"Урок: Перестановки, размещения, сочетания"

Разработка урока

«Перестановки, размещения, сочетания»

Учитель высшей категории

Литвин Любовь Николаевна

2022

Цель урока: Формировать умения и навыки в решении задач на комбинаторику. Развивать логическое мышление, научное мировоззрение, интерес к предмету, познавательный интерес. Воспитывать культуру умственного труда, коллективного труда, внимательность

Тип урока: обобщение и систематизация знаний, умений и навыков

Оборудование: плакат с девизом, портреты Б. Паскаля и И. Ньютона

Девиз урока: Если вы хотите научиться плавать, то смело заходите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

Д. Пойя

Ход урока

I.                  Организационный момент

Слово учителя, сообщение темы урока.

Сегодня мы закрепим знания о перестановках, размещениях, сочетаниях, а также о биноме Ньютона. На урок приглашены учащиеся из параллельного класса, которые будут выполнять роль независимой комиссии: они будут проверять диктанты, тесты, будут фиксировать ответы, участие каждого ученика в обсуждении темы. За каждый ответ, решение задания ученик получает определенное количество баллов. Оценивание проводится в рейтинговой форме

II.  Проверка домашнего задания.

Для домашнего задания класс объединяется в три группы. Каждая группа готовит презентацию отдельного понятия: перестановок, размещений, сочетаний. Группе надо сообщить теоретический материал, составить самостоятельно и решить задачу и уравнение на заданное понятие. Задачи проверяются устно, а уравнение ученик решает на доске.

1.                 Презентация перестановок (1 группа)

 а). Определение перестановок;

б). Свойства перестановок;

в). Формула числа перестановок;

г). Задача: во вторник в расписании 7 уроков, из них первые два урока – геометрия. Другие уроки не повторяются. Сколькими способами можно составить расписание уроков на вторник?

                                                   Ответ: 120 способов

д). Уравнение: Рх+2 =6Рх

                                                   Ответ: х=1

2.                 Презентация размещений (2 группа)

а). Определение размещений;

б). Свойства размещений;

в). Формула числа размещений;

г). Задача: на плоскости даны 10 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Сколько существует лучей с началом в произвольной из данных точек, которые проходят через произвольную другую из данных точек?

                                                     Ответ: 90

д). Уравнение: 2=

  Ответ: х=6

3.                 Презентация сочетаний (3 группа)

а). Определение сочетаний;

б). Свойства сочетаний;

в). Формула числа сочетаний;

г). Задача: сколько диагоналей имеет выпуклый n-угольник? Найти количество диагоналей выпуклого семиугольника.

                                     Ответ: 14

д). Уравнение: С_х^х-2 = 45;

                                       Ответ: 10

Оценивание домашнего задания:

Ученик, который отвечает на теоретический вопрос получает 2 балла, за задачу и уравнение ученики  получают  по 5 баллов

III.  Математический диктант «Веришь, не веришь»

Вариант 1

1.                 Веришь ли ты, что перестановки – это упорядоченное множество?

2.                 Веришь ли ты, что одним из свойств размещений является то, что порядок элементов важен?

3.                 Веришь ли ты, что для сочетаний одним из требований является то, что 0 ≤ m ≤ n?

4.                 Веришь ли ты, что число размещений из m элементов по n элементов можно вычислить по формуле  = m(m-1)(m-2)…(m-(n-1))?

5.           Веришь ли ты, что  = 0?

6.                 Веришь ли ты, что каждая строка треугольника Паскаля начинается и заканчивается единицей?

Вариант 2

1.                 Веришь ли ты, что размещение – это неупорядоченное множество?

2.                 Веришь ли ты, что одним из требований перестановок является то, что все предметы разные?

3.                 Веришь ли ты, что для сочетаний порядок выбора элементов не имеет значения?

4.                 Веришь ли ты, что число сочетаний из m элементов по n элементов можно вычислить по формуле  = ?

5.           Веришь ли ты, что  = 1?

6.                 Веришь ли ты, что сумма чисел любой строки треугольника Паскаля в 2 раза больше суммы чисел предыдущей строки?

                           Оценивание диктанта:

За каждый правильный ответ ученик получает 1 балл

Ключ к проверке диктанта: если ученик согласен с высказыванием, то рисует треугольник выше этого вопроса, а если он считает, что высказывание неверное, то рисует треугольник ниже вопроса.

Ключ к варианту 1	Ключ к варианту 2
1 2 3 4 5 6	1 2 3 4 5 6

Учащиеся независимой комиссии собирают диктанты и проверяют их с помощью ключей

IV.Тестирование

У каждого ученика на парте лежит тест с заданиями и бланк ответов. Два ученика пишут тесты около доски. Их бланки ответов прикреплены к доске. Тесты учеников около доски отличаются от тестов учеников класса

Примеры тестов:

Вариант 1

1.     Число размещений из m элементов по n элементов можно вычислить по формуле:

А	Б	В	Г	Д
	=n!	=m(m-1)…(m-(n-1))	=	Другой ответ

2.     Сколькими способами можно разместить 6 человек за круглым столом на шести стульях?

А	Б	В	Г	Д
180	360	1440	720	Другой ответ

3.     Сократить дробь:.

А	Б	В	Г	Д
4	20	8	1	Другой ответ

Часть 2

4.     В расписании уроков на один день 6 предметов: алгебра, геометрия, физика, физкультура, история, биология. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?

5.    Решить уравнение:  = 21.

                                                       Часть 3

6.    Вычислить биномиальный коэффициент разложения бинома ( + )⁷ , который содержит  .

                                                    Вариант 2    

Часть первая.

1.    Число сочетаний    вычисляется по формуле:

А	Б	В	Г	Д
=	=	=	=	Другой ответ

2.     Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 2,3,8,6?

А	Б	В	Г	Д
6	8	48	24	Другой ответ

3.     Сократить дробь: .

А	Б	В	Г	Д
2	4	8	6	Другой ответ

Часть вторая.

4.     Из букв составлено слово «конус». Сколько разных сочетаний можно получить из этих букв, если переставлять буквы в этом слове?

5.    Решить уравнение: =153.

                                                 Часть третья.

6.    Вычислить биномиальный коэффициент разложения бинома ( + )⁶ , который содержит х.

Оценивание теста:

За каждый правильный ответ первой части  - 1 балл, за каждый правильный ответ второй части – 2 балла, за правильный ответ третьей части 3-4 балла.

V. Решение упражнений

Один ученик решает у доски, а остальные – в тетради.

Задание: Решить систему уравнений

Ответ: 1643 – год рождения Исаака Ньютона.

За решение задания ученик получает 5 баллов.

VI. Исторические сведения об ученых , внесших свой вклад в развитие комбинаторики. Это Блез Паскаль и Исаак Ньютон. Два ученика делают сообщения об этих ученых, показывают их портреты, рассказывают об их научных открытиях.

Блез Паскаль

Блез Паскаль родился 19 апреля в 1623 года в городе Клермон-Феррани. Это французский математик, физик и философ. Его отец Этьен Паскаль поселился в Париже, где с успехом начал заниматься математикой и физикой. Он сам учил своего сына, Дома у них собирались выдающиеся ученые, между которыми велись научные споры. Слушая их, маленький Паскаль рано увлекся математикой. У него были чрезвычайные математические способности. Рассказывают, что он,не изучая геометрию, самостоятельно открыл теорему о том, что сумма углов треугольника равна 180⁰ . В 16-летнем возрасте он написал труд «Рассуждения о конических сечениях», в котором сформировал одну из важнейших теорем. С 1641 года по 1649 год семья Паскалей жила в Руане. В это время 18-летний Блез изобрел арифмометр для упрощения действий сложения и вычитания; занимался физикой. Так же изобрел арифметический треугольник, который мы сейчас называем «треугольник Паскаля». Это затем было использовано в теории вероятностей. До этого времени никто не занимался теорией вероятности. Б. Паскаль вычислял интегралы тригонометрических функций, доказал теорему интегрировании частями. В физике Паскаль занимался барометрическим давлением и занимался вопросами гидростатики.

Именем Б. Паскаля назвали кратер на Луне. Умер Б. Паскаль 19 августа 1662 года.

                                 Исаак Ньютон

Исаак Ньютон родился 4 января 1643 года в городе Вулстоп, недалеко от Кембриджа в небогатой фермерской семье. В 1661 году И. Ньютон поступил в Кембриджский университет, который окончил в 1665 году.

С 1669 года по 1701 год работал в университете. В 1695 году его назначили советником, а в 1699 году – директором монетного двора в Лондоне.

Ньютон прославился во многих отраслях науки, хотя в Кембриджский университет он поступил, зная математику в пределах сельской школы. В 1667 – 1667 годах он пришел к своим основным открытиям. Это было учение о бесконечных рядах, анализ бесконечно малых; он сформулировал основные законы механики  и открыл закон всемирного тяготения.

В одной из своих работ по математике он развил теорию конических сечений, необходимых для исследования движения планет и комет.

Ньютон дал классификацию кривы 2 и 3 порядков, указал способы их построения.

 Открытие закона всемирного тяготения позволило объяснить причину падения тел, оборот Луны вокруг Земли, планет около Солнца, морские приливы и отливы. В оптике Ньютон доказал, что свет распадается на цвета.

В честь Ньютона названа единица силы – ньютон. В школьном курсе математики мы знаем Ньютона как ученого, чье имя носит бином – бином Ньютона.

Именем Ньютона назван кратер на Луне и кратер на Марсе.

Умер И. Ньютон 31 марта 1727 года, он прожил 84 года.

За свое сообщение ученики получают по 5 баллов.

Подведение итогов урока.

Таблица оценивания учащихся:

Баллы	6б.- 10б.	11б.- 15б.	16б. – 21б.
Оценка	3	4	5