Инфоурок / Алгебра / Другие методич. материалы / Урок "Олимпиада 10 - класс"

Урок "Олимпиада 10 - класс"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов



Математика


10 класс.

1. Решить уравнение в целых числах:

(x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 30. ( 6 баллов)


Решение. Преобразовав данное уравнение, получим:

3(x – y)(y – z)(z – x) = 30 или (x – y)(y – z)(z – x) = 10.

Значит, целые числа (x – y), (y – z), (z – x) — делители числа 10, сумма этих делителей равна нулю. Не трудно убедиться, что таких делителей у числа 10 нет.



2. Из трехзначного числа вычли сумму его цифр. С полученным числом сделали то же самое и так далее, 100 раз. Доказать, что в результате получится нуль. ( 6 баллов)

Решение. Так как hello_html_m762c237.png– (a + b + c) = 9  (11a + b), то первая разность делится на 9. Сумма ее цифр делится на 9, значит, вторая, и, аналогично, все остальные разности будут делиться на 9.

Сумма цифр трехзначного числа, делящегося на 9, может быть равна 9, 18 или 27. Значит, за 100 операций число либо станет равным 0, либо уменьшится не менее чем на 900. Поэтому, любое число, меньшее 900, станет равным нулю.

Пусть число не менее 900. Тогда после первого хода получится число, кратное 9, от 900 – 9 = 891 до 999 – 27 = 972. Таких чисел 9. Перебором можно убедиться, что они также обратятся в 0 через 99 операций.

3. Существуют ли всюду определенные функции f(x) и g(у), что для любых х и у выполняется f(x g(y) = x + y – 1? ( 6 баллов)


Решение. Пусть такие функции существуют. Тогда при любом y

при x = 0: f (0)  g (y) = y – 1,

при x = 1: f (1)  g (y) = y.

Очевидно, что f (0) ≠  0, f (1) ≠  0, отсюда

hello_html_33429715.png.

Это равенство выполняется не при всех y (при y = 0 оно неверно), значит, таких функций не существует.

4. Решить уравнение

hello_html_4ff728a7.gif. (6 баллов)

Р е ш е н и е. Подстановка y = x + 7 делает рассматриваемое уравнение симметричным:

hello_html_m31da5287.gif.

Сгруппируем следующим образом

hello_html_64917757.gif= 0.

Это даёт

hello_html_4f6f7450.gif,

т.е.

hello_html_m3cfa3df3.gif,

откуда y = 0, т.е. x = 7, или (после подстановки z = y2)

hello_html_m818b3d4.gif.

Группируем

hello_html_2f11e673.gif.

Это даёт

hello_html_6df1715.gif.

Сокращая на 16 и приводя к общему знаменателю, получаем

3(z2 – 34z + 225) + (z2 – 50z + 49) = 0

и, разумеется, z 1, z 9, z 25, z 49. Приводя подобные, имеем 4z2 – 152z + 724 = 0, откуда, сокращая на 4, получаем z2 – 38z + 181 = 0. Корнями этого уравнения являются

hello_html_m1cbd9312.gif,

откуда hello_html_m179d4659.gif и, наконец, hello_html_1faa5609.gif, причём возможны различные комбинации знаков.

О т в е т: x = 7, hello_html_m5b4c649e.gif.

5. В выпуклом четырёхугольнике ABCD с внутренними углами < 180о точка E – точка пересечения диагоналей, F1, F2 – площади треугольников ABE, CDE, F – площадь четырёхугольника ABCD. Доказать, что hello_html_5692906d.gif. В каком случае возможно равенство? (6 баллов)

Р е ш е н и е.

hello_html_m5bf13f77.gif

Имеем F = F1 + F2 + F3 + F4. Доказываемое неравенство равносильно тогда неравенству

hello_html_m1a45ecc9.gif.

После возведения в квадрат получаем, что последнее равносильно неравенству

hello_html_121311eb.gif.

Треугольники ABE и ADE имеют одинаковую высоту, следовательно, hello_html_m2df79078.gif. Аналогично, hello_html_m3f62af62.gif. Отсюда получаем hello_html_m4a420f78.gif, так что F1F2 = F3F4. Доказываемое неравенство сводится тогда к такому: hello_html_m18db4d2f.gif. Это последнее неравенство очевидно, поскольку F3hello_html_m4fc43611.gif + F4 = hello_html_3150d96e.gif 0.

Равенство достигается в случае F3 = F4. В свою очередь это равносильно условию SABD = F1 + F4 = F1 +
+ F3 = SABC. Но треугольники ABC и ABD имеют общее основание AB, следовательно, должны иметь одинаковые высоты. А это выполняется в случае, когда AD параллельно CD, т.е. когда ABCD – трапеция.

Общая информация

Номер материала: ДВ-397483

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Интеллектуальная собственность: авторское право, патенты, товарные знаки, бренды»
Курс профессиональной переподготовки «Организация и предоставление туристских услуг»
Курс профессиональной переподготовки «Клиническая психология: организация реабилитационной работы в социальной сфере»
Курс профессиональной переподготовки «Логистика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Финансы: управление структурой капитала»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс повышения квалификации «Методы и инструменты современного моделирования»
Курс профессиональной переподготовки «Разработка эффективной стратегии развития современного вуза»
Курс повышения квалификации «Мировая экономика и международные экономические отношения»
Курс профессиональной переподготовки «Корпоративная культура как фактор эффективности современной организации»