Урок по алгебре и началам анализа на тему

Урок алгебры в 11А классе

по теме

«Методы решения уравнений. Задания В5, С1»

Цели урока:

1)    формирование учебно-познавательной компетенции: обобщить теоретический материал по  теме «Решение уравнений. Задания В5, С1»,  рассмотреть решения типичных задач;

2)    формирование математической компетенции: использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

3)    формирование оценочной компетенции: развивать умение оценивать свой уровень знаний и стремление его повышать.

Тип урока: урок-обобщение, урок-практикум.

Оборудование: ПК, проектор, карточки.

Методы обучения: частично-поисковый метод, репродуктивный, обобщающий.

Формы работы: фронтальный опрос, работа в парах, взаимопроверка, самопроверка.

План урока.

Конспект урока рассчитан на 45 минут.

1.     Организационный момент. (2 мин.)

2.     Устная работа. (5 мин.)

3.     Выступления учащихся. (15 мин.)

4.     Работа в парах. (15 мин.)

5.     Проверка решений. (5 мин.)

6.     Итог урока. (3 мин.)

Ход урока.

1.     Организационный момент.

Тема «Уравнения» - одна из важнейших тем курса алгебры. Мы изучили различные виды уравнений, а также методы их решения. Цель урока – повторить и обобщить сведения о методах решения уравнений. Но прежде вспомним основные определения и правила. (Слайд 1, 2)

2.     Устная работа.    (Слайд 3)

- Что такое уравнение? (Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением.)

- Что называют решением уравнения? (Решением уравнения называют то значение переменной, при котором данное уравнение обращается в верное равенство.)

- Что значит – решить уравнение? (Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.)

- Что называют областью допустимых значений переменной (ОДЗ)? (ОДЗ переменной уравнения  называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения  и .)

- Какие преобразования приводят к равносильным уравнениям? (Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа, умножение обеих частей уравнения на одно и то же число, деление обеих частей уравнения на одно и то же число не равное нулю.)

- Какие действия при преобразовании уравнений можно назвать «опасными» и почему? (Деление уравнения на выражение, содержащее переменную - при этом может произойти потеря корней и возведение обеих частей уравнения в квадрат - при этом могут появиться посторонние корни.)

На доске задания для устной работы.

Укажите ОДЗ уравнения:

1)                            (х – любое число)                          

2)                           (х≠15)                                          

3)                    ( и )          

4)                      ()                            

5)                              (х – любое число) 

6)                           (х – любое число)

7)                           (х – любое число)

8)                       (x>-8)          

9)                     (,   )

3. Назвать виды уравнений (Слайд 4)

- линейные

- квадратные

- дробно - рациональные

- иррациональные

- тригонометрические

- логарифмические

- показательные

4. (Слайд 5 -  ). Рассматривая решенные уравнения, учитель обращает внимание учащихся на целесообразность использования того или иного способа решения.

Решить уравнение  = х + 3 . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Решение.

 = х + 3,

Возведём обе части уравнения в квадрат:

 )² = (х + 3)²,

11 + 5х = х² + 6х + 9,

х² + х  - 2 = 0,

х = 1,  х = -2

Проверка:  =  (верно)

Ответ: 39

4. Основные методы решения: (Слайд 12)       

1)    Разложение на множители.

2)    Деление на многочлен.

3)    Избавление от знаменателя.

4)    Введение новой переменной.

Доклады учащихся.

1.           Метод разложения на множители.

Уравнение вида можно заменить совокупностью двух более простых уравнений  и , где .

Способы разложения на множители:

- вынесение общего множителя за скобки;

- способ группировки;

- применение формул сокращенного умножения.

Пример 1.     

ОДЗ: x - любое число.

Вынесем за скобку множитель .

                             

                                          

Ответ: , 

Пример 2. .

ОДЗ: х – любое число.

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель за скобки:

Вынесем множитель  за скобку:

                              х=0,2   х=5

Ответ: -1;  0,2;  5.

Пример 3. .

ОДЗ: х – любое число.

Сгруппируем первые три слагаемых и воспользуемся формулой квадрата разности двух чисел:

Применим формулу разности квадратов двух чисел:

                  

                          нет корней.

Ответ: .

2. Метод введения новой переменной.

Введение новой переменной позволяет разбить задачу на подзадачи и решить вместо одного сложного несколько простых уравнений.

Пример 4.

ОДЗ: х – любое число.

Замена: ,   

,     

Вернемся к замене:

                          

                             

                                

Ответ: 1,5;   -0,5;   .

Пример 5.

ОДЗ: х и у любые числа.

Многочлен называется однородным, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если  - однородный многочлен, то  однородное уравнение.

         Вынесем общий множитель за скобки:

Если х=0, то у – любое число.

Если , то . Разделим обе части уравнения на  и введем новую переменную .

          

Вернемся к замене:

                                

                               

Пусть а – действительное число. Тогда ответ можно записать в виде:

(0; а),  (а; 2а),  (2а; а).

Пример 6.

ОДЗ: х – любое число.

Многочлен  называют симметрическим, если коэффициенты членов, равно отстоящих от концов, равны между собой. Для многочленов с двумя переменными  - если при одновременной замене  х на у и у на х, многочлен сохраняет свой вид. Например, .

Разделим обе части данного уравнения на .

Сгруппируем 1 и 5 слагаемое, 2 и 3 слагаемое:

Пусть , тогда , а

Вернемся к замене:

                          

Решив эти уравнения, получаем корни .

Ответ:

3.              Метод деления на многочлен.

Этот метод применяют при решении уравнений высших степеней. Цель – понизить степень многочлена.

Теорема. Если  - целый корень уравнения , где - многочлен с целыми коэффициентами, свободный член которого не равен 0, то  - делитель свободного члена многочлена.

Пример 7.

ОДЗ: х – любое число.

Выпишем делители свободного члена многочлена:

±1;  ±2;  ±3;  ±6.

Число 1 обращает многочлен в 0. Значит х=1 – корень уравнения.

Разделим многочлен  на двучлен . Получим .

         

Ответ: 1;  -3;  2.

4.     Избавление от знаменателя.

Для того чтобы избавиться от знаменателя необходимо умножить обе части уравнения на общий знаменатель. Этот тип уравнений требует собой осторожности, т.к. найденные корни могут обращать знаменатель в 0.

Пример 8.

ОДЗ:  при любом х,  при

Умножим обе части уравнения на

Уравнение не имеет решения.

Ответ: нет корней.

4.           Работа в группах.

Учащиеся разбиваются на 3-4 группы  и самостоятельно выполняют задания. Ученики, подготовившие доклады присоединяются к группам. Задания, выполненные докладчиками не должны совпадать с заданиями для группы.

5. Проверка решений.

По окончанию работы докладчики представляют краткое решение заданий. Это может быть презентация или оформленное на бумаге решение. Члены группы могут  проверять как свои работы, так и работы других участников группы, включая докладчиков.

5.     По результатам работы выставляются оценки. Дополнительные отметки выставляются учащимся, подготовившим доклады. Д.з.

         Урок проведен в классе, где математика изучается на профильном уровне. Разобранные способы решения знакомы учащимся из курса алгебры 10-11 класса. Материал урока позволил повторить изученный материал (симметрические, однородные уравнения, деление на двучлен), а также систематизировать знания по методам, которые применяются довольно часто. Интерес к теме урока высокий, т.к. тема имеет применение на ЕГЭ во второй части. Уровень обученности класса позволяет рассматривать уравнения, сложность которых выше среднего. Тем не менее в классе есть ученики, для которых выполнение части заданий затруднительно. Это учтено при составлении текстов самостоятельной работы: задания вариантов 2 и 4 сложнее,  чем 1 и 3. При выставление оценок учитывалось количество правильно решенных заданий. 3 задания (а для слабых учащихся 2-3) – «3», 4-5 заданий «4»,  за полные 6 или 5 и верно начатое 6 задание –«5»

Краткое описание документа:

Данный урок - является уроком обобщающего повторения по теме «Решение уравнений».

Устные задания подобраны таким образом, что учащимся необходимо выстраивать логические цепочки в своих рассуждениях, делать выводы.

 Решение уравнений позволяет наглядно продемонстрировать работу: учащимися легче воспринимаются задания на нахождение значений х; более доступными становятся решения сложных заданий. Данные задания могут встретиться в задания ЕГЭ: как в профильном, так и в базовом уровне.

Учащиеся покажут использование межпредметных связей между математикой и другими науками.