х + 4 = 0  (рис.7)

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:
х = –
http://festival.1september.ru/articles/538693/img126.gif,  у = http://festival.1september.ru/articles/538693/img122.gif
Проведём окружность с центром в точке S(–2; 2,5) и радиуса SA, где А (0;1).
Ответ: х = – 2.

4. Решим уравнение х2 – 2х + 3 = 0  (рис.8)

Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:
х = –
http://festival.1september.ru/articles/538693/img130.gif,   у = http://festival.1september.ru/articles/538693/img132.gif

Проведём окружность с центром в точке S(1;2) и радиуса SA, где А (0;1).

Ответ: уравнение не имеет решения.

Решить с помощью циркуля и линейки следующие уравнения:

Вариант 1            1) х2 – 3х + 2 = 0;                          4) 2х2 – 7х + 5 = 0;
Вариант 2            2) х2 – 3х – 10 = 0;                        5) х2 – 6х + 9 = 0; [8]

VI. Практическая работа: задания группам ( листы с интерактивными заданиями у каждой группы )

Задание 1: Решить квадратные уравнения по общим формулам.

1. 2х2-5х+2=0,

2. 6х2+5х+1=0,

3. 2х2-3х+2=0,

4. 4х2-12х+9=0.

На выполнение этой работы даётся 7 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к компьютеру и проверяет свои ответы по интерактивному упражнению, расположенному по следующему адресу: http://learningapps.org/display?v=4g6gp5gj. Ставится оценка всей группе.

Задание 2: Решите приведённые квадратные уравнения, используя теорему, обратную теореме Виета:

  1. х2+10х+9=0,

  2. х2+7х+12=0,

  3. х2-10х-24=0,

  4. х2-16х+60=0,

  5. х2+5х-14=0.

На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к компьютеру и проверяет свои ответы по интерактивному упражнению, расположенному по следующему адресу: http://learningapps.org/display?v=7u2828p3..Ставится оценка всей группе.

Задание 3: Решите уравнения методом «переброски»:

1. 2х2-9х+9=0,

2. 10х2-11х+3=0,

3. 3х2+11х+6=0,

4. 4х2+12х+5=0,

5. 3х2+х-4=0.

На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к компьютеру и проверяет свои ответы по интерактивному упражнению, расположенному по следующему адресу http://LearningApps.org/watch?v=aognx12a .Ставится оценка всей группе.

Задание 4: Решить уравнения методом "коэффициентов".

1.5х2-7х+2=0;

2.3х2+5х-8=0;

3.11х2+25х-36=0;

4.11х2+27х+16=0;

5.939х2+978х+39=0.

На выполнение этой работы даётся 5 минут. По истечении времени один ученик из каждой группы (учащиеся меняются) идёт к компьютеру и проверяет свои ответы по интерактивному упражнению, расположенному по следующему адресу: http://LearningApps.org/watch?v=g2jjk1jt.Ставится оценка всей группе.

Задание №5: Решить квадратные уравнения с помощью номограммы

1). z2 – z – 6 = 0                                                2).  z2 – 9z + 8 = 0



(слайд 10)

VI. Домашнее задание. Составить к каждому новому способу три квадратных уравнения, решить их, используя новые методы решения.

(слайд 11)

VII . Итог урока.

Учитель:

Что нового мы узнали на уроке?





















Если у вас

45-50 б. – «5»

35 -45б.- «4»

25-35б. - «3»

меньше 25 – «2»




Оценочный лист ученика 8а класса______________________



1.Устная работа


2.Сообщения по теме, участие в работе над проектом, презентации


3. Карточка 1


4.Карточка 2


5.Карточка 3


6.Практическая работа

1 №2 №3 №4 №5









7.Домашняя работа




Оценка за урок:__________________



Лист рефлексии



Подчеркните, пожалуйста, те состояния, которые вы испытывали сегодня  на уроке:

Интерес

Беспокойство

Эмоциональный подъем

Скука

Удовольствие

Раздражение



(слайд 12)

И закончить сегодняшний урок хотелось бы словами великого математика У. Сойера:

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»









Автор
Дата добавления 26.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров534
Номер материала ДВ-011520
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх