Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Урок по алгебре и началам анализа на тему "Отбор корней в тригонометрических уравнениях" (10класс)

Урок по алгебре и началам анализа на тему "Отбор корней в тригонометрических уравнениях" (10класс)


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

МБОУ «Ташлинская средняя общеобразовательная школа»

Тюльганский район

Оренбургская область










Отбор корней в тригонометрических уравнениях


Урок по алгебре и началам анализа

10 класс











Учитель первой категории

Самсонова Ирина Анатольевна










2012 год



МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ


Название УМК «А. Г. Мордкович» Предмет алгебра и начала анализа Класс 10

Тема урока Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Место и роль урока в изучаемой теме: раздел «Методы решения тригонометрических уравнений», подготовка к единому государственному экзамену

Тип урока Урок обобщения и систематизации знаний и способов деятельности

ЦЕЛЬ: рассмотреть применение арифметического, геометрического, алгебраического способов отбора корней в тригонометрических уравнениях (задания С1 ЕГЭ)

Задачи:

обобщить, систематизировать и углубить знания о разнообразии способов отбора корней в тригонометрических уравнениях;

развивать логическое мышление учащихся, потребность к самообразованию; воспитание познавательной активности, уверенности в себе

Литература: «Первое сентября», журнал «Математика»




























Ход урока


  1. Организационный момент


Учитель. Задание С1 КИМов содержит в основном тригонометрическое уравнение или систему тригонометрических уравнений, в которых необходимо выполнить отбор корней. Вы, ребята, уже знакомы с наиболее распространенным способом отбора корней, применяя тригонометрическую окружность; пользовались перебором значений целочисленного параметра, поэтому возникает необходимость рассмотреть различные способы, эффективные для решения конкретной задачи.


2. Актуализация опорных знаний

1. Расставьте в порядке убывания числа:

hello_html_m53f769e9.gif 3hello_html_m44c08bdd.gif; hello_html_mc6c281e.gif; hello_html_5958caca.gif; hello_html_3ace5b0a.gif; 2,5; hello_html_m1f8e665c.gif.

2. Расставьте в порядке возрастания числа:

- hello_html_4ac7c835.gif; -hello_html_4ae60bb7.gif; - hello_html_2c92a729.gif; -hello_html_m52d1612c.gif; - 2.

3. Какие частные случаи существуют при решении простейших тригонометрических уравнений?

4.Когда уравнение sin x = a не имеет решений?


Учитель. Задание С1 КИМов содержит в основном тригонометрическое уравнение или систему тригонометрических уравнений, в которых необходимо выполнить отбор корней. Вы, ребята, уже знакомы с наиболее распространенным способом отбора корней, применяя тригонометрическую окружность; пользовались перебором значений целочисленного параметра, поэтому возникает необходимость рассмотреть различные способы, эффективные для решения конкретной задачи.

Тема нашего урока « Отбор корней в тригонометрических уравнениях в заданиях типа С1 . Сформулируйте цель урока. Какие задачи для себя на уроке поставим?


  1. Изучения новых знаний и способов деятельности, закрепления изученного.

(Решение задач С1)


Постановка проблемы


Учитель. Какие способы вы примените к отбору корней в следующих задачах?

  1. Решить уравнение

hello_html_m19e3f6c2.gif +2 sin x = 0.

  1. Найти все решения уравнения sin 2x = cosx, принадлежащие отрезку [- hello_html_mc6c281e.gif; hello_html_482c65b.gif].

3. Определить количество корней уравнения

ctg 3x sin 6xcos6xcos12x = 0 на промежутке [0; 2hello_html_55ad47e8.gif


Способы разрешения проблемы


Ученики предлагают свои версии.

Пример 1. 1 СПОСОБ (арифметический)

Решение. Перепишем уравнение в виде

hello_html_m19e3f6c2.gif = - 2 sin x.

Это уравнение равносильно системе

hello_html_b194f8a.gif


Решим уравнение системы:

5cos x – (2cos2x – 1) = 4(1 – cos2x),


2cos2x + 5cosx – 3 = 0.

Отсюда cosx = 0,5 или cos x = - 3 (нет корней).

Из уравнения cosx = 0,5получим:

x =hello_html_m6fa962dd.gif + 2hello_html_mc6c281e.gifn, nhello_html_m2ba2a6ef.gifZ, или x = - hello_html_m666d41b1.gif + 2hello_html_mc6c281e.gifn, nhello_html_m2ba2a6ef.gifZ.

Проверим для полученных значений x выполнение условия hello_html_6ef80ec1.gif

Для первой серии получаем:

sin (hello_html_m6fa962dd.gif + 2hello_html_mc6c281e.gifn) = sin hello_html_m666d41b1.gif = hello_html_m200e9007.gif hello_html_m44455ce2.gif0.

Следовательно, первая серия является «посторонней». Для второй серии получаем

sin (hello_html_m491e9502.gif + 2hello_html_mc6c281e.gifn) = - sin hello_html_m666d41b1.gif = - hello_html_m200e9007.gif hello_html_m15d32a39.gif0.

Следовательно, все числа второй серии решений уравнения системы являются корнями исходного уравнения.

Ответ: - hello_html_m666d41b1.gif + 2hello_html_mc6c281e.gifn, nhello_html_m2ba2a6ef.gifZ.

Учитель. Нахождение значений тригонометрического выражения непосредственно подстановкой при проверке корней (Пример 1.) и перебор значений целочисленного параметра относятся к арифметическому способу

отбора корней в тригонометрических уравнениях.

А если последовательный перебор значений параметров приводит к вычислительным трудностям, промежуток для отбора корней большой, значения обратных тригонометрических, входящих в серии решений не являются табличными?

Ученики предлагают

Пример 2. 1 СПОСОБ (алгебраический)

Решение. Приведем уравнение к виду

cos x (2sin x – 1) = 0.

Отсюда получаем:

cos x = 0 и sin x = 0, 5.

  1. cos x = 0, x = hello_html_2c92a729.gif + hello_html_mc6c281e.gifn, nhello_html_m2ba2a6ef.gifZ. Так как решения должны удовлетворять неравенству - hello_html_c222845.gif hello_html_2c92a729.gif + hello_html_mc6c281e.gifnhello_html_1ea3f931.gif, то, сократив на hello_html_mc6c281e.gif, получим:

-1 ≤hello_html_m2bfea3f5.gif + nhello_html_m127ed9e3.gif или - hello_html_4ac7c835.gifnhello_html_m764d09b.gif.

С учетом того, что nhello_html_m2ba2a6ef.gifZ, получаем два значения: n = -1 и n = 0. Если n = 0, то x = hello_html_2c92a729.gif , если n = -1, то x = hello_html_63633494.gif.

  1. sin x = 0, 5

x = hello_html_4adb3f97.gif или x = hello_html_m70906b93.gif, nhello_html_m2ba2a6ef.gifZ

Так как должно выполняться условие - hello_html_c222845.gif xhello_html_m699d1886.gif, то для первой серии имеем:

- hello_html_m2d784c99.gif hello_html_4adb3f97.gifhello_html_m699d1886.gif,


- hello_html_m59bc5e3f.gif hello_html_50b0ef85.gifhello_html_mc36734d.gif


- hello_html_m2319da72.gifn hello_html_m7716ed90.gif hello_html_m603f9263.gif,


следовательно, n = 0.

Отсюда получаем: x = hello_html_3ace5b0a.gif.


Для второй серии имеем:

- hello_html_m2d784c99.gif hello_html_m7e48ac5f.gifhello_html_m699d1886.gif,


- hello_html_m59bc5e3f.gif hello_html_m49f288f9.gifhello_html_mc36734d.gif


- hello_html_7b8aeceb.gifn hello_html_3db08cb6.gif hello_html_2c712f3.gif.

Последнее неравенство не имеет целочисленных решений.


Ответ: hello_html_m5ab845de.gif; hello_html_253c1f23.gif hello_html_3ace5b0a.gif.

В этом примере мы применили решение неравенства относительно неизвестного целочисленного параметра n и вычислении корней – это алгебраический способ отбора корней.


Динамическая пауза

Снятие напряжения – «Тряпочная кукла»


Задание ТРИЗ

«Кто быстрее?» с разрезанием листа Мёбиуса.


4. Применения изученного, обобщение и систематизация

(Самостоятельная работа учащихся)


Постановка проблемы


Учитель. Какие идеи у вас имеются для решения Примера 3?

(Геометрический способ)

Ученики выполняют самостоятельно, затем делают вывод, что в данном задании удобно использовать при отборе корней числовую окружность.

Учитель. Так как длина промежутка не превосходит 2hello_html_461ab06f.gifэтот способ эффективнее, он относится к геометрическим способам отбора корней в тригонометрических уравнениях.


Решение. Умножая обе части уравнения на sin3x ≠ 0, получаем:

sin3x – sin3x cos12x = 0,


sin3x (1 – cos12x) = 0.

Отсюда имеем:

hello_html_m4920343b.gif n, khello_html_m494999eb.gifZ.


Функции cos 12x и sin3x, входящие в уравнение, имеют основной период, не превосходящий 2hello_html_mc6c281e.gif, поэтому проведем отбор корней, используя тригонометрическую окружность. Для этого полученные значения в серии решений и серии ограничений изобразим на тригонометрической окружности (на Макете) и в ответ запишем количество точек серии решений, не совпавших с точками серии ограничений.

Ответ: 6.


5. Информация о домашнем задании

1. Дифференцированные задания для каждого ученика

на карточках.

2. Из различных сборников заданий для подготовки к ЕГЭ 2012 выбрать три задачи, в которых можно применить: С1

а) арифметический;

б) алгебраический;

в) геометрический

способы отбора корней в тригонометрических уравнениях и решить одну из них.

6. Подведение итогов

С какими способами отбора корней в тригонометрических уравнениях мы познакомились на уроке?

Ученики высказывают свои мнения об оптимальности применения различных способов отбора корней при выполнении заданий.

Оценки учителя и самооценка каждого ученика работы на уроке.


7. Рефлексия

Свою деятельность на уроке прошу вас оценить

На лесенку успеха себя установить!


hello_html_6b83f069.png






















57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 28.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров140
Номер материала ДВ-490956
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх