Основные методы
решения задач на смешивание растворов
“Только
из союза двоих, работающих вместе и при помощи друг друга, рождаются великие
вещи.”
Антуан Де Сент-Экзюпери
Математика
многообразна и многогранна. Существует ряд ситуаций в образовательном процессе,
когда при изучении какой-либо темы по физике, химии, биологии и т.д.
затрагиваются понятия математики, например, существуют задачи, которые решают
как на уроках математики, так и на уроках химии. Способы решения задач
представляют и учителя химии, и математики, но есть проблема: математики знают
математику, а химики - химию. И не всегда способы совпадают.
В
данной статье приводятся рекомендации по решению химических задач на смешение
растворов разными способами: с помощью расчетной формулы, “Правила смешения”,
“Правила креста”, графического метода, алгебраического метода. Приведены
примеры решения задач.
1.
Основные химические понятия
Приведем
некоторые указания к решению задач на растворы.
Основными
компонентами этого типа задач являются:
а)
массовая доля растворенного вещества в растворе;
б)
масса растворенного вещества в растворе;
в)
масса раствора.
Предполагают,
что:
а) все
получившиеся смеси и сплавы являются однородными;
б)
смешивание различных растворов происходит мгновенно;
в)
объем смеси равен сумме объемов смешиваемых растворов;
г)
объемы растворов и массы сплавов не могут быть отрицательными.
Определения
и обозначения.
Массовая доля растворенного
вещества в растворе - это отношение массы этого вещества к массе
раствора.
где - массовая доля растворенного
вещества в растворе;
- масса растворенного вещества
в растворе;
- масса раствора.
Следствия
формулы (1):
Введем
обозначения:
- массовая доля растворенного
вещества в первом растворе;
- массовая доля растворенного
вещества во втором растворе;
- массовая доля растворенного
вещества в новом растворе, полученном при смешивании первого и второго
растворов;
m1(в-ва),
m2(в-ва), m(в-ва) - массы растворенных веществ в соответствующих
растворах;
m1(р-ра),
m2(р-ра), m(р-ра) - массы соответствующих растворов.
Основными
методами решения задач на смешивание растворов являются: с помощью расчетной
формулы, “Правило смешения”, “Правило креста”, графический метод,
алгебраический метод.
Приведем
описание указанных методов.
1.1.
С помощью расчетной формулы
В
наших обозначениях, получим формулу для вычисления массовой доли вещества (?) в
смеси.
1.
Масса полученного при смешивании раствора равна:
m(р-ра) = m1(р-ра) + m2(р-ра).
2.
Определим массы растворенных веществ в первом и втором растворах:
m1(в-ва)= •m1(р-ра), m2(в-ва)=
•m2(р-ра).
3.
Следовательно, масса растворенного вещества в полученном растворе вычисляется
как сумма масс веществ в исходных растворах:
m(в-ва) = m1(в-ва) + m2(в-ва)
= •m1(р-ра) + •m2(р-ра).
4.
Таким образом, массовая доля растворенного вещества в полученном растворе
равна:
или
или
где - массы соответствующих
растворов.
Замечание:
При
решении задач удобно составлять следующую таблицу.
|
1-й раствор
|
2-й раствор
|
Смесь двух растворов
|
Масса растворов
|
m1
|
m2
|
m1 + m2
|
Массовая доля растворенного вещества
|
|
|
|
Масса вещества в растворе
|
m1
|
m2
|
(m1 + m2)
|
1.2. “Правило смешения”
Воспользуемся
формулой (4):
тогда
Отсюда
Таким
образом, отношение массы первого раствора к массе второго равно отношению
разности массовых долей смеси и второго раствора к разности массовых долей
первого раствора и смеси.
Аналогично
получаем, что при
Замечание: Формула (5)
удобна тем, что на практике, как правило, массы веществ не отвешиваются, а
берутся в определенном отношении.
1.3.
“Правило креста”
“Правилом
креста” называют диагональную схему правила смешения для случаев с двумя
растворами.
Слева
на концах отрезков записывают исходные массовые доли растворов (обычно слева
вверху-большая), на пересечении отрезков - заданная, а справа на их концах
записываются разности между исходными и заданной массовыми долями. Получаемые
массовые части показывают в каком отношении надо слить исходные растворы.
1.4.
Графический метод
Отрезок
прямой (основание графика) представляет собой массу смеси, а на осях ординат
откладывают точки, соответствующие массовым долям растворенного вещества в
исходных растворах. Соединив прямой точки на осях ординат, получают прямую,
которая отображает функциональную зависимость массовой доли растворенного
вещества в смеси от массы смешанных растворов в обратной пропорциональной
зависимости
Полученная
функциональная прямая позволяет решать задачи по определению массы смешанных
растворов и обратные, по массе смешанных растворов находить массовую долю
полученной смеси.
Построим
график зависимости массовой доли растворенного вещества от массы смешанных
растворов. На одной из осей ординат откладывают точку, соответствующую массовой
доли , а на другой - . Обозначим на оси абсцисс
точки А и В с координатами (0,0) и (m1 + m2,0),
соответственно. На графике точка А(0,0) показывает, что массовая доля
всего раствора равна , а
точка В(m1 + m2,0) - массовая доля всего раствора
равна . В направлении от
точки А к точке В возрастает содержание в смеси 2-го раствора от
0 до m1+ m2 и убывает содержание 1-го раствора от m1+
m2 до 0. Таким образом, любая точка на отрезке АВ будет
представлять собой смесь, имеющую одну и ту же массу с определенным содержанием
каждого раствора, которое влияет на массовую долю растворенного вещества в
смеси.
Замечание: Данный способ
является наглядным и дает приближенное решение. При использовании миллиметровой
бумаги можно получить достаточно точный ответ.
1.5.
Алгебраический метод
Задачи
на смешивание растворов решают с помощью составления уравнения или системы
уравнений.
2.
Примеры решения задач
Задача
1. (№1.43, [1])
В 100
г 20%-ного раствора соли добавили 300 г её 10%-ного раствора. Определите
процентную концентрацию раствора.
Решение:
- C помощью
расчетной формулы
- Графический
Ответ: 12,5%
- Путем
последовательных вычислений
- Сколько
растворенного вещества содержится:
а) в 100 г 20%-ного раствора; [100•0,2 = 20(г)]
б) в 300 г 10%-ного раствора? [300•0,1 = 30(г)]
- Сколько
вещества содержится в образовавшемся растворе?
20 г + 30 г = 50 г
- Чему
равна масса образовавшегося раствора?
100 г + 300 г = 400 г
- Какова
процентная концентрация полученного раствора?
(50/400)100 = 12,5(%)
Ответ: 12,5%
- Алгебраический
Пусть х - процентная
концентрация полученного раствора. В первом растворе содержится 0,2•100(г)
соли, а во втором 0,1•300(г), а в полученном растворе х•(100 + 300)(г) соли. Составим уравнение:
0,2•100 + 0,1•300 = х•(100 + 300);
х = 0,125 (12,5%)
Ответ: 12,5%
Задача
2. u(№10.26, [1])
Смешали
10%-ный и 25%-ный растворы соли и получили 3 кг 20%-ного раствора. Какое
количество каждого раствора в килограммах было использовано?
Решение:
- Алгебраический
а) C помощью уравнения:
Пусть х (кг) - масса 1-го раствора, тогда 3-х (кг) -масса
2-го раствора.
0,1•х (кг) содержится соли в 1-ом растворе,
0,25•(3-х) (кг) содержится соли в 2-ом растворе,
0,2•3 (кг) содержится соли в смеси.
Учитывая, что масса соли в 1-ом и 2-ом растворах равна
массе соли в смеси, составим и решим уравнение:
0,1•х + 0,25•(3-х) = 0,2•3;
0,15х = 0,15;
х = 1, 1кг-масса 1-го раствора
3 - х = 3 - 1 =2 (кг) - масса 2-го раствора.
Ответ: 1 кг, 2 кг.
б) С помощью системы уравнений
Пусть х (кг) - количество первого раствора, у (кг) -
количество второго раствора. Система уравнений имеет вид:
Ответ: 1 кг, 2 кг.
- Графический.
Ответ: 1кг, 2кг.
- “Правило
смешения”
- “Правило креста”
Составим диагональную схему
Ответ: 1кг, 2кг.
Задача
3 ([2])
Сосуд
емкостью 5 л содержит 2 л р%-ного (по объёму) раствора соли. Сколько литров
20%-ного раствора такой же соли надо налить в сосуд, чтобы процентное
содержание соли в сосуде стало наибольшим?
Решение (графический
способ)
Заметим,
что по условию, объём второго раствора не превышает трёх литров.
- Ели
р < 20, то для того, чтобы получить максимальную массовую долю вещества
в растворе, необходимо добавить 3 л 20% - ного раствора соли;
- Если
р = 20, то при добавлении 2-го раствора, процентное содержание соли в
растворе не изменится, следовательно, можно прилить от 0 л до 3 л 20% -
ного раствора соли;
- Если
р > 20, то при добавлении 2-го раствора, процентное содержание соли
будет уменьшаться, т.е. прилить нужно 0 л.
Ответ:
3 л, если 0 < р < 20, [0,3], если р = 20, 0л, если 20 < р 100.
Задача
4 (работа 5, №2, [1])
В двух
сосудах по 5л каждый содержится раствор соли. Первый сосуд содержит 3л р% -
ного раствора, а второй - 4л 2р% - ного раствора одной и той же соли. Сколько
литров надо перелить из второго сосуда в первый, чтобы получить в нем 10% - ный
раствор соли? При каких значениях р задача имеет решение?
Решение
Найдем,
при каких значениях р задача имеет решение. По условию задачи 5-ти литровый
сосуд содержит 3л первого раствора, следовательно, к нему можно прилить от 0 до
2л второго раствора.
Имеем,
Решая неравенство,
получаем
Ответ:
3.
Заключение
Данные
рекомендации предназначены учителям математики, желающим организовать
элективные курсы, как в девятых, так и в десятых и одиннадцатых классах. Цель
создаваемых курсов: научить учащихся пользоваться математическим аппаратом при
решении химических задач.
Список литературы
- Галицкий
и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для
учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / М.Л. Галицкий, А.М.
Гольдман, Л.И. Звавич.-2-е изд. - М.: Просвещение,1994. - 271с.
- Сборник
задач по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие/ П.Т.Дыбов,
А.И.Забоев, А.С. Иванов и др.; Под ред. А.И. Прилепко. - М.:Высш. школа,
1983. - 239 с.
- Ерыгин
Д.П., Шишкин Е.А. Методика решения задач по химии: Учебное пособие для
студентов пед. ин-тов по биол. и хим. спец. - М.: Просвещение,1989. -
176с.
- Хомченко
Г.П., Хомченко И.Г. Задачи по химии для поступающих в вузы: Учебное
пособие. - 2-е изд.. исправ. и доп. - М.: Высш. школа, 1993. - 302 с.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.