- Определение
золотого сечения.
Золотое
отношение
Целое
всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном
отношении друг к другу и к целому.
Например, отрезок АВ
можно разделить точкой М на две части следующими способами:
1) на две равные части, тогда АМ : АВ = ВМ
: АВ;
2) на две неравные части в любом отношении
(такие части пропорции не образуют);
3) таким образом,
когда АМ : МВ = МВ : АВ (рис.1).
Последнее
и есть золотое сечение отрезка или деление отрезка в среднем и крайнем
отношении.
Определение 1. Золотое сечение
отрезка – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при
котором меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.
Для начала вычислим
значение золотого отношения. Обозначим его греческой буквой φ.
Итак, .
Для удобства пусть АВ = 1, тогда МВ
= φ и АМ = 1 - φ.
Имеем:
φ2 + φ – 1 = 0,
Так как первый корень отрицательный, то это
число мы рассматривать не будем.
Итак, значение золотого отношения .
Это иррациональное
число, приближенно равное 0,6180339887… Оно одновременно и доля меньшей части
от большей, и доля большей части от целого, и длина большей части при условии,
что целое равно 1.
Понятие о золотом
делении восходит к Древнему Египту и Вавилону. Но
первое письменное упоминание о нем, дошедшее до нас, содержится в «Началах»
Евклида (III век до н.э.). Греки были искусными геометрами.
Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур, и задачу о
золотом делении отрезка они решали с помощью циркуля и линейки.
Существует много
решений этой задачи. Одно из самых простых и наглядных предложил Клавдий
Птолемей (ок.90–ок.160), имя которого хорошо известно – именно он разработал то
учение о строении Солнечной системы, которым пользовались астрономы и
мореплаватели до Николая Коперника. Итак, решаем задачу, следуя, в основном,
Птолемею.
Необходимо отметить
на отрезке АВ точку М так, чтобы .
На отрезке АВ
как на катете строим прямоугольный треугольник АВС, у которого другой
катет АС = АВ (рис.2).
Проведем дугу AD с центром в точке С и радиусом СА до ее пересечения с
отрезком ВС в точке D. Проведем дугу DМ с центром В и радиусом, равным BD, до ее пересечения с отрезком AВ в точке М.
Точка М –
искомая. Почему?
Пусть АВ =
1. Тогда АС = и по теореме Пифагора
гипотенуза ВС =
СD = АС = . BМ
= BD = ВС – СD = , тогда и .
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.