Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по алгебре и началам анализа "Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений"

Урок по алгебре и началам анализа "Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений"



Внимание! Сегодня последний день приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Урок по алгебре и началам анализа

на тему "Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений»



Тип урока: комбинированный

Цели урока:

Обучающая:

повторить формулы для нахождения числа различных видов комбинаций: размещений, перестановок, сочетаний;

научиться распознавать задачи на нахождение размещений, перестановок, сочетаний;

решить простейшие комбинаторные задачи с помощью формул для нахождения числа размещений, перестановок, сочетаний.

Воспитывающая:

воспитывать аккуратность выполнения записей в тетради и на доске;

воспитывать умение работать самостоятельно.

Развивающая:

способствовать развитию внимания.

Оборудование: карандаш, линейка, тетрадь, дидактический материал (карточки-задания).

Методы обучения: словесно-информационный (рассказ), словесно-репродуктивный (опрос), практически-репродуктивный (выполнение заданий), наглядно-иллюстративный (карточки, учебник, раздаточный материал).

Формы обучения: коллективная, индивидуальная.



Этапы урока:

  1. Организационно-мотивационный (сообщение темы урока, организация обстановки способствующей усвоению материала) - 2 мин

  2. Проверка домашнего задания (проверка тетрадей) – 3 мин

  3. Актуализация знаний (актуализация опорных знаний учащихся) - 5мин

  4. Обобщение знаний (повторить определения размещений, перестановок, сочетаний и формулы для их нахождения) - 15 мин

  5. Закрепление и проверка усвоения материал решить простейшие комбинаторные задачи с помощью формул для нахождения числа размещений, перестановок, сочетаний. – 10 мин

  6. Домашняя работа - 3 мин

  7. Итог урока – 2 мин

I этап: Организационно-мотивационный

Сообщение темы урока, организация обстановки способствующей усвоению материала.



В практике часто встречаются задачи, при решении которых приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называется комбинаторикой.

Рассмотрим такие задачи:

1) Перестановки

Задача №1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

В задаче нам нужно составить комбинации из трех цифр и подсчитать их число. В процессе решения этой задачи постараемся выяснить структуру полученных комбинаций (чем одна комбинация отличается от другой), способ рассуждений и правило подсчета комбинаций.

135, 153, 315, 351, 513, 531.

При решении этой задачи мы составили 6 комбинаций из трех цифр. Обратим внимание, что каждая из полученных комбинаций отличается друг от друга только порядком расположения элементов. Такие комбинации называются перестановками.

Определение. Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения.

Число перестановок из n элементов обозначается hello_html_1235a21c.gif. Для любого натурального числа n справедлива формула hello_html_5c0c3ab9.gif

Задача №2. Сколькими способами можно поставить на полке рядом 5 разных книг?

Решение: hello_html_m46cf98db.gif

Задача №3. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлены 6 приборов?

Решение: hello_html_m3338481c.gif

2) Размещения

Задача №4. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

На первом месте в комбинации из двух может стоять любая из цифр 1,3,5. Так как после выбора первой цифры останутся две, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр двумя способами. Перечислим все комбинации: 13; 15; 31; 35; 51; 53.

Обратим внимание, что каждая из полученных комбинаций отличается друг от друга самими элементами или порядком их расположения. Такие комбинации называются размещениями.

Определение. Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число размещений из n элементов по k обозначают hello_html_53b28735.gifи вычисляют по формуле: hello_html_4dc696.png

Задача №5. Учащиеся 5 класса изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 5 различных предметов?

Решение: Любое расписание на один день, составленное из 5 различных предметов, отличается от другого либо предметами, либо порядком следования. Значит, речь идет о размещениях из10 по 5:.hello_html_6ad80812.gif

3) Сочетания

Задача №6. Пусть имеются цифры 1,3,5. Из них нужно составить комбинации по 2 элемента, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.

Решение 13; 15; 35.

Алгоритм: сначала отбрасываем последнюю цифру в исходной записи (5), потом вторую в исходной записи (3), потом третью (1). Каждая из этих комбинаций отличается от любой другой, хотя бы одним входящим в нее элементом. Нет ни одной комбинации с одинаковым составом элементов. Такие комбинации называются сочетаниями.

Определение. Сочетаниями из данных n элементов по k называют любую группу из k этих элементов.

Понятие сочетания не связано с расположением (порядком) элементов.

Число сочетаний из n элементов по k обозначают hello_html_65e509b.gifи вычисляют по формуле: hello_html_6f6e43c3.gif

Задача №7. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 2 карты?

Решение: hello_html_8a0aeb9.gif

Рассмотрим различные комбинаторные задачи.

Задача №8. Составьте все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3,5,7,9.Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую из указанных цифр один раз?(12)



Типичные задачи, в которых обычно путаются учащиеся

Сочетания

Размещения

1. Сколько рукопожатий получится, если здороваются 5 человек?
{Вася, Петя} = {Петя, Вася} – одно и тоже.
Значит, порядок неважен, значит это подмножество по два элемента из 5, значит это сочетание из пяти по два.
hello_html_4ee551ff.png

1. Сколькими способами пять человек могут обменяться фотографиями?
{Вася, Петя} ≠ {Петя, Вася} – разные обмены.
Значит, порядок важен, значит это последовательность по два элемента из 5, значит это размещение из пяти по два.
hello_html_m3332dbba.png

Перестановки

1. Сколькими способами n человек могут сесть на одной скамейке?
P
n = n!

2. Сколькими способами n человек могут сесть за круглым столом?
hello_html_ae98948.png



Рассмотрим различные комбинаторные задачи.

Задача №8. Составьте все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3,5,7,9. Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую из указанных цифр один раз?

Задача №9. Сколькими способами может расположиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет? (24)

Задача №10. Из 30 участников собрания необходимо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать? (870)

Задача №11. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если есть материал 7 разных цветов? (210)

Задача №12. Сколькими способами 4 мужчины могут расположиться на четырехместной скамейке?

Задача №13. Курьер должен разнести пакеты в 7 разных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

Задача №14. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.

Задача №15. В классе 7-м учащихся успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Задача №16. В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Задача №17. Ученикам дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Самостоятельная работа по вариантам

1 вариант

2 вариант

3 вариант

1. Сколько различных экзаменационных комиссий по 3 человека можно составить, если на кафедре 20 преподавателей?

1. В нашем распоряжении есть 5 разноцветных флагов. Сколько различных сигналов, состоящих из 3 флагов, можно поднять на флаг штоке?

1. Сколькими способами можно выбрать 6 различных пирожных в кондитерской, где имеется 11 сортов пирожных?

2. Сколькими способами можно окрасить трехкомнатную квартиру (каждая комната окрашивается одной краской, все комнаты окрашиваются в разные цвет), если имеется 10 различных красок?

2. Имеется 7 путевок в различные дома отдыха и 7 кандидатов. Сколькими способами можно распределить эти путевки?

2. В шахматном турнире участвуют 12 человек. Каждый из участников должен сыграть с каждым из остальных по две партии. Сколько всего партий должны сыграть участники турнира?

3. Сколькими способами можно расставить 5 книг на полке?

3. В колоде 52 карты. Раздаются 3 карты. Сколько может быть случаев появления одного туза среди розданных карт?

3. Сколькими способами из 30 человек может выбрать собрание председателя и секретаря?



Домашняя работа

1. Бригадир должен откомандировать на работу бригаду из 5 человек.

Сколько бригад по 5 человек в каждой можно организовать из 12 человек?

2. Группа учащихся из 30 человек решила обменяться фотографиями.

Сколько всего фотографий необходимо было для этого?

3. Во время встречи 16 человек пожали друг другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий?



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 14.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров189
Номер материала ДБ-031619
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх