Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Урок "Олимпиада 10 - класс"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Урок "Олимпиада 10 - класс"

библиотека
материалов



Математика


10 класс.

1. Решить уравнение в целых числах:

(x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 30. ( 6 баллов)


Решение. Преобразовав данное уравнение, получим:

3(x – y)(y – z)(z – x) = 30 или (x – y)(y – z)(z – x) = 10.

Значит, целые числа (x – y), (y – z), (z – x) — делители числа 10, сумма этих делителей равна нулю. Не трудно убедиться, что таких делителей у числа 10 нет.



2. Из трехзначного числа вычли сумму его цифр. С полученным числом сделали то же самое и так далее, 100 раз. Доказать, что в результате получится нуль. ( 6 баллов)

Решение. Так как hello_html_m762c237.png– (a + b + c) = 9  (11a + b), то первая разность делится на 9. Сумма ее цифр делится на 9, значит, вторая, и, аналогично, все остальные разности будут делиться на 9.

Сумма цифр трехзначного числа, делящегося на 9, может быть равна 9, 18 или 27. Значит, за 100 операций число либо станет равным 0, либо уменьшится не менее чем на 900. Поэтому, любое число, меньшее 900, станет равным нулю.

Пусть число не менее 900. Тогда после первого хода получится число, кратное 9, от 900 – 9 = 891 до 999 – 27 = 972. Таких чисел 9. Перебором можно убедиться, что они также обратятся в 0 через 99 операций.

3. Существуют ли всюду определенные функции f(x) и g(у), что для любых х и у выполняется f(x g(y) = x + y – 1? ( 6 баллов)


Решение. Пусть такие функции существуют. Тогда при любом y

при x = 0: f (0)  g (y) = y – 1,

при x = 1: f (1)  g (y) = y.

Очевидно, что f (0) ≠  0, f (1) ≠  0, отсюда

hello_html_33429715.png.

Это равенство выполняется не при всех y (при y = 0 оно неверно), значит, таких функций не существует.

4. Решить уравнение

hello_html_4ff728a7.gif. (6 баллов)

Р е ш е н и е. Подстановка y = x + 7 делает рассматриваемое уравнение симметричным:

hello_html_m31da5287.gif.

Сгруппируем следующим образом

hello_html_64917757.gif= 0.

Это даёт

hello_html_4f6f7450.gif,

т.е.

hello_html_m3cfa3df3.gif,

откуда y = 0, т.е. x = 7, или (после подстановки z = y2)

hello_html_m818b3d4.gif.

Группируем

hello_html_2f11e673.gif.

Это даёт

hello_html_6df1715.gif.

Сокращая на 16 и приводя к общему знаменателю, получаем

3(z2 – 34z + 225) + (z2 – 50z + 49) = 0

и, разумеется, z 1, z 9, z 25, z 49. Приводя подобные, имеем 4z2 – 152z + 724 = 0, откуда, сокращая на 4, получаем z2 – 38z + 181 = 0. Корнями этого уравнения являются

hello_html_m1cbd9312.gif,

откуда hello_html_m179d4659.gif и, наконец, hello_html_1faa5609.gif, причём возможны различные комбинации знаков.

О т в е т: x = 7, hello_html_m5b4c649e.gif.

5. В выпуклом четырёхугольнике ABCD с внутренними углами < 180о точка E – точка пересечения диагоналей, F1, F2 – площади треугольников ABE, CDE, F – площадь четырёхугольника ABCD. Доказать, что hello_html_5692906d.gif. В каком случае возможно равенство? (6 баллов)

Р е ш е н и е.

hello_html_m5bf13f77.gif

Имеем F = F1 + F2 + F3 + F4. Доказываемое неравенство равносильно тогда неравенству

hello_html_m1a45ecc9.gif.

После возведения в квадрат получаем, что последнее равносильно неравенству

hello_html_121311eb.gif.

Треугольники ABE и ADE имеют одинаковую высоту, следовательно, hello_html_m2df79078.gif. Аналогично, hello_html_m3f62af62.gif. Отсюда получаем hello_html_m4a420f78.gif, так что F1F2 = F3F4. Доказываемое неравенство сводится тогда к такому: hello_html_m18db4d2f.gif. Это последнее неравенство очевидно, поскольку F3hello_html_m4fc43611.gif + F4 = hello_html_3150d96e.gif 0.

Равенство достигается в случае F3 = F4. В свою очередь это равносильно условию SABD = F1 + F4 = F1 +
+ F3 = SABC. Но треугольники ABC и ABD имеют общее основание AB, следовательно, должны иметь одинаковые высоты. А это выполняется в случае, когда AD параллельно CD, т.е. когда ABCD – трапеция.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 31.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров157
Номер материала ДВ-397483
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх